Двойные и криволинейные интегралы

Двойные и  криволинейные интегралы.

1.Двойной интеграл.

1.1.Основные понятия и определения.

Двойной интеграл - это интеграл от функции двух переменных, который  вычисляется в некоторой области  переменных. Это может быть прямоугольная  область (то есть границы области  заданы и являются постоянными числами), либо границы могут определяться неким функциональным выражением. В  данном случае границы области интегрирования двойного интеграла задаются кривыми (графиками функций). В физике и  математике вычисление двойных интегралов является частым необходимым этапом в решении задач. Например, с помощью  двойных интегралов вычисляется  масса плоских фигур (при этом f(x,y) - подынтегральная функция - играет роль поверхностной плотности фигуры, которая зависит от координат точек фигуры).

Двойной интеграл в общем  виде записывается следующим образом: 

Разбираемся в терминах и  обозначениях: 
– значок двойного интеграла; 
 – область интегрирования (плоская фигура); 
 – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая; 
 – значки дифференциалов.

 

Пусть в замкнутой области  D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f (x; y). Разобьем область D на n «элементарных частей» D_i (i =1, n), площади которых обозначим через ∆S_i, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) ─ через d_i (см. рис. 1).

Рис.1

В каждой области D_i выберем произвольную точку M_i (x_i; y_i), умножим значение f (x_i; y_i) функции в этой точке на ∆S_i и составим сумму всех таких произведений:

f(x₁; y₁)∆S₁+f(x₂; y₂)∆S₂ + … + f(x_n; y_n)∆S_n=       (1.1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f (x;y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (1.1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что max d_i → 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции   f (x;y) по области D и обозначается (или )

 Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

    (1.2)

В этом случае функция f (x; y) называется интегрируемой в области D; D ─ область интегрирования; x и y ─ переменные интегрирования; dx dy (или dS) ─ элемент площади.

Теорема 1.1 (достаточное  условие интегрируемости функции):

Если функция z = f (x; y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечание.

Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой  в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 2). При этом ∆S_i= ∆x_i · ∆y_i, равенство (1.2) можно записать в виде

 

 

1.2.Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Объем цилиндрического  тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x; y) ≥0, снизу ─ замкнутой областью D в плоскости Oxy, с боков ─ цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 3). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности          z = f (x; y) на плоскость Oxy) произвольным образом на n областей D_i, площади которых равны   ∆S_i (i =1, n). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями D_i, ограниченные сверху кусками поверхности z = f (x; y) (на рис.3 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием D_i через ∆V_i, получим                                                         

                                                                                                               Рис. 3

Возьмем на каждой площадке D_i произвольную точку M_i (x_i; y_i) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием D_i и высотой z_i= f (x_i; y_i). Объем этого цилиндра приближенного равен объему ∆V_i цилиндрического столбика, т.е. ∆V_i≈ f (x_i; y_i) · ∆S_i. Тогда получаем:

V =   _(1.3)

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» D_i. Естественно принять предел суммы (1.3) при условии, что число площадок D_i неограниченно увеличивается (n→∞), а каждая площадка стягивается в точку (max d_i→0), за объем V цилиндрического тела, т.е.

 V=

или, согласно равенству (1.2),

   (1.4)

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции  равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл интеграла.

Масса плоской  пластинки

Требуется найти массу  m плоской пластинки D_i, зная, что ее поверхностная плотность ɤ = ɤ (x; y) есть непрерывна функция координат точки (x; y). Разобьем пластинку D на n элементарных частей D_i (i =1, n), площади которых обозначим через ∆S_i. В каждой области D_i возьмем произвольную точку M_i (x_i; y_i) и вычислим плотность в ней: ɤ (x_i; y_i).

Если области D_i достаточно малы, то плотность в каждой точке (x; y) ϵ D_i мало отличается от значения ɤ (x_i; y_i). Считая приближенно плотность в каждой точке области D_i постоянной, равной ɤ (x_i; y_i), можно найти ее массу m_i: m_i ≈ ɤ (x_i; y_i) · ∆S_i. Так как масса m всей пластинки D равна m = _i, то для ее вычисления имеем приближенное равенство

m≈         (1.5)

Точное значение массы  получим как предел (1.5) при условии n→∞ и max d_i→0:

m=

или, согласно равенству (1.2),

(1.6)

Двойной интеграл от функции ɤ (x; y) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию ɤ (x; y) считать плотностью этой пластинки в точке (x; y). В этом состоит физический смысл интеграла.

 

 

1.2.Основные свойства  двойного интеграла

1., c — const

2.

3. Если область D разбить линией на две области D₁ и D₂ такие, что D₁D₂ = D, а пересечение D₁ и D₂ состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 4), то

.

                       Рис.4

4. Если в области D имеет место неравенство f (x; y) ≥ 0, то и ≥ 0. Если в области D функции f (x; y) и ɤ (x; y) удовлетворяет неравенству f (x; y) ≥ ɤ (x; y), то и

 

5.

6. Если функция f (x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то mS≤, где m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7. Если функция f (x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (x₀; y₀), что = f (x₀; y₀) · S. Величину

f(x₀;y₀) = ·

называют средним значением функции f (x; y) в области D.

1.3.Вычисление  двойного интеграла в декартовых  координатах

Пусть требуется вычислить  двойной интеграл ,где функция f (x; y) ≥0 непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 1.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x; y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений.

Положим сначала, что область  D предоставляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми y = φ₁(x) и y = φ₂(x), причем функции φ₁(x) и φ₂(x) непрерывны и таковы, что φ₁(x) ≤ φ₂(x) для всех x ϵ [a; b] (см. рис. 5). Такая область называется правильной в направлении оси Oy: любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического  тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox: x = const, где x ϵ [a; b].

В сечении получим криволинейную  трапецию ABCD, ограниченную линиями z = f (x; y), где  x = const, z = 0, y = φ₁(x) и  y = φ₂(x) (см. рис. 6).

                          Рис.5                                                              Рис. 6

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

                                     S(x)=

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического  тела может быть найден так:

V=

С другой стороны, в п. 1.2 было доказано, что объем цилиндрического  тела определяется как двойной интеграл от функции f (x; y) ≥0 по области D. Следовательно,

V=

Это равенство обычно записывается в виде

    _(1.7)

Формула (1.7) представляет собой  способ вычисления двойного интеграла  в декартовых координатах. Правую часть  формулы (1.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f (x; y) по области D. При этом _{называется} внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного  интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая x постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

Если же область D ограниченна прямыми ограниченна прямыми y=c и y=d(c<d), кривыми x= φ₁ (y) и x= φ₂ (y), причем φ₁ (y)≤ φ₂ (y) для всех y ϵ [c; d],т.е. область D —правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью y = const, аналогично получим:

    _(1.8)

 

Пример 1. Вычислить , где область D ограничена линиями y = x², y = 0, x + y - 2 = 0.

Решение. На рисунке 7 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ox. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (1.8):