Функции нескольких переменных

Контрольная работа

 “ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ  ПЕРЕМЕННЫХ”

Вариант 16

ЗАДАНИЕ 1а. Найти   и   функции:

 

Решение:

 

 Считаем переменную “х” постоянной величиной.)=

 

Ответ:

ЗАДАНИЕ № 1 б. Найти   и   функции:

Решение:

 

 

Ответ:

ЗАДАНИЕ  2. Показать, что

   для функции   .

 

 

 

 

 

 

+

ЗАДАНИЕ 4. Исследовать на экстремум:

Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:

 

 

 

   

 

Нашли одну стационарную точку, в которой  , это точка .

Выясним с помощью вторых  производных, есть ли в  экстремум, и, если есть,  какой.

    

                                   A=

 

 

  

      Составляем определитель  

.

Так как  D>0, экстремум существует. Так как A=-2<0, в стационарной точке функция имеет максимум. Найдем его.

.

  

      Ответ:   .

ЗАДАНИЕ  5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

   в квадрате, ограниченном прямыми  

_{Решение:}

Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная  функция может иметь или в  стационарной точке внутри рассматриваемой  области или на границе этой области, задачу будем решать в два действия. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.

      

 

    ,      , 

   

     Точка   принадлежит квадрату (рис. 7), поэтому значение функции в этой точке вычисляем.

 

Переходим ко второму действию. Квадрат ограничивают четыре прямые.  Будем   исследовать функцию на экстремум на каждой из них. Сначала найдем значения функции в вершинах .

 

 

 

 

      Рассмотрим границу  : y=1 Подставляя y=1 в выражение функции, получим   z=

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции z= на отрезке .

 

это значение    не входит в рассматриваемый отрезок

      Рассмотрим границу AK: x=-1 Подставляя x=-1 в выражение функции, получим   z=

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции отрезке .

 это значение    не входит в рассматриваемый отрезок

Рассмотрим  границу KC: y=-1 Подставляя y=-1 в выражение функции, получим     это значение  входит в рассматриваемый отрезок

 

Рассмотрим  границу BC: x= 1 Подставляя x= 1 в выражение функции, получим 

, это значение    не входит в рассматриваемый отрезок

Ответ:

ЗАДАНИЕ 6. Найти производную функции:

 в точке  (1; 1)  в  направлении  от  этой  точки  к точке (2; 2).

Решение:

где   – орт направления вектора .

Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную.   Найдем длину .

Направляющие  косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому

Теперь  найдем частные производные функции  .

 

 

 

 

 

 

Вывод.  Функция возрастает по направлению вектора , так как полученная производная больше нуля.

Ответ: