Численные методы

Численные методы

Вариант – 9.

 

Содержание

 

Задание 1 3

Задание 2. 4

Задание 3 6

Задание 4. 8

 

 

 

Задание 1

Решить систему СЛАУ АХ=В, вычислить определить и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса.

Сделать выводы о корректности задачи.

Матрица А:

-1	3	3	1,5
-3	5	2	2,5
-3	1	-5	5
-5	7	1	16

Вектор свободных членов В:

2

3

4

5

Решение:

Вычислим определить матрицы А:

Определитель=0, а значит решение  системы методом Гаусса невозможно.

Решение системы методом  Гаусса:

1,00	-3,00	-3,00	-1,50	-2,00
0,00	-4,00	-7,00	-2,00	-3,00
0,00	-8,00	-14,00	0,50	-2,00
0,00	-8,00	-14,00	8,50	-5,00

 

1,00	-3,00	-3,00	-1,50	-2,00
0,00	1,00	1,75	0,50	0,75
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
0,00	0,00	0,00	12,50	1,00

 

Таким образом, система не совместна.

Так как определитель системы  равен нулю, то нахождение обратной матрицы невозможно.

Ответ: Следовательно, исходная задача некорректна.

Задание 2.

Провести анализ условий  сходимости итерационных процессов.

Решить СЛАУ методами Якоби  и Гаусса-Зейделя с заданными  значениями точности:0,1;0,01; 0,001. Проанализировать результаты.

Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать  соответствующие выводы.

3,6х1+1,8х2-4,7х3=3,8

2,7х1-3,6х2+1,9х3=0,4

1,5х1+4,5х2-3,3х3=-1,6

Решение:

Приведем систему к  нормальному виду:

	0	-1,8/3,6	-4,7/3,6
α=	-2,7/-3,6	0	-1,9/-3,6
	-1,5/-3,3	-4,5/-3,3	0

 

	0	-0,5	1,306
α=	0,75	0	0,528
	-0,455	-1,364	0

 

	3,8/3,6		1,056
β=	0,4/-3,6	β=	-0,111
	-1,6/3,3		-0,485

Прежде чем применять  итерационные методы для решения  какой-либо системы, необходимо убедиться, что итерационный процесс сходится к точному решению.

Для этого найдем нормы  матрицы нормальной системы:

|| α ||₁=1,86

|| α ||₂=1,28

|| α ||₃=2,2

Так как все нормы матрицы  нормальной системы меньше единицы, то итерационный процесс не сходится к единственному решению, таким  образом, методы Якоби и Гаусса-Зейделя  не применимы для данной системы  уравнений.

 

Задание 3

Решить краевую задачу методом конечных разностей для  двух разностных сеток с шагом  h и  с шагом h/2, проанализировать полученные результаты.

2y”-xy=2, h=0,2, x[0;1], y(0)=0, y(1)=1

y”-xy/2=1

Решение:

Для h=0,2

Прямой  ход				Формирование разности СЛАУ				Прогоночные коэффициенты			Обратный ход
i	xi	Pi	Qi	ai	bi	ci	di	Li	Ui	Vi	Yi(k)
0	0	0	0		-5	5	0		1	0	-0,005002206
1	0,2	0	0,1	25	-249,9	25	1	-224,9	0,111161	-0,00445	-0,005002206
2	0,4	0	0,2	25	-249,8	25	1	-247,021	0,101206	-0,0045	-0,004999842
3	0,6	0	0,3	25	-249,7	25	1	-247,17	0,101145	-0,0045	-0,004956214
4	0,8	0	0,4	25	-249,6	25	1	-247,071	0,101185	-0,0045	-0,004502826
5	1			0	1		0				0

Для h=0,1

Прямой  ход				Формирование разности СЛАУ				Прогоночные коэффициенты			Обратный ход
i	xi	Pi	Qi	ai	bi	ci	di	Li	Ui	Vi	Yi(k)
0	0	0	0		-10	10	0		1	0	-0,000555576
1	0,1	0	0,05	100	-1999,95	100	1	-1899,95	0,052633	-0,00053	-0,000555576
2	0,2	0	0,1	100	-1999,9	100	1	-1994,64	0,050134	-0,00053	-0,000555657
3	0,3	0	0,15	100	-1999,85	100	1	-1994,84	0,050129	-0,00053	-0,000557009
4	0,4	0	0,2	100	-1999,8	100	1	-1994,79	0,050131	-0,00053	-0,000583694
5	0,5	1	0,25	95	-1999,75	105	2	-1994,99	0,052632	-0,00103	-0,001115708
6	0,6	2	0,3	90	-1999,7	110	3	-1994,96	0,055139	-0,00155	-0,001673209
7	0,7	3	0,35	85	-1999,65	115	4	-1994,96	0,057645	-0,00207	-0,002231845
8	0,8	4	0,4	80	-1999,6	120	5	-1994,99	0,060151	-0,00259	-0,002788572
9	0,9	5	0,45	75	-1999,55	125	6	-1995,04	0,062655	-0,0031	-0,003312338
10	1			-10	10		0				-0,003312338

 

Сравним полученные приближения. Для наглядности построим график приближенных решений краевой задачи.

 

 

Как видно из приведенных  данных, два приближенных значения краевой задачи (две сеточные функции) сильно отличаются друг от друга (более 5%), поэтому существует необходимость  поиска следующего приближения.

 

 

Задание 4.

Задание 4.1

Минимизировать целевую  функцию

Zmin=2*X1-X2

При следующих ограничениях:

X1+2*X2>=2,

-2*X1-X2=0,

X1-2*X2<=0,

X1-X2>=-1,

X3>=0

X1>=0

X2>=0

 

Решим данную систему графически

Таким образом точка минимизации  при х1=0, х2=1

Решим данную задачу с помощью  Excel

 

№	Коэф. Неравенств			A1*X1+B1*X2
	А1	В1	D1
1	1	2	2	2
2	2	1	0	0,999999
3	-1	2	0	2,000001333
4	1	-1	-1	-1,000001
	х1	х2
	0	1	изменяемые  ячейки
	Zmin
	-1,000001667		целевая функция

Ответ: в точке х1=0, х2=1, целевая функция принимает минимальное значение, аналогичное решение получено при решении графическим метом.

Задание 4.2

Из строительных деталей  двух видов можно собрать три  типа домов: 12-16-21-квартирные. Количество деталей,  необходимое для сборки каждого типа дома задаются в таблице.

Строительные  детали	Кол-во деталей для сборки домов			Всего  в наличии
	12-квартирные	16-квартирные	21-квартирные
1-го  вида	70	110	150	900
2-го  вида	100	150	200	1300

Решение: В качестве проектных  параметров х1, х2 выберем оптимальные объемы производства домов. Тогда целевая функция запишется в виде:

Zmax=12*X1+16*X2+21*X3

Ограничения записываем исходя из условия количества деталей в  наличии и того, что Х1, Х2, Х3 должны быть целыми числами.

70X1+110X2+150X3=<900

100X1+150X2+200X3=<1300

X3>=0

X1>=0

X2>=0

 

Решим данную задачу с помощью  Excel

№	Коэф. Неравенств				A1*X1+B1*X2
	А1	В1	С1	D1
1	70	110	150	900	880
2	100	150	200	1300	1250
	х1	х2	х3
	11	1	0	изменяемые  ячейки
	Zmin
	148		целевая функция

 

Таким образом, для того, что  бы количество квартир было максимальным (148), необходимо построить 11 домов 12-квартирных домов и 1дом 16-квартирный.