Алгоритм зведення рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду

 

 

Вступ

Метою даної курсової роботи є зведення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного вигляду та побудова їх, заданих загальним рівнянням.

Під час виконання роботи були закріплені теоретичні знання, набуті практичні навички з користування системою комп’ютерної математики Mathcad.

 

 

Теоретична частина

1. Основні поняття. Алгоритм зведення рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду.

Кривими другого порядку називаються лінії , які у прямокутній системі координат описуються алгебраїчними рівняннями другого ступеня відносно змінних x, y:

 

+ Bxy + + Dx + Ey + F = 0,      ……(1.1)

 

де хоч би один з коефіцієнтів А,В,С є відмінний від нуля.

Поверхні другого порядку – це множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду:

 

…….(1.2)

 

де не дорівнюють нулеві одночасно.

Рівняння(1.2) називається загальним рівнянням поверхні другого порядку.

З ведення загальних рівнянь кривих та поверхонь другого порядку до канонічного вигляду виконується з використанням  теорії квадратичних форм

Дійсно, група старших членів рівнянь та представляє собою квадратичну форму змінних x, y, та x, y, z з матрицями

 

відповідно.

Тому, перш за все, зводимо вказані квадратичні форми до канонічного вигляду, використовуючи метод ортогональних перетворень. З цією метою переходимо  від ортонормованого базису ,   або , , до ортонормованого базису , або ,, відповідно, що складається з власних векторів відповідних матриць.

Підкреслимо, що новий базис обов’язково повинен бути ортонормованим, бо тільки у цьому випадку перехід від першого базису до другого має геометричний зміст повороту координатних осей.

Зауважимо також, що коефіцієнт при квадратах змінних у канонічному вигляді  квадратичної форми, що одержані методом Лагранжа або Якобі, не співпадають з власним значенням матриці цієї форми, а перетворення координат при цьому, хоча є лінійним і не виродженим, не збігається з перетворенням координат при повороті осей.

Далі приводимо алгоритм зведення рівнянь кривих та поверхонь другого порядку до канонічного вигляду. Всі пункти будуть записані для поверхонь другого порядку, тобто для трьох змінних. Для кривих другого порядку, тобто для випадку двох змінних, всі формули відповідно спрощуються.

1. Складаємо характеристичне рівняння

det(A-λE)=0

та знаходимо його корінь λ1, λ2, λ3 – власні значення матриці А

2. Знаходимо власні вектори , , ,  що відповідають цим власним значенням. Вони повинні бути ортогональними, що збігається з властивостями власних векторів самоспряженого оператора. Пронормувавши їх, отримаємо ортонормований базис.

, ,

де ()=δij, δij – символ Кронекера.

3. Виписуємо матрицю Т переходу від базису , , до базису  
   . Для цього записуємо вектори у стовпці матриці Т, для якої detT=±1. Для збереження взаємної орієнтації нових координатних осей, на матрицю Т накладають додаткову умову: detT=1. Якщо ця умова не виконується, то її легко задовольнити відповідним вибором власних векторів.
4. Виконуємо лінійне не вироджене перетворення

,

де .

Тоді матриця А квадратичної форми зведеться до діагонального вигляду D.

 

Група старших членів перетвориться так:

 

Група лінійних доданків представиться так:

 

Вільний член  f залишається без змін.

Таким чином, рівняння у координатах приймає вигляд:

 

5. Виділяємо повні квадрати відносно змінних виконуємо паралельний перенос, переходячи до змінних і таким чином отримуємо канонічне рівняння.

Зауважимо, що рівняння задане у системі координат рівняння у системі , що отримується з попередньої паралельним переносом початку координат у точку О1.

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Дослідження форми та зображення ліній і поверхонь, заданих у практичній частині, використовуючи їх канонічні рівняння у загальному вигляді.

1.2.1 Гіпербола

Гіпербола— крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

Мал. 1.1

Вводячи прямокутну декартову систему координат, як це показано на мал. 1, для довільної точки М (х, у) параболи, згідно до визначення, одержуємо:

  =1

де a>0 та b>0 — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

     y2=2px−(1−ε2)x2 
В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких ε≥0

(ексцентриситет) від заданої  точки (фокуса) та від заданої  прямої (директриса) незмінна. Крива  є гіперболою, якщо ε>1.

 Тобто, гіпербола є  геометричним місцем точок, абсолютна  величина різниці відстаней яких  від фокусів дорівнює 2a (фокальна властивість гіперболи).

Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює e.

 

1.2.2 Двопорожнинний гіперболоїд

 

 

Мал. 6

В окремому випадку, коли , двопорожнинний гіперболоїд називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання, так як такий гіперболоїд можна отримати обертанням гіперболи навколо її дійсної осі.

 

 

 

 

 

 

 

Практична частина

1. Звести рівняння кривої до канонічного вигляду: 
   7x2 + 16xy - 23y2 - 14x - 16y - 18 = 0.             (1.5)
1. Матриця квадратичної форми має вигляд:

 

.

 

, отже маємо гіперболу.

2. Характеристичне рівняння має вигляд: 
   

.

 

Знайдемо .

