Логика формальная, диалектическая, математическая

Способ (метод) восхождения от абстрактного к конкретному

Метод восхождения от абстрактного к конкретному обеспечивает соответствие сознания с действительностью, достигаемое через сложный диалектически противоречивый процесс развития понятий, категорий.

Способ (метод) восхождения от абстрактного к конкретному – это прежде всего сознательное выражение того закона, которому всегда и везде подчинялось и подчиняется развитие теоретического познания действительности как единого, связанного во всех своих проявлениях целого, как объективного «единства во многообразии», находящегося в процессе возникновения, становления и развития.

Противоречие

Противоречие – важнейший логический принцип и форма развития определений, принцип логического перехода от факта к факту. Этот принцип только и обеспечивает объективность перехода от категории к категории, т.е. согласие развития определений с развитием действительности5.

 

3.2 Законы диалектической логики

 

Закон единства и борьбы противоположностей

Единства и борьбы противоположностей закон – всеобщий закон действительности и её познания человеческим мышлением, выражающий суть, «ядро» материалистической диалектики. Каждый объект заключает в себе противоположности. Под противоположностями диалектический материализм понимает такие моменты, «стороны» и т. п., которые (1) находятся в неразрывном единстве, (2) взаимоисключают друг друга, причем не только в разных, но и в одном и том же отношении, т. е. (3) взаимопроникают.

Нет противоположностей без их единства, нет единства без противоположностей. Единство противоположностей относительно, временно, борьба противоположностей абсолютна. Этот закон объясняет объективный внутренний «источник» всякого движения, не прибегая ни к каким посторонним силам, позволяет понять движение как самодвижение. Он раскрывает конкретное единство многообразия именно как конкретное, а не мертвое тождество. Диалектическое мышление не рассекает целое, абстрактно разделяя крайности, а, напротив, осваивает целое как органическое, как систему, в которой противоположности взаимно проникают, обуславливая весь процесс развития. Тем самым воспроизводится конкретная целостность и развитие предмета «в логике понятий». В этом законе наиболее концентрированно выражается противоположность диалектического мышления рассудочно-метафизическому, которое толкует «источник» движения лишь как отличный от самого движения и внешний для него, а единство – как существующее рядом о многообразием.

Метафизика толкает на путь подмены движения и конкретного единства многообразия описанием внешних результатов движения и лишь внешне сопоставленных сторон предмета. Вся история диалектики есть история борьбы вокруг этих проблем, попыток их решения.

Родоначальник диалектики противоречий – Гераклит. Элейцы (Зенон) превратили противоречие в чисто субъективное и свели к средству опровержения движения и многообразия («отрицательная диалектика» – апория). В эпоху Возрождения идею «совпадения противоположностей» развивали Николай Кузанский и Бруно. Кант «устранял» антиномии лишь путем дуалистического разрыва субъекта и объекта. Попытки преодолеть этот разрыв вели к идее диалектического противоречия (Фихте, Шеллинг, Гегель). Особенно велика в разработке этой идеи заслуга Гегеля, который сделал в исследовании проблемы противоречия самое большее, что можно было сделать, оставаясь на почве идеализма.

Для современной буржуазной философии характерны, с одной стороны, тенденция иррационализации противоречия как якобы неразрешимого («трагическая диалектика»), с другой стороны – попытка отрицать эту категорию, подменяя ее терминологическими различениями (позитивизм). Марксизм материалистически истолковал и разработал Единства и борьбы противоположностей закон «как закон познания (и закон объективного мира)» (Ленин). Подход к этому закону с точки зрения принципа совпадения диалектики, логики и теории познания направлен против сведения его к сумме примеров, на понимание его как всеобщего закона бытия и мышления. Объективная всеобщность этого закона – основа его методологических функций в познании. Доказательство его всеобщности требует исследования этих функций. Он определяет также и структуру научной теории, поскольку последняя раскрывает диалектику раздвоения единого. Классический образец такой структуры – «Капитал» Маркса. Разрешение противоречий ведет исследование вперед по логике самого предмета и служит рациональным способом выработки новых понятий, их синтеза.

Диалектическое противоречие в познании не сводится к столкновению тезиса и антитезиса. Оно заключается в движении к его разрешению. Понять диалектическое противоречие – значит понять, как оно развивается и разрешается. Разрешение его отнюдь не сводится к простому устранению путаных формально-логических противоречий в рассуждении. Адекватно сформулировать диалектическое противоречие внутри теории можно в творческом процессе восхождения от абстрактного к конкретному (Абстрактное и конкретное). Поэтому развернутое изложение теории не может быть втиснуто в рамки единственной «непротиворечивой системы». Процесс развития осуществляется через столкновение как внутренних, так и внешних противоположностей. Диалектика рассматривает внешние противоположности не как изначально различные сущности, а как результат раздвоения единого, в конечном счете как производные от внутренних. Марксистское учение об общественном развитии построено на применении данного закона, на исследовании противоречий общества, оно обосновывает тезис о борьбе классов как движущей силе развития классового общества и делает из него свои революционные выводы.

