Дифференциал ( в математике)

Дифференциал

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функцииили отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал обозначается , а его значение в точке обозначается .

Неформальное описание

Рассмотрим гладкую функцию  . Проведем касательную к ней в точке , и отложим на ней отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось была равна . Проекция этого отрезка на ось называется дифференциалом функции в точке от . Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных и ,

определяемой соотношением

в частности

Определения

Для функций 

Дифференциал гладкой  вещественнозначной функции определённой на ( — область в или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается и определяется соотношением

где обозначает производную по направлению вектора в касательном расслоении .

Для отображений

Дифференциал гладкого отображения  из гладком многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем

где обозначает производную по направлению . (В левой части равенства берётся производная в функции по в правой — в функции по ).

Это понятие естественно  обобщает дифференциал функции.

Примеры

• Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда , где обозначает производную , а является постоянной формой определяемой .
• Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда . Форма может быть опеделена соотношением , для вектора .
• Пусть в открытом множестве задано гладкое отображение . Тогда 
  , 
  где есть матрица Якоби отображения в точке .

История

Термин Дифференциал (от лат. differentia-разность, различие) введен Лейбницем. Изначально, применялось для обозначение «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался не удобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).