Функции
нескольких переменных
Содержание
1. Понятие функции двух и более переменных
2. Предел и непрерывность функции двух
переменных
3. Частные производные первого порядка.
Полный дифференциал
4. Частные производные высших порядков
5. Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия существования
экстремума
6. Условный экстремум
1. Понятие функции двух и более переменных
Многие явления, происходящие в природе,
экономике, общественной жизни нельзя
описать с помощью функции одной переменной.
Например, рентабельность предприятия
зависит от прибыли, основных и оборотных
фондов. Для изучения такого рода зависимостей
и вводится понятие функции нескольких
переменных.
В данной лекции рассматриваются функции
двух переменных, так как все основные
понятия и теоремы, сформулированные для
функций двух переменных, легко обобщаются
на случай большего числа переменных.
Пусть
– множество упорядоченных пар действительных
чисел
.
Определение 1. Если каждой упорядоченной
паре чисел
по некоторому закону
поставлено в соответствие единственное
действительное число
, то говорят, что задана функция двух переменных
или
. Числа
называются при этом независимыми переменными
или аргументами функции, а число
– зависимой переменной.
Например, формула
, выражающая объем цилиндра, является
функцией двух переменных:
– радиуса основания и
– высоты.
Пару чисел
иногда называют точкой
, а функцию двух переменных – функцией
точки
.
Значение функции
в точке
обозначают
или
и называют частным значением функции
двух переменных.
Совокупность всех точек
, в которых определена функция
, называется областью определения этой
функции. Для функции двух переменных
область определения представляет собой
всю координатную плоскость или ее часть,
ограниченную одной или несколькими линиями.
Например, область определения функции
– вся плоскость, а функции
– единичный круг с центром в начале координат
(
или
.
2. Предел и непрерывность функции двух
переменных
Понятия предела и непрерывности функции
двух переменных аналогичны случаю одной
переменной.
Пусть
– произвольная точка плоскости.
– окрестностью точки
называется множество всех точек
, координаты которых удовлетворяют неравенству
. Другими словами,
– окрестность точки
– это все внутренние точки круга с центром
в точке
и радиусом
.
Определение 2. Число
называется пределом функции
при
(или в точке
), если для любого сколь угодно малого
положительного числа
существует
(зависящее от
) такое, что для всех
и удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
.
Обозначается предел следующим образом:
или
.
Пример 1. Найти предел
.
Решение. Введем обозначение
, откуда
. При
имеем, что
. Тогда
.
Определение 3. Функция
называется непрерывной в точке
, если: 1)
определена в точке
и ее окрестности; 2) имеет конечный предел
; 3) этот предел равен значению функции
в точке
, т.е.
.
Функция
называется непрерывной в некоторой области,
если она непрерывна в каждой точке этой
области.
Точки, в которых условие непрерывности
не выполняется, называются точками разрыва
этой функции. В некоторых функциях точки
разрыва образуют целые линии разрыва.
Например, функция
имеет две линии разрыва: ось
(
) и ось
(
).
Пример 2. Найти точки разрыва функции
.
Решение. Данная функция не определена
в тех точках, в которых знаменатель обращается
в нуль, т. е. в точках, где
или
. Это окружность с центром в начале координат
и радиусом
. Значит, линией разрыва исходной функции
будет окружность
.
3. Частные производные первого порядка.
Полный дифференциал
Пусть задана функция двух переменных
. Дадим аргументу
приращение
, а аргумент
оставим неизменным. Тогда функция
получит приращение
, которое называется частным приращением
по переменной
и обозначается
:
.
Аналогично, фиксируя аргумент
и придавая аргументу
прираще-ние
, получим частное приращение функции
по переменной
:
.
Величина
называется полным прира-щениием функции
в точке
.
Определение 4. Частной производной функции
двух переменных по одной из этих переменных
называется предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению
данной переменной, когда последнее стремится
к нулю (если этот предел существует). Обозначается
частная производная так:
или
, или
.
Таким образом, по определению имеем:
,
.
