Дифференциальные уравнения

Министерство  образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Сыктывкарский государственный университет»

Институт точных наук и информационных технологий

 

Кафедра прикладной математики

 

 

 

Курсовая работа

на тему:

«Дифференциальные уравнения.

Рабочая тетрадь для проведения практических занятий и обеспечения самостоятельной работы по дисциплине «Математика»

 

 

Исполнитель: студентка группы       

                                                                                 

 

Научный руководитель:  старший преподаватель

                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

Сыктывкар 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ВВЕДЕНИЕ

 

Цель данной рабочей тетради – методическое обеспечение работы студентов на практических занятиях и  самостоятельной работы студентов.

          В  каждом  разделе указаний

•         приведены  теоретические сведения, включая определения, свойства, правила, формулы;

•          приведены примеры;

•         приведен список упражнений, ко всем упражнениям приведены ответы (все упражнения были прорешены);

•         приведены пять вариантов контрольной работы и тест с вариантами ответов для общей проверки знаний студентов;

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

 

2.1. ПРОИЗВОДНАЯ  ФУНКЦИИ

Рассмотрим функцию  . Пусть – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки . Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке и обозначается . Таким образом,  , откуда следует, что   ..

Говорят также, что первоначальное значение аргумента получило приращение . Вследствие этого значение функции изменится на величину  .

Эта разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению и обозначается , т. е. по определению

  ,   откуда  .

Правосторонней производной функции в точке называется  конечный предел (если он существует) отношения приращения функции  к приращению аргумента    при стремлении последнего к нулю справа

.

Левосторонней производной функции в точке называется конечный предел (если он существует) отношения приращения функции  к приращению аргумента    при стремлении последнего к нулю слева

  .         

Если левая и правая производные в точке существуют и равны между собой, то говорят, что в точке существует производная функции.

 

Производной функции в точке называется конечный предел (если он существует) отношения приращения функции    к приращению аргумента    при стремлении последнего к нулю

.

 

 

ПРИМЕР 1.

Найти приращение функции     при  .

РЕШЕНИЕ.

       .

ПРИМЕР 2.

 Найти левую и правую производные  для функции y=|x| в x=0. Выяснить существует ли в этой точке производная.

РЕШЕНИЕ.

        производная в этой точке не определена.

ПРИМЕР 3.

 Найти производную функции  в точке , используя определение.

РЕШЕНИЕ.

 

 

 

УПРАЖНЕНИЯ.

1) Найти приращение аргумента и приращение функции    в точке         

2) Найти приращение функции   при        

3) Найти производную функции в точке .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)         2)      3) .

    2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Дифференциал — линейная часть приращения функции или отображения; тесно связан с понятием производной по направлению; обычно дифференциал обозначается , а его значение в точке обозначается .  и вычисляется по формуле .

 

ПРИМЕР.

Найти дифференциал функции  .

 

РЕШЕНИЕ.

.

 

УПРАЖНЕНИЯ.

Найти дифференциалы первого  порядка:

1)

2) .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)                  2) .

2.3. ПРОИЗВОДНЫЕ  ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Таблица 1. Производные основных элементарных функций

f(x)

 

 

 

 

 

 

2.4. ПРАВИЛА  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

 

Таблица 2. Правила дифференцирования

 

Производная алгебраической суммы функций
Производная произведения функций
Производная частной функций
Производная сложной функций

 

 

ПРИМЕР 1.

 Найти производную (вынос постоянного  числа за знак производной) 

РЕШЕНИЕ.

  .

ПРИМЕР 2.  Найти производную частного  функции  .

РЕШЕНИЕ. 

 

 

УПРАЖНЕНИЯ.

 Вычислить производную функции: 

1)                                 

2)

3) .

 

ОТВЕТЫ  УПРАЖНЕНИЯМ.

1)     2)      3) .   

 

3.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ

 

3. 1. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

 

Дифференциальное уравнение --- это уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение (ДУ), если от нескольких --- то уравнением в частных производных (УЧП).

 

Дифференциальное уравнение n-го порядка записывается в виде: 

 .

Обыкновенным ДУ первого порядка является уравнение вида: 

 

уравнением в частных производных первого порядка является уравнение вида:

;

уравнением -го порядка, разрешенным относительно старшей производной является уравнение вида:  

  .

Решением дифференциального уравнения называется такая функция ,  которая при подстановке ее в данное уравнение обращает его в тождество. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения --- задача интегрирования данного дифференциального уравнения.

 

Общее решение ДУ --- это такое его решение, , которое является функцией независимой переменной и произвольных постоянных, число которых равно порядку уравнения.

Частное решение ДУ --- это решение, получаемое из общего решения, при некоторых конкретных числовых значениях произвольных постоянных.