Социализм есть закономерный результат развертывания и разрешения путем социальной революции противоречий капитализма. Противоречия и формы их разрешения многообразны. Социализм тоже развивается путем противоречий, но они носят специфический характер (Антагонистические и неантагонистические противоречия). Категория диалектического противоречия имеет важное методологическое значение и для современного естествознания, которое всё чаще сталкивается о противоречивой природой объектов.

Марксизм-ленинизм сделал категорию противоречия достоянием образа мыслей, вытекающего из целостного освоения мира человеком, у которого нет причин бояться противоречий или мешать их разрешению. Мировоззренческое и воспитательное значение этого закона выражается и в том, что он учит никакую ступень развития, никакое достижение истории не брать как окончательное и ориентирует на бесконечное творчество.

Закон перехода количественных изменений в качественные

Гегель отрицал абсолютность качеств и считал, в отличие от Аристотеля, что всякое новое качество есть лишь результат накопившихся количественных изменений. В подтверждение своего тезиса Гегель приводил изменения агрегатного состояния вещества: плавление, кипение и т.п. – где появление нового качества, например текучести, есть результат количественных изменений, например, увеличения температуры. Однако не все явления так обратимы, как фазовые переходы. Кроме этого, качество как свойство вещи или предмета не обязано быть абсолютным, а носит и относительный характер. Данные замечания не отменяют философское значение закона, а лишь подчёркивают его особенности.

 

Закон отрицания отрицания

Согласно этому закону, всякое развитие в живой и неживой природе осуществляется по спирали. В качестве примера действия третьего закона диалектики во всех учебниках приводят колос пшеницы. Колос вырастает благодаря смерти зерна, то есть он как бы отрицает зерно. Однако, когда сам колос созревает, в нем появляются новые зерна, а сам колос как бы умирает, и его срезают серпом. Таким образом, отрицание зерна является причиной возникновения колоса, и отрицание колоса является причиной возникновения новых зерен. В духовной сфере примером действия закона отрицания отрицания является возврат Гегеля к некоторым положениям Гераклита. Этот возврат есть следствие двойного отрицания /Аристотель отрицал Гераклита, Гегель – Аристотеля/. Как замечал сам Гегель, все это похоже на действие с отрицательными числами /"минус на минус дает плюс" и тому подобное.

 

 

 

 

4 Математическая логика

 

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) – раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики – «логика по предмету, математика по методу», «логика, развиваемая с помощью математических методов».

 

4.1 История

 

Вопрос о создании символической логики как универсального научного языка рассматривал Лейбниц в 1666 году в работе «Искусство комбинаторики» (De arte combinatoria). В середине XIX века появились первые работы по алгебраизации аристотелевой логики, сформировавшие первооснову исчисления высказываний (Буль, де Морган, Шрёдер). В работах Фреге и Пирса (конец 1870-х – начало 1880-х) в логику введены предметные переменные, кванторы и, тем самым, основано исчисление предикатов. В конце 1880-х годов Дедекинд и Пеано применили эти инструменты в попытках аксиоматизации арифметики, при этом Пеано создал удобную систему обозначений, закрепившуюся и в современной математической логике.

Уайтхед и Рассел создают в 1910—1913 годах трактат Principia Mathematica, который оказал исключительное влияние на все последующее развитие математической логики. Ещё одной важной вехой в развитии логики стало обнаружение свойственных уровню развития логических исчислений и теории множеств конца XIX века парадоксов, в преодоление которых появилась концепция интуиционизма и интуиционистская логика (Брауэр, 1908) и, в качестве альтернативы, Гильбертом создана программа обоснования математики посредством аксиоматической формализации с использованием строго ограниченных средств, не приводящих к противоречиям.

 

4.2 Основные положения

 

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие – нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы  , синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами  выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы   и  , то выводима и формула  .

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат Курта Гёделя о том, что классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка (теорема Гёделя о полноте). С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

На практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и, соответственно, входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Логика – раздел философии, нормативная наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах правильного мышления. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика, как наука, изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.

Формальная логика – конструирование и исследование правил преобразования высказываний, сохраняющих их истинностное значение безотносительно к содержанию входящих в эти высказывания понятий. Формальная логика, в отличие от неформальной, организована как формальная система, обладающая высоким уровнем абстракции и чётко определёнными методами, правилами и законами. Формальная логика как наука занимается выводом нового знания на основе ранее известного без обращения в каждом конкретном случае к опыту, а применением законов и правил мышления. Начальной ступенью формальной логики можно считать традиционную логику, а математическую логику – её следующей ступенью, использующей математические методы, символический аппарат и логические исчисления.

Предметом изучения формальной логики служит форма мышления.

Диалектическая логика – философский раздел марксизма. В широком смысле понималась как систематически развёрнутое изложение диалектики мышления: диалектическое изложение науки о научно-теоретическом мышлении ("диалектики как логики"), которая тем самым является и научной теорией познания объективного мира. В узком смысле понималась как логическая дисциплина о формах правильных рассуждений.