Двухсторонние поверхности

1 Двусторонние поверхности

Сторона поверхности. Установим сначала важное для дальнейшего изложения понятие стороны поверхности.

В ряде случаев это понятие интуитивно ясно. Если поверхность задается явным  уравнением вида , можно говорить о верхней стороне или о нижней стороне поверхности. Если поверхность ограничивает некоторое тело, то также легко представить себе ее две стороны — внутреннюю, обращенную к телу, и внешнюю, обращенную к окружающему тело пространству.

Исходя  из этого интуитивного представления, постараемся теперь дать точное определение  понятия стороны поверхности.

Рассмотрим гладкую поверхность (S), замкнутую или ограниченную кусочно-гладким контуром. Так как на поверхности нет особых точек, то в каждой точке поверхности имеется определенная касательная плоскость, положение которой непрерывно изменяется вместе с точкой касания.

Взяв на поверхности  определенную точку, проведем в ней нормаль, которой припишем определенное направление — одно из двух возможных (они отличаются одно от другого знаками направ- ляющих косинусов). Проведем по поверхности замкнутый контур, исходящий из и возвращающийся в причем предположим, что он не пересекает границы поверхности. Заставим точку обойти этот контур и в каждом из последовательных ее положений будем приписывать нормали то из двух направлений, в которое непрерывно переходит направление, выбранное нами в начальном положении . При этом может случиться одно из двух: либо после обхода контура мы вернемся в точку с тем же направлением нормали, либо же — с направлением, противоположным исходному.

 

 

 

Если для какой-либо точки и какого-либо проходящего через нее контура имеет место последнее обстоятельство, то и для любой другой точки легко построить замкнутый контур, который, выходя из и возвращаясь в нее же, приведет нас в эту точку с направлением нормали, противоположным исходному. Таким, например, будет контур , если под разуметь какую- нибудь проходящую по поверхности кривую, соединяющую с , но не пересекающую границы поверхности, а под — ту же кривую в обратном направлении.

В этом случае поверхность называют односторонней. Классическим примером такой поверхности является так называемый лист Мёбиуса (рис. 82). Модель ее можно получить, если прямоугольный кусок бумаги ABCD, перекрутив один раз, склеить так, чтобы точка А совпала с С, а В с D. Если полученное перекрученное кольцо начать красить в какой-либо цвет, то можно, не переходя через его границы, покрасить все кольцо

этим цветом. Мы впредь подобные поверхности исключим из рассмотрения.

Предположим теперь, что какова бы ни была точка , и каков бы ни былзамкнутый контур, проходящий через и не пересекающий границы поверхности, после обхода его мы неизменно возвращаемся в исходную точку с исходным же направлением нормали. При этих условиях поверхность называется двусторонней.

Пусть же S—двусторонняя поверхность. Возьмем на ней любую точку и нормали в этой точке припишем определенное направление. Взяв какую-либо другую точку поверхности, соединим и произвольным путем (К), лежащим на поверхности и не пересекающим ее границы, и заставим точку М перейти из в по этому пути. Если при этом непрерывно изменять направление нормали, то точка М придет в положениес вполне определенным направлением нормали, не зависящим от выбора пути (К). Действительно, если бы, приходя в точку из точки по двум различным путям () и (), мы получали в точке различные направления нормали, то замкнутый путь    приводил бы нас в точку с направлением нормали, отличным от исходного, что противоречило бы определению двусторонней поверхности.

Таким образом, на двусторонней поверхности выбор направления  нормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках поверхности. Совокупность всех точек поверхности с приписанными нормалями в них по указанному правилу направлениями и называется определенной стороной поверхности.

(Расписать еще))))

 

Ориентация поверхностей и пространства. Пусть (S) будет незамкнутая гладкая двусторонняя поверхность, ограниченная простым контуром (L); выберем определенную сторону этой поверхности. Припишем теперь контуру (L) определенное направление обхода в качестве положительного по следующему правилу, обход должен казаться происходящим против часовой стрелки наблюдателю, движущемуся в этом направлении по контуру так, что нормаль к поверхности, отвечающая выбранной стороне, пронизывает его от ног к голове. Слова «против часовой стрелки» означают, точнее говоря, что наблюдатель должен видеть непосредственно прилегающую к нему часть поверхности слева от себя. По тому же правилу одновременно устанавливается положительное направление обхода для каждого простого замкнутого контура, лежащего на поверхности и ограничивающего некоторую ее часть1. Направление обхода, обратное положительному, назовем отрицательным. В совокупности все это и составляет содержание понятия ориентации поверхности.

