Прогнозирование материалопотока

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

 

Тема: Прогнозирование материалопотока (4 часа)

Теоретические положения

 

Для прогнозирования  материалопотока необходимо подобрать наиболее подходящее из известных математических уравнений функций (прямую, гиперболу, параболу и др.). Эти уравнения определяются на основании графиков, которые строятся по отчетным данным (динамическим рядам). Рассмотрим эти уравнения.

 

1 Уравнение прямой имеет  следующий вид:

у_х = а + bх      (3.1)

где: у_х – результирующий признак;

х – период времени;

а и b – параметры прямой.

 

Нахождение параметров а и b производится на основе выравнивания по способу наименьших квадратов, которые приводят к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

{	na +bΣх= Σy	(3.2)
	aΣx+ bΣx2 = Σxy

 

 

Решая эти  уравнения находим:

 

а = (ΣyΣx²- ΣxyΣx)/(n Σx²-ΣxΣх);       b = (nΣxy- ΣxΣy)/( nΣx²- ΣxΣх)  (3.2а)

 

В целях облегчения нахождения параметров а и b систему можно упростить. Для этого отчет времени следует вести так, чтобы сумма показателей времени ряда Σx = 0. Чтобы Σx = 0, в рядах с нечетным числом членов (n) центральный член принимается за нуль, а члены, идущие от него вверх получают номера 1, 2, 3 и т.д со знаком минус, а идущие вниз 1,2,3 и т.д со знаком плюс. Например, при числе членов n=5 ряд будет иметь вид: -2;-1;0;+1; +2.

Если число членов четное, рекомендуется занумеровать члены  верхней половины ряда числами со знаком минус, числа нижней половины этими же цифрами, но со знаком плюс. Например, при n=6, ряд будет иметь вид: -3; -2; -1; +1; +2; +3.

В обоих случаях Σx = 0. (-2)+(-1)+0+1+2=0;    (-3)+(-2)+(-1)+1+2+3=0

При этом система уравнений (2.2) примет вид:

{	na = Σy	(3.2б)
	bΣx2 = Σxy

 

Отсюда:

 

а = Σy/n;  b = Σxy/ Σx²       (3.2в)

 

Из приведенных формул видно, что для нахождения параметров уравнения прямой необходимо знать величины Σy; Σxy; Σx²

 

2 Члены динамического  ряда обнаруживают тенденцию  роста по геометрической прогрессии, выравнивание такого ряда проводят по показательной кривой:

 

у_х = а + b^х        (3.3)

 

где: х – рассматриваемый период;

а – начальный уровень ряда (при х=0);

b – темп роста за единицу времени.

Техника выравнивания по показательной кривой аналогична выравниванию по прямой.

3 Члены динамического  ряда имеют вид параболы 2-го  порядка:

 

у_х = а + bх+сх²      (3.4)

где: а, b, с – параметры, которые находятся из системы нормальных уравнений по выражениям, получаемым способом наименьших квадратов:

(3.5)

Если время обозначим  таким образом, что Σх = 0. В этом случае Σх³ = 0, тогда уравнение примет вид:

(3.6)

 

Решая систему уравнений (2.6) получим:

(3.7)

 

4 Члены динамического ряда имеют  вид гиперболы:

 

у_х = а + b/х        (3.8)

 

Для этой зависимости способ наименьших квадратов дает такую  систему нормальных уравнений:

(3.9)

Решая систему  уравнений (2.9) способом определителей, находим:

(3.10)

 

Пример 1. За период с 2000 по 2006 гг известен динамический ряд грузооборота регионального склада (таблица 3.1). Сделайте прогноз грузооборота 2009 и 2010гг.

Таблица 3.1 Товарооборот регионального склада

Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
n	1	2	3	4	5	6	7
Грузооборот	130	148	170	190	201	225	250

 

Решение: По данным таблицы 3.1 строим график грузооборота за 2000-2006 годы (рисунок 3.1). Для определения функциональной зависимости грузооборота от года отметим на координатной сетке точки соответствия грузооборота годам (кружки). Через полученные точки проведем линию тренда (сплошная линия). Из нее видно, что характер изменения грузрооборота представляет собой уравнение прямой вида:

у_х = а + bх

Для расчета параметров а и b составим таблицу 3.2, в которой проведем статистическую обработку исходных показателей.

Рисунок 3.1 График товарооборота

Таблица 3.2 Расчет параметров уравнения прямой прогнозирования грузооборота

Годы	уфакт (товарооборот, т)	х	х2	ху	утеор = а + bх
1	2	3	4	5	6
2000	130	-3	9	-390	129,6
2001	148	-2	4	-296	149,4
2002	170	-1	1	-170	169,2
2003	190	0	0	0	190,0
2004	201	+1	1	201	208,8
2005	225	+2	4	450	228,6
2006	250	+3	9	750	248,8
	Σу = 1323	Σх = 0	Σх2 = 28	554	Σутеор = 1324
2007		+4			268,2
2008		+5			288,0
2009		+6			307,8
2010		+7			327,6

 

Используя выражение (3.2в) получим:

 

а = Σу/ n = 1323/7 ≈ 189;             b = Σху/Σх² = 554/28 ≈ 19,8

 

Следовательно, искомое  уравнение будет иметь вид:  у_теор = 189 + 19,8х

 

Зная уравнение зависимости  грузооборота от рассматриваемого года, заполним теоретические уровни грузооборота (таблица 3.2 графа 6) с 2000 по 2006гг. Сопоставление граф 2 и 6 по каждому году незначительно отличаются, что показывает правильность выбора математического уравнения.

