Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Марта 2014 в 09:33, лекция
Понятие функции.
Аналитический способ задания функции.
График функции.
Важнейшие классы функций.
Понятие функции.
Пусть даны две переменные xи y с областями изменения Х и У. Предположим, что по условиям вопроса переменной х может быть приписано произвольное значение из области Х без каких – либо ограничений. Тогда переменная у называется функцией от переменной х в области её изменения Х, если по некоторому правилу или закону каждому значению х из Х ставится в соответствие одно определенное значение у из У.
Независимая переменная х называется аргументомфункции.
В этом определении существенны два момента: во-первых, указания области Х изменения аргумента х (её называют областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями х и у. (ОбластьУ изменения функции у обычно не указывается, поскольку сам закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений.)
Если каждому значению х из Х отвечает не одно, а несколько значений у изУ, то функция называется многозначной, в противном случае функция – однозначная (определена выше). В большинстве случаев в математическом анализе рассматривается однозначная функция, а функцию многозначную избегают.
Для указания того факта, что у есть функция от х, пишут:
у= f(х), φ= f(х), у= F(х) и т.д.
Буквы f, φ, F... характеризуют именно то правило, по которому получается значение у, отвечающее заданному х. Поэтому, если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента х, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой.
Хотя именно буква «эф» (в различных алфавитах) связана со словом «функция», но для обозначения функциональной зависимости, разумеется, может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют ту же букву у: у=у(х).
Если, рассматривая функцию, скажем, у=f(х), мы хотим отметить ее частное значение, которое отвечает выбранному частному значению х, равному х0, то для обозначения его употребляют символ:f(х0). Например, если
f(х)= , q(t)= , h(u)= , …,
тоf(1) означает численное значение функцииf(х)при х=1, т. е. попросту число , аналогично, q (5) означает число 2, h( )–число , и т. п.
Обратимся теперь к самому правилу или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости. Правило это может быть весьма разнообразной природы, поскольку оно ничем не было ограничено.
Наиболее простым и естественным представляется осуществление этого правила в виде аналитического выражения илиформулы, содержащих указание на те операции или действия над постоянными числами и над значением х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа.
Однако было бы ошибочным думать, что это - единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция Е(х) - «целая часть числа х». Легко сообразить, что
E(1) = 1, E(2,5) = 2, E( ) = 3, E( )= -4 и т. д.,
хотя никакой формулы, выражающей Е(х), у нас нет.
Таковы также и многочисленные «арифметические функции», т. е., функции от натурального аргумента, принимающие лишь натуральные же значения. В виде примера упомянем «о факториале числа n»:
n!= 1 x2 x3 …n,
а также о функции (n), представляющей число делителей числа п, или о функции φ (n), указывающей, сколько в ряду 1,2,3, ...,n имеется чисел, взаимно простых с п. Несмотря на своеобразный характер правил, которыми задаются эти функции, они позволяют вычислять значения функций с такой же определенностью, как и формулы. Например, имеем:
φ (10) = 4, φ (12) = 4, φ (16) = 8, ...
В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально или путем наблюдений. Например, если подвергнуть воду произвольно выбранному давлению р (атм), то на опыте можно определить соответствующую ему температуру 0 (°С) кипения воды: есть функция от р. Однако эта функциональная зависимость задается не какой-либо формулой, а лишь таблицей, где просто сопоставлены полученные из опыта данные. Примеры табличного способа задания функции легко найти в любом техническом справочнике.
Наконец, скажем еще, что в некоторых случаях - при помощи самопишущих приборов - функциональная зависимость между физическими величинами задается непосредственно графиком. Например, «индикаторная диаграмма», снимаемая при помощи индикатора, дает зависимость между объемом Vи давлением рпара в цилиндре работающей паровой машины; «барограмма», доставляемая барографом, представляет суточный ход атмосферного давления, и т. д. Не стоит входить в подробности относительно табличного и графического способов задания функциональной зависимости, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться.
Аналитический способ задания функции.
Сделаем ряд разъяснительных замечаний по поводу задания функции аналитическим выражением или формулой, которые играют в математическом анализе исключительно важную роль.
1° Прежде всего, какие аналитические операции или действия могут входить в эти формулы? На первом месте здесь разумеются все изученные в элементарной алгебре и тригонометрии операции: арифметические действия, возвышение в степень (и извлечение корня), логарифмирование, переход от углов к их тригонометрическим величинам и обратно. Однако, и это важно подчеркнуть, к их числу по мере развития наших сведений по анализу будут присоединяться и другие операции, в первую очередь предельный переход, с которым мы уже знакомы.
Таким образом, полное содержание термина «аналитическое выражение» или «формула» будет раскрываться лишь постепенно.
2° Второе замечание
относится к области
Так, для выражения такой областью будет все множество вещественных чисел. Для выражения эта область сведется к замкнутому промежутку[-1, 1], за пределами которого значение его перестает быть вещественным. Напротив, выражению придется в качестве естественной областиприменения отнести открытый промежуток (- 1,1), ибо на концах его знаменатель обращается в 0. Иногда область значений, для которых выражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных промежутков: для это будут промежутки (- , -1] и [1, + ), для - промежутки (- , -1), (-1, 1) и(1, + );ит. д.
График функции.