Если исходить из другой стороны  поверхности, то нормали изменят свое направление на обратное, изменится положение наблюдателя, в связи с чем по нашему правилу придется переставить положительное и отрицательное направления обхода контура (L) и других контуров, лежащих на поверхности: поверхность изменит свою ориентацию. Таким образом, если всегда держаться установленного правила, выбор стороны поверхности определяет ее ориентацию и, обратно, выбор положительного направления обхода контура поверхности однозначно определяет ее сторону.

В случае замкнутой гладкой поверхности (S), ограничивающей некоторое тело, речь может идти о внешней или о внутренней по отношению к этому телу стороне поверхности. Установить для любого простого замкнутого контура положительное направление обхода с помощью сформулированного выше правила на этот раз не удается. Причина этого — двоякая. Прежде всего такой контур может просто «не разделять» поверхность (как, например, в случае любых параллелей или меридианов на торе), и тогда поверхность примыкает к контуру с обеих сторон: наше правило ничего не дает. Но если даже контур «разделяет» поверхность на две области, то он обе их «ограничивает» в равной мере, и в зависимости от того, какую из них выбрать, наше правило приводит к тому или другому из двух направлений на контуре, как к положительному. Ограничиваясь контурами, «разделяющими» поверхность, мы станем вместе с контуром указывать и область, тогда положительное направление устанавливается уже вполне однозначно. Этим и определяется ориентация поверхности — та или другая, в зависимости от выбранной стороны.

Если условиться принять для  каждой такой поверхности за положительную ориентацию ту, которая отвечает внешней стороне поверхности, а за отрицательную — противоположную ей, то этим создается некая определенная ориентация самого пространства. Эт& вполне аналогично тому, как выбор положительного направления (можно было бы сказать — положительной ориентации) на любом лежащем на плоскости простом замкнутом контуре характеризовал ориентацию плоскости .

Та ориентация пространства, которая  сейчас была определена и 'в основу которой в конечном счете было положено вращение против часовой стрелки, называется правой. Если вместо этого исходить из вращения по часовой стрелке, то получится левая ориентация пространства. Для избежания путаницы мы впредь в тех вопросах, где ориентация пространства играет роль, всегда будем предполагать правую ориентацию пространства.

Нужно сказать, что и самое расположение координатных осей в пространстве ставится в связь с установленной ориентацией пространства. При правой ориентации оси располагаются так, что вращение от оси х к оси у кажется происходящим против часовой стрелки, если на них смотреть из положительной части оси z (это сохраняет силу и при круговых перестановках букв xyz) (рис. 83, а); при левой ориентации упомянутое вращение происходит по часовой стрелке (рис. 83, б). В первом случае координатная система Oxyz называется правой, а во втором — левой. В согласии с заключенным выше условием мы в указанных случаях впредь будем пользоваться правой координатной системой.

 

. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали. Дадим сейчас важное для дальнейшего приложение изложенной выше идеи о связи между выбором стороны поверхности и созданием на ней той или другой ориентации.

Рассмотрим вновь простую незамкнутую  гладкую поверхность S и выберем определенную ее сторону (а с нею — и ориентацию!). Пусть (Л) будет контур области (А) на плоскости uv, а (L) — соответствующий ему контур нашей поверхности. Допустим, что положительному обходу контура (Л) отвечает положительный же обход контура (L)2. Тогда и для любых соответствующих друг другу контуров (X) в области (А) и (Г) на поверхности (S) имеет место то же самое: положительный обход (X) влечет за собой положительный обход (/)3.

При этих условиях для характеристики выбранной стороны поверхности в формулах (2) для направляющих косинусов нормали перед радикалом нужно взять знак плюс.

