Численное решение краевой задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчетное задание по дисциплине «Вычислительная математика»

 

Тема: Численное решение краевой задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

Введение

 

Краевая задача описывается дифференциальным уравнением в области с заданием граничных  условий по границе области.

 

Задание:

Задача о прогибах нити:

Задана  функция:

 

 

Граничные условия:    W(0)=0            W(6)=0

Найти прогиб нити:

Вариационная  постановка задачи:

 

 

Решение краевой задачи методом конечных разностей

 

Постановка задачи: ; область изменения аргумента Xϵ[0;6]; граничные условия W(0)=0            W(6)=0;

 W(2)=?.

Для получения  численного решения область изменения  аргумента разбиваем на n участков с шагом h (в данной задаче на 2 участков по 1 м). На построенной сетке непрерывную производную от искомой функции заменяем конечно-разностными отношениями. Получаем решение W(3)=0,27.

 

 

 

 

 

 

 

Решение краевой задачи методом Ритца

 

Формулировка: среди множества непрерывных  функций X(t), удовлетворяющих главному граничному условию W(0)=0, найти функцию, минимизирующую функционал Ф(W). Метод Ритца дает следующее решение вариационных задач: X_n(t)=C₁φ₁(t)+ C₂φ₂(t)+ C₃φ₃(t)+…+C_nφ_n(t), где φ_n(t) – координатная функция Ритца. Эти функции удовлетворяют следующим условиям:

1). φ_n(t) непрерывна достаточное число раз для существования функционала.

2). φ_n(t) удовлетворяет главным граничным условиям

3). Множество  функций φ_n(t) должно создавать «полную» систему (систему, в которой не пропускаются степени).

В данной задаче принимаем φ=С₁t и получаем решение W(3)=0.27.

 

 

Решение краевой задачи методом конечных элементов

 

Для получения  численного решения область изменения  аргумента разбиваем на 2 участка по 2 м. Для каждого участка получаем функционал Ф^r(U), Ф(X)=Ф¹+Ф²+Ф³+Ф⁴. Таким образом, функционал является функцией параметров (U₁, U₂, U₃, U_4, U₅). Нас интересует значение, при котором Ф(U)=min, т.е. частные производные по каждому параметру равны 0. Перенося узловые нагрузки в правую часть получаем KU=P (где P –матрица узловых нагрузок, U – матрица перемещений, K – матрица жесткости). Умножая каждую часть равенства на K^-1 слева, получаем решение: X=K^-1P. МКЭ дает решение U(3)=0.27.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод

 

В данной работы было выполнено решение краевой задачи тремя численными методами (методом конечных разностей, методом Ритца и методом конечных элементов). Были получены три одинаковых решения, которые совпадают с точным решением X(3)=0,27.