Частные производные функции
вычисляются по тем же правилам и формулам,
что и функция одной переменной, при этом
учитывается, что при дифференцировании
по переменной
,
считается постоянной, а при дифференцировании
по переменной
постоянной считается
.
Пример 3. Найти частные производные функций:
а)
; б)
.
Решение. а) Чтобы найти
считаем
постоянной величиной и дифференцируем
как функцию одной переменной
:
.
Аналогично, считая
постоянной величиной, находим
:
.
Решение.
б)
;
.
Определение 5. Полным дифференциалом
функции
называется сумма произведений частных
производных этой функции на приращения
соответствующих независимых переменных,
т.е.
.
Учитывая, что дифференциалы независимых
переменных совпадают с их приращениями,
т.е.
, формулу полного дифференциала можно
записать в виде
или
.
Пример 4. Найти полный дифференциал функции
.
Решение. Так как
, то по формуле полного дифференциала
находим
.
4. Частные производные высших порядков
Частные производные
и
называют частными производными первого
порядка или первыми частными производными.
Определение 6. Частными производными
второго порядка функции
называются частные производные от частных
производных первого порядка.
Частных производных второго порядка
четыре. Они обозначаются следующим образом:
или
;
или
;
или
;
или
.
Аналогично определяются частные производные
3-го, 4-го и более высоких порядков. Например,
для функции
имеем:
,
и т. д.
Частные производные второго или более
высокого порядка, взятые по различным
переменным, называются смешанными частными
производными. Для функции
таковыми являются производные
. Заметим, что в случае, когда смешанные
производные
непрерывны, то имеет место равенство
.
Пример 5. Найти частные производные второго
порядка функции
.
Решение. Частные производные первого
порядка для данной функции найдены в
примере 3:
Дифференцируя
и
по переменным х и y, получим
,
;
;
.
5. Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия существования
экстремума
Определение 7. Точка
называется точкой минимума (максимума)
функции
, если существует такая окрестность точки
, что для всех точек
из этой окрестности выполняется неравенство
, (
).
Точки минимума и максимума функции
называются точками экстремума, а значения
функции в этих точках – экстремумами
функции (минимумом и максимумом соответственно).
Заметим, что минимум и максимум функции
имеют локальный характер, так как значение
функции в точке
сравнивается с ее значениями в точках,
достаточно близких к
.
Теорема 1 (необходимые условия экстремума).
Если
– точка экстремума дифференцируемой
функции
, то ее частные производные
и
в этой точке равны нулю:
.
Точки, в которых частные производные
первого порядка равны нулю, называются
критическими или стационарными. В критических
точках функция
может иметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума).
Пусть функция
: а) определена в некоторой окрестности
критической точки
, в которой
и
; б) имеет непрерывные частные производные
второго порядка
. Тогда, если
, то функция
в точке
имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум,
если А>0; если
, то функция
в точке
экстремума не имеет. В случае
вопрос о наличии экстремума остается
открытым.
При исследовании функции двух переменных
на экстремум рекомендуется использовать
следующую схему:
1. Найти частные производные первого порядка:
и
.
2. Решить систему уравнений
и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка:
,
,
.
4. Вычислить значения частных производных
второго порядка в каждой критической
точке и, используя достаточные условия,
сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример 6. Найти экстремумы функции
.
Решение. 1. Находим частные производные
и
:
,
.
2. Для определения критических точек решаем
систему уравнений
или
Из первого уравнения системы находим:
. Подставляя найденное значение y во второе
уравнение, получим
,
,
,
откуда
.
Находим значения y, соответствующие значениям
. Подставляя значения
в уравнение
, получим:
.
Таким образом, имеем две критические
точки:
и
.
3. Находим частные производные второго
порядка:
;
;
.
4. Вычисляем значения частных производных
второго порядка в каждой критической
точке. Для точки
имеем:
,
,
.
Так как
,
то в точке
экстремума нет.
В точке
:
,
,
и, следовательно,
.
Значит,
в силу достаточного условия экстремума,
в точке
функция имеет минимум, так как в этой
точке
и
.
