Закон тяготения Ньютона в Солнечной системе

 

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный  университет экономики и управления

Кафедра современного естествознания и наукоемких технологий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине

КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

ВАРИАНТ №6

 

Выполнена

студентом группы ЮРП 02

Савельевой М.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 2011

 

Задание 1. Приведите доказательства справедливости закона тяготения Ньютона в Солнечной системе. Найдите ускорение свободного падения на Луне и оцените свой вес на Луне, исходя из знания, что ее масса в 81 раз меньше, чем у Земли.

 

Английский астроном и геофизик Э. Галлей, изучая материалы астрономических  наблюдений, обратил внимание на сходство орбит комет 1456, 1531, 1607, 1682 гг. и периодичность их появления (около 76 лет). Он пришел к выводу, что во всех этих случаях была одна и та же комета, и предсказал ее возвращение в 1758 г. Однако из-за возмущающего действия Юпитера и Сатурна, комета Галлея несколько запоздала и появилась только в следующем, 1759, году, почти в точном соответствии с расчетами Клеро - он ошибся только на 19 дней. Предсказание возвращения кометы стало первой убедительной победой теории Ньютона.

Самым убедительным подтверждением ньютонова  закона тяготения явилось открытие «на кончике пера» еще одной планеты, названной Нептуном. В марте 1781 г. У. Гершель открыл новую планету - Уран. Для нее были вычислены элементы орбиты и составлены таблицы движения. Но через некоторое время заметили, что Уран в своем движении отклоняется от рассчитанных по закону Ньютона таблиц, к 1845 г. отклонение составило 2', тогда как точность измерений достигала долей секунды. Молодой французский астроном-теоретик У. Леверье предположил, что это отклонение вызвано влиянием новой неизвестной планеты, находящейся дальше Урана и невидимой невооруженным глазом, и сделал расчет предполагаемой орбиты.

Свои расчеты Леверье провел второпях и сообщил о результатах  в письме от 18 сентября 1846 г. берлинскому  астроному И. Галле, который имел звездные карты, содержавшие слабые звезды. Галле сразу же обнаружил в указанном Леверье месте слабую звездочку 8-й величины, которой на картах не было. На следующий день оказалось, что звездочка переместилась относительно ближайших звезд. В более сильный телескоп удалось даже разглядеть маленький диск. Это была новая планета Солнечной системы, предвычисленная по закону всемирного тяготения. Ее положение на небе отличалось от предсказанного расчетом Леверье всего на 52". Открытие «на кончике пера» новой планеты явилось величайшим триумфом науки и, конечно, закона всемирного тяготения. Границы Солнечной системы расширились почти вдвое.

Ньютон показал, что если сила тяготения  точно соответствует закону обратных квадратов, то эллиптические орбиты планет не должны меняться со временем, т. е. ближайшая к Солнцу точка орбиты - перигелий - не должна смещаться по отношению к неподвижным звездам. Около 100 лет назад было обнаружено слабое смещение перигелия Меркурия, которое не удавалось полностью объяснить. Перигелий прецессировал с малой скоростью, так что орбита напоминала поворачивающийся эллипс. Не учитываемый в рамках ньютоновской теории эффект составлял 43" за 100 лет. Само измерение столь малой величины с такой точностью представляет собой большое достижение (погрешность менее 1%). Были подозрения, что есть еще одна планета, возмущающая орбиту Меркурия, ее даже условно назвали Вулканом, но не нашли. Поэтому появилось мнение, что закон всемирного тяготения неточен. И такую поправку в закон внес Эйнштейн в 1915г. в общей теории относительности. По его теории, перигелии орбит при каждом обороте планеты вокруг Солнца должны перемещаться на долю оборота, равную 3(Т/с)². Для перигелия Меркурия получается 43", угол поворота перигелия за 100 лет составляет 42,91". Эта величина соответствует обработке наблюдений Меркурия с 1765 по 1937 г. Так была объяснена прецессия перигелия орбиты Меркурия. Было показано, что для практических задач закон Ньютона дает хорошие результаты, но для больших скоростей нужны иные законы.

 

 

ЗАДАЧА.

Значение гравитационного ускорения  на поверхности планеты можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

 

 

где G-гравитационная постоянная для данной планеты.

В нашем  случае возьмем из справочника значение G*M для Луны оно будет равно: 4.903·10¹² м³/с² радиус Луны равен 1737,1*10³ м, отсюда g для Луны будет равна

 

g=4.903·10¹²/(1737,1*10³)²=1,62 м/с²

 

Теперь  найдем мой вес.

Моя масса на Земле равен 56 кг, отсюда по формуле:

теперь  найдем мой вес на Луне:

 

P=m*g

P=56*1.62= 90,72 кг*м/с²

 

Ответ: ускорение g=1.62 м/с², масса равна 90,72 кг*м/с²

 

Задание 2. Поясните «парадокс длины» специальной теории относительности. Определите относительную скорость движения, при которой сокращение линейных размеров тела составляет 10%. Чем отличается общая теория относительности от специальной? Приведите экспериментальные подтверждения верности теории Эйнштейна.

 

Постулатами частной теории относительности  являются два принципа.

1. Принцип относительности движения, которому Эйнштейн придал всеобщий характер, распространив его с механических на магнитные, электрические и световые процессы.

2. Принцип постоянства скорости  света в пустоте, составляющей 300 000 км/с. Эта скорость является максимальной возможной скоростью распространения материальных взаимодействий.

Из этих двух физических принципов  Эйнштейн заново вывел математические правила преобразования Лоренца. Но теперь математическая форма соотношений  наполнена физическим смыслом, поскольку  их Эйнштейн вывел из физических посылок. Из этих соотношений можно видеть, что, когда скорость движения тела становится сравнимой со скоростью света, линейный размер тела физически сокращается в направлении его движения. Со временем происходят противоположные изменения: его течение замедляется, ритмика течения времени растягивается.