 

3.2. ТЕОРЕМА 1 (УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ  ЗАДАЧИ КОШИ)

 

     Задача Коши:

Пусть в ДУ (*) правая часть и ее частная производная по непрерывны на открытом множестве координатной плоскости ОХУ. Тогда справедливы утверждения:

1. Для всякой точки  из открытого множества найдется решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию (**)

2. Если два решения  и уравнения (*) совпадают хотя бы для одного значения т.е. если то эти решения совпадают при всех значениях переменной , для которых они определены.

 

ПРИМЕРЫ.

1. Это ДУ первого порядка.  Общее решение . Условие Теоремы 1 выполнено для всей OXY.  Решением задачи Коши с начальными условиями является функция .

2. Это ДУ первого порядка.  Общее решение ДУ . Условие Теоремы 1 для всей OXY не выполнено (т.к. частная производная  не существует при ).  Поэтому единственность решения нарушается в точке .

 

УПРАЖНЕНИЯ.

1) Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

2) Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения , .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1) .    2) .

 

 

3.3. НЕПОЛНЫЕ  ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

  или  . Решение выглядит так  .

  или  . Решение выглядит так  .

ПРИМЕРЫ.

1)        

2) .

УПРАЖНЕНИЯ.

1)

2) .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)       2) .

3.4. ДУ С  РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

 

 или  .  

Тогда          .

 

ПРИМЕР.

.

 

УПРАЖНЕНИЯ.

1)

2) .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)      2) .

 

 

 

3.5. ОДНОРОДНЫЕ  ДУ

 

   

Сделаем замену

 

Функция   --- однородная  -го порядка (степени ), если

Функция  в уравнении --- однородная нулевой степени.

Уравнение    может быть сведено к однородному: 

если однородные функции степени .

 

ПРИМЕРЫ.

      

.

 

УПРАЖНЕНИЯ.

1)

2) .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)         2) .

 

 

3.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

  . 

Сделаем замену

 , т. к.   .

      

ПРИМЕР.

 

УПРАЖНЕНИЯ.

1)

2) .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)      2) .

 

 

 

3.7. ДУ ВТОРОГО  ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ  ПОРЯДКА

 

В некоторых случаях решение ДУ второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух ДУ первого порядка. Тогда говорят, что ДУ допускает понижение порядка.

.

Уравнение можно переписать в виде

ПРИМЕР.

.

.    

 

       при   .

 отсюда находим

 .

ПРИМЕР.

.

 

        при      .

 находим

.

ПРИМЕР.

 

 

УПРАЖНЕНИЯ.

1)

2)

3) .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)       2)     3) .

3.8. ЛИНЕЙНЫЕ  ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ  КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

 однородное ДУ.

неоднородное ДУ.

 

 

3.9. ОДНОРОДНЫЕ  ЛИНЕЙНЫЕ ДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ  КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

Ищем решение Эйлера:

 где 

 характеристическое уравнение ДУ (*).

 Корни характеристического уравнения и линейно независимые решения ДУ (*)

при имеем  

 линейно независимые решения.

   

при

 линейно независимые решения.

   

 

при

 линейно независимые решения.

.

 

ТЕОРЕМА. Если два линейно независимых решения ДУ (*),то общее решение (*) имеет вид: где произвольные постоянные.

 

 

3.10. НЕОДНОРОДНЫЕ  ЛИНЕЙНЫЕ ДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ  КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

 

 

 Метод вариации произвольных постоянных.

Решение ищем в виде линейной комбинации решений (*), где произвольные постоянные являются функциями от :

 функции и находим, решая систему из двух уравнений:

,

ПРИМЕР 1.

где общее решение (*), частное решение (**).

ТЕОРЕМА. Общее решение ДУ (**) равно сумме общего решения однородного ДУ (*) и частного решения неоднородного ДУ (**).

Частные решения неоднородного ДУ (**) для некоторых видов правой части.

1)  Правая часть .

Частное решение 

где кратность как корня характеристического уравнения (+).

ПРИМЕР 2.

.

2)  Правая часть  .

Частное решение 

где кратность как корня характеристического уравнения (+).

ПРИМЕР 3.

.

 

3)  Правая часть 

Частное решение  ,

где кратность как корня характеристического уравнения (+).

ПРИМЕР 4.

.

 

4)  Правая часть  .

Частное решение  ,

где кратность , как корня характеристического уравнения (+),

степень равна наибольшей из степеней многочленов .

 

УПРАЖНЕНИЯ.

1)

2)

3) .

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)      2)       3) .

 

3.11. СИСТЕМА  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Нормальная система ДУ   при

.

Иногда система ДУ сводится к ДУ более высокого порядка, зависящего только от одной функции:

 

.

Автономная система ДУ      при .

 

 

3.12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ  РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