Для доказательства этого достаточно установить, что хоть в одной точке направление, определяемое этими формулами со знаком плюс, совпадает с нужным направлением нормали. Возьмем на поверхности какую-нибудь внутреннюю точку Mq; ей отвечает точка Ото («о. fo) ^в области (А). Пусть в этой точке отличен от нуля, скажем, определитель

Хи У а

с=

X_v у-о 

Тогда найдется столь малая окрестность  точки т₀ на плоскости их», ограниченная контуром (X), что соответствующая ей окрестность точки Мй на поверхности (S), ограниченная контуром (Г), проектируется на плоскость ху взаимно однозначно. Обозначим контур этой проекции на плоскость ху через (k) (рис. 84).

Если в рассматриваемой точке  и в'ее окрестности определитель С>0, то положительному обходу контура (X) отвечает положительный же обход (т. е. при выбранном расположении осей обход против часовой стрелки) контура (&) [см. 606, 1)]. Как видно из чертежа, для того чтобы соответствующий этому обход контура (!) на поверхности тоже казался происходящим против часовой стрелки, на него нужно смотреть сверху, так что нормаль в точке Мо в этом случае должна быть направлена вверх, т. е. должна составлять с осью z острый угол. Это именно и имеет место по формулам- (2), если в них взять знак плюс, ибо при

0 тогда и cos v 0. Наоборот, при С<^0 нормаль должна составлять с осью z тупой угол, что также осуществляется на деле при указанном выборе знака, ибо при и cosv<^0.

Если гладкая поверхность (5) оказывается  замкнутой и ограничивает некоторое тело [ср. 619, 3)|, то для нее имеет место аналогичное обстоятельство. Допустим, что мы остановились на определенной стороне поверхности и что положительному обходу одного какого-нибудь контура (Х_в) в области (Д) отвечает положительный обход определяемого им контура (4) на поверхности (5), если связать (4) с той областью на (5), которая отвечает ограниченной контуром (Х₀) области на плоскости uv. В таком случае предложение, доказанное выше для случая незамкнутой поверхности, будет справедливо и теперь.

622. Случай кусочно-гладкой поверхности. Развитые в п° 620 идеи дают также удобное средство для распространения понятия стороны поверхности на случай кусочно-гладкой поверхности. Соображения, изложенные в. п° 618, в этом случае непосредственно неприложимы, так как вдоль «ребер», соединяющих гладкие куски поверхности, определенной касательной плоскости не существует, и при переходе через них о непрерывном изменении направления нормали говорить не приходится.

 

Пусть дана кусочно-гладкая поверхность (S), состоящая из гладких кусков (Si), (&), ,.., примыкающих один к.другому по ребру — 
общей части их контуров. Предположим прежде всего, что каждый из этих кусков в отдельности является двусторонней поверхностью. Но этого, разумеется, недостаточно для того, чтобы всю поверхность (5) можно было рассматривать, как двустороннюю; ведь и

поверхность Мёбиуса легко составляется из двух гладких двусторонних кусков.

На контуре (/Q каждого куска (Si) (1=1, 2, ...) выберем в качестве положительного одно из двух направлений; этим, как мы видели, фиксируется сторона поверхности (5_г). Если этот выбор можно произвести так, чтобы всегда общая часть двух примыкающих контуров 4 описывалась в обоих случаях в противоположных направлениях (рис. 85), то лишь тогда поверхность (S) является двусторонней. Сторона поверхности (S) определится, как совокупность сторон ее частей, выбранных указанным образом.

Если хоть в одном случае направление  обхода контура заменить на противоположное, то для соблюдения нашего условия  придется то же сделать и со всеми  контурами. Тогда и выбранные  стороны всех кусков заменятся противоположными им; их совокупность составит вторую сторону  поверхности.

Для того чтобы освоиться с установленными соглашениями, предлагается читателю: 1) осуществить их на примере поверхности куба (рис. 86), подобрав надлежащие направления обхода контуров всех шести составляющих плоских кусков, Рис. 86. 2) дать себе отчет в том, какие затруднения встретились бы, если бы попытаться то же сделать для поверхности Мебиуса, разложенной на два или более двусторонних куска, и, наконец, 3) показать, что данное выше определение стороны не зависит от того, на какие гладкие куски разложена поверхность.

2 Этого всегда легко добиться, заменив в случае надобности параметр и на —а.

3 Так как о направлении обхода контура можно судить по направлению, в котором описывается любая его часть, то высказанное утверждение очевидно для контура (К), имеющего общую часть с (А), а затем легко переносится и на общий случай.

4 Эта часть может состоять и из отдельных кусков.