Для прогнозирования грузооборота необходимо продолжить графы 1 и 3, числами  соответствующими прогнозируемому периоду. Для 2009 года х=+6, для 2010г х =+7. Тогда прогнозируемый грузооборот соответственно в 2009 и 2010годах будет равен:

 

у₂₀₀₉ = 189+19,8·6 = 307,8т;          у₂₀₁₀ = 189 + 19,8·7 = 327,6т

 

Пример 2. За период 2002-2007гг известен динамический ряд грузоперевозок автотранспортным предприятием (таблица 3.3). сделайте прогноз перевозок на 2010г

Таблица 3.3 Объем перевозок автотранспортного предприятия за 2002-2007гг

Годы	2002	2003	2004	2005	2006	2007
n	1	2	3	4	5	6
Объем перевозок, тыс.тонн	5398	5718	6132	6885	7647	8518

 

Решение. По данным таблицы 3.3 строим график перевозок за 2002-2007 гг. (рисунок 3.2).   Для определения функциональной зависимости  грузоперевозок от года отметим на координатной сетке точки соответствия товарооборота годам (кружки). Через полученные точки проведем линию тренда (сплошная линия). Из нее видно, что характер изменения товарооборота представляет собой уравнение параболы, которая имеет вид: ух = а + bх+сх2   Для расчета параметров а, b и с составим таблицу 3.4, и проведем статистическую обработку исходных показателей. Из нее согласно выражения 3.7 определим значения параметров а, b и с.

Рисунок 3.2 График грузоперевозок

Таблица 3.4 Расчет параметров уравнения прямой прогнозирования грузоперевозок

Годы	уфакт, тыс т	х	х2	х4	ху	х2у	утеор, тыс т
1	2	3	4	5	6	7	8
2002	5 398	-5	25	625	-26 990	134 950	5 382
2003	5 718	-3	9	81	-17 154	51 462	5 718
2004	6 132	-1	1	1	-6 132	6 132	6 202
2005	6 885	+1	1	1	6 885	6 885	6 835
2006	7 647	+3	9	81	22 941	68 823	7 616
2007	8 518	+5	25	625	42 590	212 950	8 545
Σ	40 298	0	70	1 414	22 140	481 202	40 298
2008		+7					9 611,4
2009		+9					10 846,3
2010		+11					12 219,3

 

Отсюда:

а = (40 298·1,414 – 481 202)/(6·1414-70²) ≈ 6 500,3;           b = 22 140/70 ≈ 316,3;  

с = (6·481 202 - 70·40·40 298)/(6·1414-70²) ≈ 18,51

Таким образом, уравнение параболы для исходных значений грузоперевозок имеет вид:

 

у_теор = 6500,3 + 316,3х + 18,51х²

 

Подставив в эту формулу  требуемые значения х найдем значения у для всего динамического ряда (таблица 3.4 графа 8). Сопоставление граф 2 и 8 по каждому году незначительно отличаются, что показывает правильность выбора математического уравнения. Для прогнозирования товарооборота необходимо продолжить графы 1 и 3, числами соответствующими прогнозируемому периоду. Для 2010 года х=+11. Тогда прогнозируемый товарооборот в 2010г будет равен:

у₂₀₁₀ = 6 500,3 + 316,3·11 + 18,51·11² = 12219,3тыс тонн

 

Пример 3. За период 2002-2007гг удельный показатель объема перевозок, отнесенный на 1млн тенге товарооборота, показан в таблице 3.5. Сделайте прогноз перевозок на 2010год.

Таблица 3.5 Удельный объем грузоперевозок

Годы	2002	2003	2004	2005	2006	2007
n	1	2	3	4	5	6
Объем перевозок, т/млн тенге	3000	3800	4500	4700	5000	5200

 

Решение: Для определения функции-ональной зависимости грузоперевозок от года отметим на координатной сетке точки в соответствии годам.

Через полученные точки проведем линию  тренда (рисунок 3.3).

Из рисунка 3.3 видно, что характер изменения товарооборота представляет собой уравнение гиперболы, которая имеет вид:

у_теор = а + b/х

Для нахождения параметров а и b, составим таблицу 3.6 и используем уравнение 3.2а.

 

Рисунок 3.3 График грузоперевозок

Таблица 3.6 Расчет параметров гиперболы для определения объема перевозок

Годы	х	уфакт, т/млн тнг	1/х	(1/х)2	у/х	утеор
1	2	3	4	5	6	7
2002	1	3000	1	1	3000	2909
2003	2	3800	0,5	0,25	1900	4131
2004	3	4500	0,33	0,109	1500	4539
2005	4	4700	0,25	0,062	1200	4742
2006	5	5000	0,2	0,04	1000	4864
2007	6	5200	0,17	0,029	860	4946
Σ	21	26200	2,45	1,491	9460	26131
2008	7					5004,0
2009	8					5047,5
2010	9					5081,5