Хотя в математическом анализе функции графически не задают, но к графической иллюстрациифункции прибегают всегда. Обозримость и наглядностьграфика делают его незаменимым вспомогательным средством исследования свойствфункции.
Пусть в некотором промежутке Xзадана функцияу=f (х).Представим себе наплоскости две взаимно перпендикулярные оси координат - ось х и ось у. Рассмотрим парусоответствующих значений хи у, где хвзято из промежутка Х, а у=f (х); образом этой пары на плоскости служит точка М(х, у), с абсциссой х и ординатой у. Когда переменная х изменяется в пределах своего промежутка, эта точка описывает некоторую кривую АВ ( черт.1), которая и является геометрическим образом нашей функции и называется её графиком. В этих условиях само уравнение у=f (х)называют уравнением кривой АВ.
Например, начерт. 2 и черт.3 изображены графики функций
у= и у=
(
читатель узнает в них окружность и гиперболу.
Строится график обычно по точкам.
Берут в промежутке Хряд близких между собой значений х, вычисляют по формуле у=f (х)соответствующие значения у:
х= |
|
|
|
… |
|
у= |
|
|
|
… |
|
и наносится на чертёж
Через эти точки от руки или с помощью лекала проводят кривую,которая (конечно, с некоторым приближением) и дает искомыйграфик. Чем плавнее ходграфикаичемгущевзятыточки наним, тем точнееначерченная кривая воспроизводит этот график.
Следует заметить, что хотя геометрический образфункции всегда можно себе«представить», но не всегдаэтот образ будет кривойвобычном, интуитивномсмысле.
Построим, например, графикфункции у = Е(х). Так каквпромежутках [- 2,- 1), [- 1,0), [0, 1), [1, 2), [2, 3),...функция сохраняет постоянные значения - 2, - 1, 0, 1, 2, ..., то график будет состоять из ряда отдельных горизонтальных отрезков, лишенных своих правыхконцов (черт.4).
Важнейшие классы функций.
Перечислим здесь некоторые классы функций, получивших название элементарных.
1° Целая и дробная рациональные функции.
Функция, представляемая целым относительно буквы х многочленом:
у =
( , , , ... — постоянные), называется целой рациональной функцией.
Отношение двух таких многочленов:
у =
называется дробной рациональной функцией. Она определена для всех значений х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.
Для примера на (черт.5) даны графики функции у = ах2(параболы) при различных значениях коэффициента а, а на (черт.6) - графики функции у = (равнобочные гиперболы), также приразличных значениях .
2° Степенная функция.
Так называется функция вида
y=x
где — любое постоянное вещественное число. При целом получается рациональная функция. При дробном мы имеем здесь радикал. Например, пусть т — натуральное число и
y=
эта функция определена для всех значений х, если т — нечётное, и лишь для неотрицательных значений — при т чётном (в этом случае мы имеем в виду арифметическое значение радикала). Наконец, если — иррациональное число, мы будем предполагать х>0 (х= 0 допускается лишь при ( >0).
Начерт.7 и 8 даны графики степенной функции при различных значениях .
3° Показательная функция, т. е. функция вида
у = ах,
где а — положительное число (отличное от единицы); х принимает любое вещественное значение.
Графики показательной функции при различных значенияха даны на черт. 9.
4° Логарифмическая функция, т. е. функция вида
у = logах,
где а, как и выше, — положительное число (отличное от единицы); х принимает лишь положительные значения.
Начерт. 10 даны графики этой функции при различных значениях а.
5° Тригонометрические функции:
у=sinx,у=cosx, у=tgx,
у=ctgx, у=secx, у=cscx.
Очень важно раз навсегда усвоить, что аргументы тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, всегда выражают эти углы в радианах (поскольку не оговорено противное). Для tgхи secx исключаются значениявида
(2k+1)
а для ctgхи cscx — значения вида
k
Графики функций у= sinx(cosx)и у = tgx(ctgx)даны начерт. 11 и 12. График синуса обычно называют синусоидой.
Иной раз, особенно в технических вопросах, представляют интерес:
6° Гиперболические функции. Так называются функции:
shx= , ch = ,
thx=
(гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, ...); они определены для всех значений х, исключая ctgx, который теряетсмысл при х = 0. Эти функциипроявляют замечательную аналогию с тригонометрическими функциями.
Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки!)
ch(x
sh(x
из которых при у = х, в частности, следует:
- =1, ch2x= + , sh2x= 2 .
Например, первая из этих формул сводится к легко проверяемому тождеству:
Так же проверяются и остальные.
Графики гиперболических функций изображены начерт. 13 и 14.
Понятие обратной функции.
Прежде чем перейти к обратным тригонометрическим функциям, сделаем пояснение относительно обратных функций вообще.
Предположим, что функция у =f(х)задана в некоторой области X, и пустьУбудет множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в пределах области X. (Напрактике как X, так иУобычно будут представлять собою промежутки.)
Выберем какое-нибудь значение у=у0из областиУ;тогда, в области Xнеобходимо найдётся такое значение х = х0, при котором наша функция принимает именно значениеу0, так что
f(x0)=y0 ;
подобных значений х0может оказаться и несколько. Таким образом, каждому значению у изУставится в соответствие одно или несколько значений х; этим определяется в области У однозначная или многозначная функция х=g(у), которая и называется обратной для функции у=f(х).
Рассмотрим примеры: