Числовая последовательность

Последовательность  сходится тогда и только тогда, когда  она является ограниченной и при  этом её верхний и нижний пределы  совпадают.

Если последовательность (xn) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / xn), которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей  также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная  с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает  её предела.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной  из её верхних граней.

Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает  предела второй.

Если все элементы некоторой последовательности, начиная  с некоторого номера, лежат на отрезке  между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и  тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также  сходится к такому же пределу.

Любую сходящуюся последовательность (xn) можно представить в виде (xn) = (a + αn), где a — предел последовательности (xn), а αn — некоторая бесконечно малая последовательность.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как  и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные  последовательности

Монотонная  последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.