5. Находим значение функции в точке
:
.
6. Условный экстремум
В теории функций нескольких переменных
иногда возникают задачи, когда экстремум
функции нескольких переменных необходимо
найти не на всей области определения,
а на множестве, удовлетворяющем некоторому
условию.
Пусть
– функция двух переменных, аргументы x и y которой
удовлетворяют условию
, называемому уравнением связи.
Определение 8. Точка
называется точкой условного минимума
(максимума) функции
, если существует такая окрестность точки
, что для всех точек
из этой окрестности, удовлетворяющих
условию
, выполняется неравенство
, (
).
Если уравнение связи
можно разрешить относительно одной из
переменных (например, выразить y через x:
), то задача отыскания условного экстремума
функции двух переменных сводится к нахождению
экстремума функции одной переменной.
Для этого подставляют найденное значение
в функцию двух переменных. В результате
получают функцию одной переменной x:
. Ее экстремум и будет условным экстремумом
функции
.
Замечание. В более сложных случаях, когда
уравнение связи
не разрешимо относительно одной из переменных,
для отыскания условного экстремума используется
метод множителей Лагранжа.
Пример 7. Найти экстремумы функции
при условии, что ее аргументы удовлетворяют
уравнению связи
.
Решение. Из уравнения связи находим функцию
и подставляем ее в функцию z. Получим функцию
одной переменной
или
Находим экстремум данной функции:
,
,
– критическая точка первого рода (точка,
подозрительная на экстремум). Так как
, то в точке
функция
имеет локальный минимум. Из уравнения
связи находим:
. Следовательно, функция
в точке М (1,2) имеет условный минимум:
.
Прибыль от производства разных видов
продукции.
ПЛАН
Введение
Глава 1. Экономическая сущность
прибыли
1.1. Содержание прибыли
1.2. Виды и функции
прибыли
1.3 Направления использования
чистой прибыли
Глава 2. Анализ образования
и использования прибыли ООО «Техкомплект»
2.1. Характеристика финансово-хозяйственной
деятельности
2.2. Порядок определения
прибыли
2.3. Распределение и
использование прибыли предприятия
Глава 3. Резервы увеличения
роста прибыли
Заключение
Список литературы
В В Е Д Е Н И
Е
С переходом экономики государства
на основы рыночного хозяйства
усиливается многоаспектное
значение прибыли. Акционерное, арендное,
частное или другой формы собственности
предприятие, получив финансовую самостоятельность
и независимость, вправе решать, на какие
цели и в каких размерах направлять прибыль,
оставшуюся после уплаты налогов в бюджет
и других обязательных платежей и отчислений.
Прибыль в условиях рынка используется
не на потребление, а на
инвестиции и инновации, которые обеспечивают
экономический рост предприятия и его
конкурентоспособность.
Величина прибыли зависит
от производственной, снабженческой,
сбытовой и финансовой деятельности
предприятия. Поэтому при новых
условиях хозяйствования, перехода
предприятий промышленности к
рыночной экономике одним из
важнейших показателей оценки
эффективности их деятельности
является прибыль - обобщающий
качественный показатель эффективности
хозяйствования. Прибыль является
показателем, наиболее полно отражающим
эффективность производства, объем
и качество произведенной продукции,
состояние производительности труда,
уровень себестоимости.
Прибыль представляет собой
конечный финансовый результат, характеризующий
производственно-хозяйственную деятельность
всего предприятия, то есть составляет
основу экономического развития предприятия.
Рост прибыли создает финансовую
основу для самофинансирования деятельности
предприятия, осуществляя расширенное
воспроизводство. За счет нее выполняется
часть обязательств перед бюджетом,
банками и другими предприятиями.
Таким образом, прибыль становится
важнейшей для оценки производственной
и финансовой деятельности предприятия.
