Бағыт бойынша туынды. Градиент

түріндегі ДТ қарастырамыз.

Жаңа айнымалы енгіземіз:

,                                   (10)

сонда

.

  u(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын теңдеуге қоямыз:

.

Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа ДТ-ң шешімі 

функциясы болсын делік. Мұны (20) теңдеуге қоямыз:

-   k ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл k рет дифферен-циалдау арқылы шешіледі (1-класс).

Мысалдар. 1. үшінші ретті ДТ шешелік.

 ауыстыруын алайық, . Бұларды теңдеуге қою арқылы бірінші ретті ДТ-і аламыз. Айнымалыларын ажыратамыз:

;

.

Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.

2. ;

;   ;    ;   ;

; ; ;

бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау  арқылы шешу керек (1-класс)

III-класс. Тәуелсіз айнымалы х-і жоқ теңдеулер.

түріндегі теңдеуін қарастырамыз.

Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у-ті  аламыз және ауыстыру орындаймыз:

.

Екінші, үшінші және т.б. туындыларын  алу үшін осы жаңа функциядан күрделі  функция есебінде туынды табамыз:

;

және т.б.

Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:

.

Шешімі мына түрде табылды делік:

Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ аламыз:

.

Мысал.  ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ.   ауыстыруын орындаймыз. ; - бұл біртекті теңдеу.  - ауыстыруын аламыз, . Теңдеуге қоямыз: .у-і қысқартамыз: .

;

;      ;

               

- біртекті теңдеудің шешімі 

 немесе  ,

ал бұл айнымалысы ажыратылған  ДТ.

IV класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.

теңдеуін қарастырамыз және

болсын делік. Жаңа дифференциалдық  теңдеудің екі бөлігін де интегралдаймыз, сонда  .

ДТ реті бірге төмендеді.

Мысалдар. 1. .Бұл III-кластың теңдеуі. IV-кластың тәсілімен шешіп көрелік. , екі бөлігін де -ке бөлеміз: енді интегралдаймыз: ;

- теңдеудің х-і жоқ.

; ;      ;   ;

;      ;        ;

;    

• бұл үшінші ретті ДТ жалпы интегралы, сондықтан оның үш еркін тұрақтысы бар.

2. ;

;   ; - бұл ДТ реті бірге төмендеді.

3. .

;    ; ;

;  - бұл ДТ жалпы интегралы.

Тейлор  формуласы.

Айталық функциясы  бір аралықта анықталған болып,  осы аралықтан алынған х=а  нүктесінде n+1-ші  ретке дейін туындылары бар болсын. Мұндай  шарттар орындалғанда функцияның ролін көпшілік жағдайда n-ші дәрежелі көпмүшелік атқарады Осы көпмүшелікті мына түрінде алайық. Бұл көмүшелік пен функцияның арасында келесі шарттар орындалатын болсын

Сонғы (5.26) теңдіктер орындалса, онда (5.25) көпмүшелік х=а нүктесінің аймағында функцияны көпмүшелікпен алмастыруға болады.

Көпмүшеліктің С₀  , C₁ , C₂ …, C_n   коэффициенттерін, (5.26)  теңдіктерін пайдаланып, анықтайық. Ол үшін (5.25) көпмүшеліктің туындыларын табайық: 

Егер (5.26) теңдіктерін  пайдалансақ 

Осы  теңдіктерден  аталған коэффициенттерді табамыз:

Осы коэффициенттерді (5.28) формулаға қойсақ формула анықталады.

 арқылы  функция мен көпмүшеліктін айырмасын

белгілесек

белгілесек, мұнда

онда 

 

Осы формуланы  Тейлор формуласы дейді. Мұнда қалдық мүшені түрінде жазылады. Егер Тейлор формуласында а=0 деп алсақ, онда     (5.30)

Бұл формуланы Маклорен формуласы деп айталады.

Тейлор формуласын қолдану  мысалдар.

 

1) функциясы берілсін.

Бұл функцияның == онда

Енді Маклорен формуласын пайдалансақ 

 

Маклорен формуласы  арқылы

мұнда

3) онда  Маклорен  формуласын пайдланып анықтаймыз

Мұнда        

 

Екі айнымалылы функция  үшін Тейлор формуласы.

D облысында үзіліссіз және кез келген үзіліссіз аралас туындылары бар екі айнымалылы функциясы берілсін. D  облысының  берілсін. функциясын және -ң дәрежелері бойынша жіктеу керек.

Шешуі. функциясын, х-ті тұрақты деп есептеп, бір у айнымалысының функциясы деп аламызда оны Тейлор формуласы бойынша жіктейміз.

   (*)

 

Әрі қарай  , функцияларын аргумент  -тің функциялары деп Тейлор формуласы бойынша жіктейміз.

 

(**)

 

  (**) қатысты (*) өрнегіне қоямыз:

.

Функцияны -дің дәрежелерінің өсуіне қарай орналастырамыз:

Соңғы тік жақшаның ішіндегі өрнек Тейлор формуласының қалдық мүшесі деп аталады. -дерді сәйкес және деп белгілейік. Сонда екі айнымалының функциясы үшін болғандағы Тейлор формуласының түрі былай болады:

 

.

Бұл өрнекте бірінші және екінші ретті толық дифференциал беріліп  тұрғанын көреміз (мұнда dx-тің орнына  Dх, ал dу-тің орнына   Dу алынған). Екі айнымалылы функция үшін Тейлор формуласын кез келген үшін жазуға болады.

(11)

 мұндағы  .

Теорема 5 (Тейлор). Айталықz=f(x; у)функциясы (п+1)-шіретке дейінгі дербес туындыларымен қоса М нүктесінің қандай да бір δ- маңайында үздіксіз болсын. М1(х+Δх; у+Δу)нүктесі осы аймақта жатсын. Онда бұл функцияныңМ нүктесіндегі Δf=ƒ(M1)-ƒ(M)өсімшесін келесі түрде көрсетуге болады

 

Δƒ=dƒ(х;у)d2f(x;y) +...dnf(x;y)+dn+1ƒ(х + θΔх;у + θΔу),0<θ<1

                    2!              п!                    (п+1)!