Целочисленное программирование

(4)            x=a₀+∑a_j(-x_j)

 

где x_j в правой части — текущие небазисные переменные и a₀ — нецелое. Поскольку требуется, чтобы х было целым, или х ≡¹0 (mod1), правая часть уравнения (4) также должна удовлетворять условию

0≡a₀+∑a_j(-x_j)               (mod1).                                                                 (5)

Это условие должно выполняться  при допустимом целочисленном решении. Поскольку требуется, чтобы x_j ,были целыми, можно алгебраически складывать с (5) отношения 0≡f₀+∑_jf_i(-x_i) (mod1) (0<f₀<1, 0≤f_j<1).                                                    (6)

Условие (6) эквивалентно следующему:

∑f_jx_j≡f₀ (mod1).                                                                                          (7)

В соотношении (7) f₀ – константа, меньшая единицы ,и поскольку f_j≥0 и x_j≥, левая часть всегда положительна. Т.к. (7) – отношение сравнения по модулю 1, левая часть может принрмать только значения вида f₀, f₀+1,……, т.е.

∑f_jx_j≥f₀                                                                                                        (8)

Неравенство (8) можно представить  в виде уравнения с помощью  введения неотрицательной целочисленности слабой переменной

S=-f₀+∑f_jxj≥0.                                                                                              (9)

Это уравнение можно приписать  внизу таблицы и использовать в качестве ведущей строки. Таким  образом, переменная s войдет в базис с отрицательным значением (—fо)- После итерации слабая переменная s станет небазисной с нулевым значением. Ведущая строка превратится в тождество s ≡ (—1) (—s) и может быть исключена. Будем называть переменную s в уравнении (9) слабой переменной Гомори. Ниже будет обсуждено, что произойдет, если сохранять все дополнительные строки, соответствующие слабым переменным Гомори.

Дадим доказательство конечности алгоритма. Доказательство будет проведено  в предположении, что известна некоторая  нижняя граница значения Х₀, т. е. если существует целочисленное решение, то оно больше, чем наперед заданная величина М (М может быть достаточно большой по абсолютной величине отрицательной константой). Такое предположение не слишком обременительно и всегда выполняется, если выпуклое множество, определяемое условиями (2), ограничено. Сначала изложим сам алгоритм.

Шаг 1. Решить задачу целочисленного программирования так, как если бы это была линейная программа, т. е. с помощью прямого  или двойственного симплекс-метода. Если получено оптимальное решение задачи линейного программирования, то a_i0≥0 (i=1, . . ., m + n) и a_0i≥0(j = 1, . . ., n). Требуется также, чтобы а^t_j > 0 (j = 1, . . ., n).

 

Шаг 2. Если а_i0 — все целые, то задача решена, и решение получено без использования дополнительных ограничений. В противном случае пусть а^t_i0 — первая нецелочисленная компонента в α^t₀. Тогда i-я строка называется производящей строкой. Записать внизу таблицы уравнение

 

s=-f^t_i0-∑f^t_ij(-x^t_j).                                                           (10)

 

Уравнение (10) называется отсечением Гомори. Проделать шаг двойственного  симплекс-метода, используя в качестве ведущей строки отсечение Гомори (10). При этом таблица останется  двойственно допустимой. Повторять до тех пор, пока все а_i0 (i = 1, . . ., m+n) не станут целыми неотрицательными. Если а_i0 на некотором шаге остается отрицательным, следующий шаг двойственного метода производится без введения отсечения Гомори. (Если а_i0 становится отрицательным, нулевая строка не выбирается в качестве производящей. Если a₀₀  становится нецелым, следует выбрать нулевую строку в качестве производящей.)

     

Изменение элементов а_ij (i = 0, 1, . . ., n+m; j = 0, . . . . . ., n) в таблице за одну итерацию называется циклом. Для обозначения циклов используется буква t. Для доказательства конечности не достаточно условий α^t₀ >α₀ ^t+1 >М, поскольку a₀₀ может изменяться каждый раз на ε(t), а ∑ ε (t) = с.

Примером этого может служить  ε (t) =1/2t. Другой возможностью является то, что а₀₀ остается равным фиксированному значению, большему нижней границы, в то время как некоторое а_i0 неограниченно уменьшается. Чтобы увидеть, как преодолеваются эти трудности, необходимо в деталях рассмотреть шаги итерации.