Получение прибыли является
обязательным условием функционирования
предприятия. Прибылью (рентабельностью)
оценивается эффективность хозяйствования,
прибыль — главный источник финансирования
экономического и социального развития;
прибыльность служит основным критерием
выбора инвестиционных проектов и программ
оптимизации текущих затрат, расходов,
финансовых вложений. Прибыль рассматривается
как критерий эффективности воспроизводства
и как показатель, имеющий две границы
— объем производства продукции или услуг
(реализации) и себестоимость — обладает
одним важным свойством: она отражает
конечный результат интенсивного и экстенсивного
развития. Последнее связано с фактором
роста объема производства и естественной
экономии от относительного снижения
условно-постоянных элементов себестоимости:
фонд оплаты труда (соответственно — начисления,
идущие во внебюджетные фонды), амортизация,
энергетическое топливо, платежи бюджету
за ресурсы, внепроизводственные и некоторые
другие расходы.
Прибыль – объективная
экономическая категория товарно-денежных
отношений. Формирование регулируемого
рынка товаров сопровождается повышением
роли прибыли в системе показателей
экономической характеристики деятельности
предприятий. К тому же прибыль –
реальная база налогообложения и, как
правило, источник уплаты налогов.
Прибыль занимает одно из
центральных мест в общей системе
стоимостных инструментов и рычагов
управления экономикой. Это выражается
в том, что финансы, кредит, цены,
себестоимость и другие рычаги прямо
или косвенно связаны с прибылью.
Курсовая работа имеет
целью изучить сущность прибыли,
ее роль в деятельности предприятия,
а также порядок ее исчисления.
При этом ставятся следующие задачи:
изучение сущности, видов и функций
прибыли, показателей, используемых для
расчета налогооблагаемой прибыли,
направления использования прибыли,
а также рассмотрение факторов, влияющих
на рост прибыли.
Глава 1. Экономическая сущность прибыли
1.1. Содержание прибыли
Основой рыночного механизма
являются экономические показатели,
необходимые для планирования
и объективной оценки производственно-хозяйственной
деятельности предприятия, образования
и использования специальных
фондов, соизмерения затрат и
результатов на отдельных стадиях
воспроизводственного процесса. В
условиях перехода к рыночной
экономике главную роль в системе
экономических показателей играет
прибыль.
Прибыль имеет следующее
значение в деятельности предприятий:
• в обобщенной форме
отражает результаты предпринимательской
деятельности и является одним из
показателей ее эффективности;
• используется в качестве
стимулирующего фактора предпринимательской
деятельности и производительности труда;
• выступает источником
финансирования расширенного воспроизводства
и является важнейшим финансовым ресурсом
предприятия.
На основании вышеизложенного
понятие прибыли в обобщённом виде может
быть сформулировано так: «Прибыльпредставляет собой выраженный
в денежной форме чистый доход предпринимателя
на вложенный капитал, характеризующий
его вознаграждение за риск осуществления
предпринимательской деятельности, представляющий
собой разницу между совокупным доходом
и совокупными затратами в процессе осуществления
этой деятельности».
Многогранный характер
прибыли означает, что ее исследование
должно иметь системный подход. Такой
подход предполагает анализ совокупности
факторов образования, взаимовлияния,
распределения и использования.
1) В число образующих факторов включена выручка,
получаемая предприятием от различных
видов предпринимательской деятельности,
в том числе от реализации продукции, занимающая
основной удельный вес, от реализации
прочих активов, основных средств. Важная
составляющая образующих факторов — доходы
от долевого участия в других предприятиях,
в том числе дочерних, доходы по ценным
бумагам, безвозмездная финансовая помощь,
сальдо штрафов, полученных и уплаченных.
2) Взаимовлияющие факторы включают внешние,
определяемые финансово-кредитной политикой
государства, в том числе налоги и налоговые
ставки, процентные ставки по ссудам, цены,
тарифы и сборы, а такжевнутренние, включая себестоимость,
производительность труда, фондоотдачу,
фондовооруженность, оборачиваемость
оборотных средств.
3) Факторы распределения состоят
из платежей обязательного характера
в бюджет и внебюджетные фонды, в банковские
и страховые фонды, платежей добровольного
характера, включая благотворительные
фонды, направления прибыли в фонды денежных
средств, создаваемые в предприятиях.