 

λ2 +16 λ - 225 = 0

D = 162 - 4 • 1 • (-225) = 1156

λ1 = -16+34;2•1 = 9

λ2 = -16-34;2•1 = -25

Вихідне рівняння визначає гіперболу (λ1 > 0; λ2 < 0)

Вид квадратичної форми:-25x12 + 9y12

Знаходимо головні осі квадратичної форми, тобто власні вектори матриці.

λ1 = -25

32x1 + 8y1 = 0

8x1 + 2y1 = 0

Власний вектор, що відповідає числу λ1 = -25 при x1 = 1:

x1=1 -4.

В якості одиничного власного вектора приймаємо вектор:

i1 = 1;17; -4;17

де

12 + 42 = 17

- довжина вектора x1.

або

i1 = 1;17; -41;17

Координати другого власного вектора, відповідного другого власному числу λ2 = 9, знаходимо з системи:

-2x1 + 8y1 = 0

8x1-32y1 = 0

або

-2x1 + 8y1 = 0

x2=4 1.

j1 = 4;17; 1;17

або

j1 = 41;17; 1;17

Отже, маємо новий ортонормованій базис (i1, j1).

Переходимо до нового базису:

x;y = 1;17;41;17;-41;17;1;17 x1;y1

або

x = 1;17x1 + 41;17y1

y = -41;17x1 + 1;17y1

Вносимо вирази x і y в початкове рівняння 7x2 + 16xy - 23y2 - 14x - 16y - 18 і, після перетворень, отримуємо:

- 25x21 + 9y21 + 501;17x1 - 721;17y1 = 18

Виділяємо повні квадрати:

для x1:

-25x12-2•1;17x1 + 12;17 +25•12;17 = -25x1-1;172+25/17

для y1:

9y12-2•4•1;17y1 + 42;17 -9•42;17 = 9y1-4•1;172-144/17

В результаті отримуємо:

-25x1-1;172+9y1-4•1;172 = 25

Розділимо весь вираз на 25

-1x1-1;172+9;25y1-41;172 = 1

Дане рівняння визначає гіперболу з центром в точці:

C1;17; 41;17

і полуосями:

a = 1 (уявна полусь); b = 5/3 (дійсна полуось)

Перетворення паралельного переносу системи координат в новий початок O1 проводиться за формулами:

x2 = x1-1;17

y2 = y1-41;17

 

2. Звести рівняння поверхні другого порядку до канонічного вигляду: 
   .         (1.7)
1. Матриця квадратичної форми має вигляд:

 

.

 

2. Характеристичне рівняння має вигляд:

 
.

 

Знайдемо .

 

;

;

;

;

;

;

.

Враховуючи те, що ΔА=0, , маємо двопорожнинний гіперболоїд.

3. Знайдемо власні вектори, підставивши у матрицю А значення та .

 

.

 

  ;

;

.

 або

;

,

Шукані власні вектори відповідно:

, .

Ці вектори не ортогональні. Запишемо всю сукупність власних векторів, що відповідають власному значенню

,

, .

Пронормуємо вектори.

, .

.

;

 

;

;

-вільна.

.

.

Пронормуємо його.

.

Отримані вектори ,, ортогональні і нормовані.

4. Запишемо матрицю переходу від вихідного базису до канонічного, вона ортогональна.

 

;

;

;

.

Тоді матриця А квадратичної форми зведеться до діагонального вигляду D.

.

Група старших членів перетвориться так:

 

Група лінійних доданків представиться так:

.

Таким чином, рівняння у координатах приймає вигляд:

      (1.8)

;

, .

Рівняння (1.8) перетворюється до вигляду:

 ;

;

Канонічне рівняння двопорожниннього гіперболоїда

Воно записане у системі координат .

 

 

Висновок

При виконанні цієї курсової роботи були закріплені теоретичні знання та отримані практичні навики зведення рівнянь кривих та поверхонь другого порядку до канонічного вигляду, визначено тип кривої (гіпербола) та поверхні другого порядку (параболічний циліндр), загальні рівняння зведені до канонічних виглядів, побудовані графіки за допомогою системи комп’ютерної математики Mathcad.

Отримані результати можуть бути застосовані для конкретних задач побудови кривих і поверхонь другого порядку.

 

 

 

Список використаних джерел

1. Апатенок Р. Ф. и др. Элементы  линейной алгебры и аналитической  геометрии. — Минск: Вышейш. шк., 1986. — 272 с.

2. Тевяшев А. Д., Литвин  О. Г. Алгебра і геометрія: Лінійна  алгебра. Аналітична геометрія. —  Харків: ХТУРЕ, 2000. — 388 с.

3. Данко П.Е. и др. Высшая  математика в упражнениях и  задачах. Ч.І. — М.: Высш. шк., 1986. —304с.

4. Апатенок Р. Ф. и др. Сборник  задач по линейной алгебре  и аналитической геометри. — Минск: Вышейш. Шк.., 1990. — 286 с.

5. Тевяшев А. Д., Литвин О. Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч.1. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. Диференціальне числення функцій однієї змінної. − Х.: ХТУРЕ, 2002. − 552 с.

 

 

 

Додатки

Додаток 1: Гіпербола

Додаток 2: Двопорожнинний гіперболоїд