При доказательстве будет показано, что либо после конечного числа шагов все компоненты 0-го столбца становятся неотрицательными целыми, либо не существует целого решения. Если a₀₀ остается постоянным для всех t ≥ t₀, то a^t₀₀ должно быть целым.

Предположим, что а^t₀₀—нецелое. Пусть а^t₀₀ =n^t₀₀+f^t_00,где n^t₀₀— целое и 0 < f^t₀₀ < 1. Тогда 0-я строка становится производящей и требуется ввести дополнительное ограничение

 

S=-f^t₀₀-∑f^t₀(-x^t_j).

Если s-й столбец является ведущим, то

 

     a^t+1₀₀=a^t₀₀-a^t_0s* f^t₀₀/f^t_os

или

Другими словами, a₀₀ уменьшится по крайней мере до ближайшего целого. Следовательно, a₀₀ не может уменьшаться на ε(t) при

∑ε (t)<c

Если a₀₀ каждый раз уменьшается до ближайшего целого или на целую величину, то после конечного числа шагов оно станет меньше любого наперед заданного М (М — предполагаемая нижняя граница). Если алгоритм бесконечен, то  a₀₀   должно оставаться некоторым фиксированным целым числом для t> t₀. Предположим, что это произошло.

Тогда рассмотрим а₁₀ . Так же как и a₀₀, a₁₀ не может оставаться нецелым значением. Если бы это было так, то, поскольку a₀₀ — целое, первая строка стала бы производящей и после введения отсечения Гомори и итерации симплекс-метода мы получили бы

 

    A^t+1₁₀=a^t₁₀-a^t_1s*f^t₁₀/f^t_1s,

 

где 0<f^t_1s<l и 0<f^t_1s<1. Здесь a^t_1s —неотрицательное число, большее f^t_1s. (Если a^t_1s—отрицательно и α^t_s—лексикографически положителен, то а^t_0s положительно и, следовательно, а^t₀₀ не может

не измениться.) Отсюда

 

a^t+1₁₀≤a^t₁₀-f^t₁₀=[a^t₁₀],

 

т. е. а₁₀ уменьшается по крайней мере до ближайшего целого. Поэтому а₁₀ либо будет оставаться некоторым фиксированным целым числом, либо после конечного числа шагов станет отрицательным. Если а₁₀ станет отрицательным, то первая строка будет ведущей и

 

α₀^t+1=α^t₀-a₁₀/a_1s*α^t_s,

 

Из того, что α^t_s > 0 и a_1s <. О, следует, что a_0s > 0, т. е. значение a₀₀ строго уменьшится, что противоречит допущению о неизменности значения a₀₀. Если a_1j≥ 0 для всех j = 1, . . ., s, ... . . ., n, то задача не имеет допустимых решений. (Заметьте, что ведущий элемент должен быть отрицательным.)

Таким образом, остается единственная возможность—а₁₀ через конечное число шагов должно стать некоторым неотрицательным целым числом и больше не меняться.

Аналогичные рассуждения можно  провести и для остальных компонент  вплоть до (n+m)-й, что завершит доказательство конечности. Заметим, что нам надо, чтобы только первые n + 1 компонент вектора α₀ были целыми неотрицательными числами, a₀₀ <> 0 и a_ij (i = n+1,…..,n+m) — неотрицательные.

 Причем, если неравенства выразить  через исходные небазисные переменные, они будут иметь целые коэффициенты.

Если сохранять все строки, соответствующие  слабым переменным Гомори, то эти слабые переменные могут становиться базисными, после того как они были небазисными. Если слабая переменная Гомори вошла в базис с неотрицательным значением, то соответствующая строка представляет собой неравенство, справедливое при текущем решении, и эта строка может быть вычеркнута. Если слабая переменная Гомори становится базисной с отрицательным значением, соответствующую строку следует использовать в качестве ведущей. Если сохранять все строки, соответствующие всем отсечениям Гомори, то, вообще говоря, потребуется меньшее число дополнительных ограничений, однако увеличение таблицы много более неприятно, чем введение лишних дополнительных ограничений.

