Единое пересечение кривых в пространстве

 

 

λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 (12)

 

 

проходила через точку M5 = (х5, у5), т. е. достаточно определить λ1 и  λ2, вернее, их отношение λ1: λ2, из условия

 

 

λ1F1(х5, у5) + λ2F2(х5, у5), (13)

 

 

Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые F1 и F2 из этого пучка: он состоит из всех кривых, являющихся линейными  комбинациями λ1F1 + λ2F2 двух данных. Все  эти кривые определяются значениями одного параметра— отношением λ = λ1:λ2 двух коэффициентов в линейной комбинации λ1F1 + λ2F2. Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых — совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей —

 

Единое пересечение кривых в пространстве

одномерным многообразием  плоскостей).

 

 

Понятие пучка кривых позволяет  очень просто найти уравнение  кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек M1, M2, M3, M4, M5. В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например M1, M2, M3, M4.

 

Легко написать уравнения  прямых:

 

 

d1: M1M2 d′1: M3M4 ,

 

d2: M1M3 d′2: M2M4 .

 

 

Теперь имеем две распадающиеся  кривые второго порядка: кривую F1 распадающуюся  на пару прямых d1 и d′1, и кривую F2, распадающуюся  на прямые d2 и d′2 . Многочлены F1(х, у) и F2(х, у) суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частями  уравнений, соответствующих прямым d1 и d′1, d2 и d′2. Распадающиеся линии F1 и F2, очевидно, проходят через точки M1, M2, M3, M4 т. е. принадлежат пучку, определяемому этими точками. Остается только определить отношение λ1:λ2 из условия, чтобы кривая λ1F1 + λ2F2 проходила через точку M5 = (х5, у5), этим условием является равенство (13), из которого находим

 

 

λ1:λ2 = - F2 (х5, y5) : F1(x5, у5).

 

 

4 Теорема единственности  для поверхностей второго порядка

 

 

Теорема 3. Два многочлена второй степени F1(x, у, z) и F2(х, y, z) тогда  и только тогда имеют одно и  то же нулевое многообразие, когда  они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое  число λ≠0 .

 

Как н в случае многочленов  от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени F1(x, у, z) и F2(х, y, z), имеющие  одно и то же нулевое многообразие CF1 = CF2 =C, пропорциональны между собою.

 

Рассмотрим поверхности

 

 

F1(x, у, z)=0  (14)

 

 

и

 

 

F2(х, y, z)=0 (15)

 

 

Берем какое-нибудь направление {α: β: γ}, неасимптотическое для поверхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).

 

Диаметральная плоскость  π поверхности (14), сопряженная направлению {α: β: γ}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому же направлению.

 

Возьмем теперь систему координат  O'x'y'z', ось z' которой имеет направление {α: β: γ}, а две другие оси лежат в плоскости π. В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид

 

 

F′1(x′, у′, z′)=a′33 z′ 2+f′1(x′, y′) = 0  (16)

 

F′2(x′, у′, z′)=a′33 z′ 2+f′2(x′, y′) = 0  (17)

 

 

где

 

 

f′1(x′, y′)=a′11x′ 2+ 2a′12x′y′  + a′22y′ 2+2a′1x′ + 2a′2y′ +a′0

 

f′2(x′, y′)=b′11x′ 2+ 2b′12x′y′  + b′22y′ 2+2b′1x′ + 2b′2y′ +b′0

 

 

Здесь a′33 ≠ 0 (и b′33 ≠ 0), в  противном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z', удовлетворяя уравнению

 

 

φ′1(x′, у′, z′)= a′11x′ 2+ 2a′12x′y′ + a′22y′ 2+ a′33z′ 2 = 0 ,

 

 

был бы вектором асимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) — вопреки  нашим предположениям.

 

Нам надо доказать пропорциональность многочленов F1(x, у, z) и F2(х, y, z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F′1(x′, у′, z′) и F′2(x′, у′, z′). Для этого  обозначим через С0 пересечение  множества С с плоскостью z' = 0. Множество С0 есть множество всех точек плоскости О'х'у', в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О'х'у') нулевое многообразие каждого из этих многочленов.

 

Возможны следующие случаи:

 

1° Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f′1(x′, y′)=0, f′2(x′, y′)=0 противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′) тождественно равен отличной от нуля постоянной а'0, соответственно b0'„.

 

2° Множество совпадает  со всей плоскостью О'х'у'. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′) тождественно равен нулю.

 

3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С0 есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости О'х'у' каждым из уравнений

 

 

f′1(x′, y′)=0, f′2(x′, y′)=0 . (18)

 

 

В этом случае в силу теоремы  единственности для многочленов  второй степени от двух переменных имеем f′2(x′, y′) = μ f′1(x′, y′) при некотором μ≠0. Полагая λ=z′33 : a′33 (что возможно, так как a′33≠0 ), можем написать

 

 

F′1(x′, у′, z′) = a′33z′ 2+ f′1(x′, y′),

 

F′2(x′, у′, z′) =λ a′33z′ 2+μ f′2(x′, y′),

 

 

Для того чтобы доказать в  случае 3° пропорциональность многочленов F′1(x′, у′, z′) и F′2(x′, у′, z′), надо только показать, что μ = λ.. Так как многочлен f′1(x′, y′), не равен тождественно постоянной, то существуют значения x′=x′1, у' = у'1, для  которых f′1(x′1, у'1). Найдя такие значения, решаем относительно z' уравнение

 

 

F′1(x′1, у′1, z′1) = a′33z′ 2+ 1 = 0

 

 

Получаем z′1 = (1 : a′33 )0,5. Итак, точка M1 = (x′1, у′1, z′1) принадлежит множеству С. Следовательно,

 

 

F′2(x′1, у′1, z′1) = λa′33(1 : a′33) + μ 1 = 0 , т. е. μ = λ.

 

Итак, в случае 3° утверждение  теоремы 3 доказано. В случае 2° имеем

 

 

F′1(x′, у′, z′)= a′33 z′ 2 , a′33 ≠0,

 

F′2(x′, у′, z′)= b′33 z′ 2 , b′33 ≠0

 

 

и, следовательно, полагая  λ=(b′33 : a′33) , имеем F′2(x′, у′, z′)=λ F′1(x′, у′, z′) — утверждение теоремы 2 верно и в этом случае.

 

Наконец, в случае 1° уравнения (16′), (17') принимают вид

 

 

F′1(x′, у′, z′)= a′33 z′ 2+a′0 , a′0 ≠0

 

F′2(x′, у′, z′)= b′33 z′ 2+b′0 , b′0 ≠0

 

 

Для того чтобы эти уравнения  были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было b′33 = λa′33 , b′0 = λa′0 при λ= (b′33 : a′33 )

 

Теорема 3 доказана во всех случаях.

 

 

Список литературы

 

 

Александров П.С. Лекции по аналитической  геометрии. Наука, 1968

 

Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1973. ч 1

 

Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1987. ч 2

 

Базылев В.Т. Геометрия. М. , 1974. ч 1

 

Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. Наука, 1967

 

Парнасский И.В. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадратики. Просвещение, 1978.

 

Погорелов А.В. Аналитическая  геометрия. Наука, 1968