4) Факторы использования относятся
только к той прибыли, которая
остается в предприятиях
и коммерческих организациях. Они
включают такие направления: потребление,
накопление, социальное развитие, капитальные
и финансовые вложения, покрытие убытков
и прочих затрат.
В условиях рыночных отношений,
как свидетельствует мировая
практика, имеется два основных источника получения прибыли.
Первый — это монопольное
положение предприятия по выпуску той
или иной продукции или уникальности продукта.
Поддержания этого источника на относительно
высоком уровне предполагает проведение постоянной новации продукта. Здесь
следует учитывать такие противодействующие
силы, как антимонопольную политику государства
и растущую конкуренцию со стороны других
предприятий.
Второй источник связан
с производственной и предпринимательской
деятельностью, поэтому касается практически
всех предприятий. Эффективность его использования
зависит от знания конъюнктуры рынка и умения постоянно
адаптировать под нее развитие производства. Здесь,
по сути, все сводится к маркетингу. Величина
прибыли в данном случае зависит:
· во-первых, от правильности выбора
производственной направленности предприятия
по выпуску продукции (выбор продуктов,
пользующихся стабильным и высоким спросом);
· во-вторых, от создания конкурентоспособных
условий продажи своих товаров и оказания
услуг (цена, сроки поставок, обслуживание
покупателей, послепродажное обслуживания
и т.д.);
· в-третьих, от объемов производства
(чем больше объем продаж, тем больше масса
прибыли);
· в-четвертых, от ассортимента продукции
и снижения издержек производства.
Однако получение
прибыли в условиях рынка всегда
связано с риском — над предприятием
постоянно висит угроза потерять
вложенный капитал целиком или частично.
Именно поэтому в теории и на практике
используется понятие «предпринимательская прибыль», которая
по своей величине должна быть больше,
чем процент, получаемый по вкладам в банк.
По своему содержанию
понятие «риск» относится как к хозяйственной,
коммерческой, так и к финансовой деятельности.
Для определения риска используются два
основных метода: статистический и экспертный.
В основе статистического лежат приемы
математической статистики (расчет вариации,
дисперсии и стандартного отклонения
по показателям финансово-хозяйственной
деятельности). Этими показателями являются
рентабельность производства, продукции,
инвестиций, продаж и т.д.
Полностью избежать риска
в предпринимательской деятельности
практически невозможно,
но существует система методов смягчения
его отрицательных последствий. К ним
относятся самострахование (создание
резервных фондов), участие в венчурных
компаниях, заключение фьючерсных сделок
и т.д.
Основным показателем
прибыли, используемой для оценки производственно-хозяйственной
деятельности выступает: балансовая прибыль,
прибыль от реализации выпускаемой продукции,
валовая прибыль, налогооблагаемая прибыль,
прибыль, остающаяся в распоряжении предприятия
(чистая прибыль).
1.2. Виды и функции
прибыли
Общий финансовый результат
хозяйственной деятельности в бухгалтерском
учете определяется на счете прибылей
и убытков путем подсчета и
балансирования всех прибылей и убытков
за отчетный период. Хозяйственные операции
на счете прибылей и убытков отражаются
по накопительному принципу, т.е. нарастающим
итогом с начала отчетного периода.
Другим принципом определения
финансовых результатов является
использование метода начисления.
По этой причине прибыль (убыток),
показанные в отчете о финансовых
результатах, не отражают реального
притока денежных средств
предприятия в результате его хозяйственной
деятельности. Для восстановления реальной
картины о величине финансового результата
деятельности предприятия как приросте
(или уменьшении) стоимости его капитала,
образовавшегося в процессе его хозяйственной
деятельности за отчетный период, необходимы
дополнительные корректирующие расчеты.
На счете прибылей и убытков
финансовые результаты деятельности
предприятия отражаются в двух
формах:
1.как результаты (прибыль
или убыток) от реализации продукции,
работ, услуг, материалов и иного имущества,
с предварительным выявлением их на отдельных
счетах реализации;