 

 

ПОЛНОСТЬЮ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ

 

Здесь будет описан другой алгоритм для решения задач целочисленного программирования. Этот алгоритм назван полностью целочисленным, потому что если исходная таблица состоит из целочисленных элементов, то все таблицы, получающиеся в процессе работы алгоритма, содержат только целочисленные элементы. Подобно двойственному симплекс-методу, алгоритм начинает работать с двойственно допустимой таблицы. Если а_i0 (i = 1, . . ., n+m) — неотрицательные целые, то задача решена. Если для какой-нибудь строки а_i0 < 0, то составляется новое уравнение и записывается внизу таблицы. Эта строка затем служит ведущей. После этого используется двойственный симплекс-метод. Все элементы дополнительной строки должны быть целыми числами, а ведущий элемент равен —1. Введенная таким образом ведущая строка сохранит таблицу целочисленной. Заметим, что в предыдущем алгоритме в качестве производящей строки выбиралась строка с нецелым а_i0. В данном случае производящей строкой становится строка с отрицательным а_i0.

Пусть дана задача целочисленного линейного программирования:

Максимизировать

 

при условиях

 

(1)

 

 

Условия (1) могут быть записаны как

 

(2)

 

Предположим, что для t = 0 (т. е. для исходной таблицы) все а_ij — целые и столбцы α_j (j = 1, . . ., n) — лексикографически положительны. Тогда все столбцы на протяжении вычислений остаются лексикографически положительными.

Прежде чем изложить способ получения  дополнительного ограничения из производящей строки, введем новое  представление чисел. Пусть [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х. Для любого числа у (положительного или отрицательного) и положительного λ можно записать

 

(3)

 

где 0≤r_y < λ (r_y — неотрицательный остаток от деления нацело у на λ). В частности, 1 = [1/ λ ]λ + г. Поэтому если λ> 1, то [1/λ] = 0 и г = 1. Если λ = 1, то [1/λ,] = 1 и г == 0.

Так же как и ранее, вводимое дополнительное неравенство должно выполняться  при любом целом решении задачи (1). Рассмотрим некоторое уравнение в t-таблице (опуская индекс строки) с a₀ < 0:

 

 

(4)

 

где х — соответствующая компонента вектора х, a x^t_j — текущие небазисные переменные. Можно выразить x, a₀ и а_j, используя введенное выше представление (З):

 

(5) и (6)

(j=0,1….,n)

 

Подставив выражения (5) и (6) в (4), и переставив члены, получим

(7)

 

Поскольку r_j ≥0, r≥0  и на переменные х и x^t_j наложено требование неотрицательности, левая часть уравнения (7) всегда неотрицательна. Рассмотрим выражение в правой части, заключенное в фигурные скобки. Коэффициенты в этом выражении представляют собой целые числа, а переменные подчинены требованию целочисленности. Поэтому все выражение в скобках должно быть целым. Обозначим его через s, т. е.

 

  (8)

Целочисленная слабая переменная s является неотрицательной. Действительно, если бы s было отрицательным, т. е. принимало значения —1, —2, . . ., то умножение на λ (λ > r₀) сделало бы всю правую часть уравнения (7) отрицательной, в то время как левая часть неотрицательна.

Рассмотрим два случая λ=1 и λ>1. Подставляя в уравнение (8) выражение для x из (4), получим:

S=[a₀]+∑[a_j] (-x^t_j)-{a₀+∑a_j(-x^t_j)}=-f₀-∑f_j (-x^t_j).           (9)

Полученное уравнение есть не что  иное, как отсечение Гомори. Для λ>1 имеем [1/λ]=0²  и уравнение (8) приобретает вид

 

(10)

Уравнение (10) должно выполняться для  любого допустимого целочисленного решения задачи (1). Заметим, что если а₀ < О,. то [a₀/λ] < 0 в уравнении (10). Поэтому уравнение (10) может использоваться в качестве ведущей строки в двойственном симплекс-методе. В частности, всегда можно выбрать λ достаточно большим, так чтобы ведущий элемент [a_j/λ] в строке (10) стал:

равным —1, что позволит сохранить  целочисленность таблицы. Выбор  соответствующего λ будет влиять на скорость сходимости алгоритма. Прежде всего опишем сам алгоритм. В качестве начального необходимо взять двойственно допустимое решение, которое-можно получить добавлением ограничения x_n+m+1 = М — x₁ — ... ... —x_n,  где М — достаточно большая константа, и проведением одной итерации с добавленной строкой и с лексикографически минимальным столбцом, взятыми в качестве ведущих. Алгоритм состоит из следующих шагов.