Если скорость движения тела приближается к скорости света, то тело сжимается  в направлении движения до такой степени, что превращается в плоскую фигуру (в лепешку). Значит, допускавшиеся в классической физике скорости, превышающие скорость света в пустоте, не имеют физического смысла. Отсюда следует, что скорость распространения материальных взаимодействий в природе не может превышать скорость света в пустоте.

 

Таким образом, дедуктивные следствия  из физических постулатов привели Эйнштейна к построению развернутой содержательной теории, которую затем он назовет частной, или специальной. Специальная теория относительности (СТО) обобщает классическую физику и электродинамику Максвелла и выступает как релятивистская физика, в которой дается новая теория таких понятий, как масса, движение, пространство, время.

В классической физике пространство оторвано от времени, и они рассматриваются  как абсолютные. Абсолютны они  потому, что оторваны от движущихся материальных тел. Специальная теория относительности устанавливает зависимость пространства и времени от скорости движения материальных тел. Кроме того, она устанавливает неразрывную связь пространства и времени, поскольку они изменяются синхронно, и притом в противоположных направлениях: при больших скоростях движения тел их линейный размер сокращается в направлении движения, а ритмика течения времени растягивается. Поэтому рассмотрение физических событий должно относиться к единому четырехмерному пространственно-временному континууму: х, у, z, t.

Принцип эквивалентности инерциальных и ускоренных систем отсчета стал исходным постулатом для общей теории относительности. Сам Эйнштейн сформулировал  этот принцип так: «В поле тяготения (малой пространственной протяженности) все происходит так, как в пространстве без тяготения, если в нем вместо «инерциальной» системы отсчета ввести систему, ускоренную относительно ее».

В соответствии с этим принципом  Эйнштейн приступил к переработке  специальной теории относительности и в итоге получил новую, более широкую теорию, которую назвал общей теорией относительности (ОТО). Центральным положением ОТО стало утверждение о том, что не существует привилегированных систем координат. Эту мысль он выразил следующим образом: «Законы физики должны быть таковы по природе, что они должны быть применимы к произвольно движущимся системам отсчета». Иначе говоря, поскольку законы физики сохраняют свою форму для любого наблюдателя, то математическое представление этих законов должно оставаться неизменным (инвариантным) не только при лоренцевых, но и при произвольных преобразованиях. [6]

Выведенные из этого центрального положения ОТО следствия привели  Эйнштейна к дальнейшему обобщению  представлений о пространстве и  времени.

Если ускоренное движение нейтрализует тяготение в какой-либо системе отсчета, то гравитация и кинематика связаны между собой по существу. А поскольку кинематика (то есть теория механического движения, представляющего собой перемещение тел в пространстве) - это геометрия, к которой добавлена еще одна переменная - время, то Эйнштейн интерпретирует гравитационное поле как геометрию пространства-времени.

Из эквивалентности гравитации с геометрией пространства-времени  вытекают интересные и важные следствия.

Следствие 1. Вблизи больших тяготеющих масс изменяются метрические свойства пространства и времени, а именно, линейный размер тела, находящегося вблизи большой тяготеющей массы, сокращается в радиальном направлении, а течение времени вблизи такой массы замедляется.

Следствие 2. Если бы в мире вещественные массы были распределены равномерно, то пространство окружающего мира описывалось бы геометрией Евклида. Поскольку же в реальном мире вещественные массы распределены неравномерно, то такой мир не является евклидовым, его геометрические свойства зависят от распределения масс и от скорости их движения.

Следствие 3. В механистической  картине мира, как мы видели, были разорваны и разведены такие базовые понятия, как пространство, время, движение, материя. Теория относительности сплотила воедино понятия пространства и времени, массы и энергии, тяготения и инерции. Тем самым теория относительности привела к построению новой, современной научной картины мира. Подтверждением теории относительности стали опыты с короткоживущими элементарными частицами - при их ускорении в реакторах, время их жизни увеличивалось в соответствии с лоренцевым преобразованием; искривление линии распространения света вблизи Солнца; схема прецессии орбиты Меркурия.

 

Специальная теория относительности (СТО) (частная теория относительности; релятивистская механика) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при скоростях движения, близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Общая теория относительности - геометрическая теория тяготения, развивающая специальную теорию относительности (СТО), опубликованная Альбертом Эйнштейном в 1915—1916 годах. В рамках общей теории относительности, как и в других метрических теориях, постулируется, что гравитационные эффекты обусловлены не силовым взаимодействием тел и полей, находящихся в пространстве-времени, а деформацией самого пространства-времени, которая связана, в частности, с присутствием массы-энергии. Общая теория относительности отличается от других метрических теорий тяготения использованием уравнений Эйнштейна для связи кривизны пространства-времени с присутствующей в нём материей.

Доказательства ОТО

Эффекты, связанные с ускорением систем отсчёта

Первый из этих эффектов — гравитационное замедление времени, из-за которого любые  часы будут идти тем медленнее, чем  глубже в гравитационной яме (ближе  к гравитирующему телу) они находятся. Данный эффект был непосредственно подтверждён в эксперименте Хафеле — Китинга, а также в эксперименте Gravity Probe A и постоянно подтверждается в GPS.

Непосредственно связанный с этим эффект — гравитационное красное  смещение света. Под этим эффектом понимают уменьшение частоты света относительно локальных часов (соответственно, смещение линий спектра к красному концу спектра относительно локальных масштабов) при распространении света из гравитационной ямы наружу (из области с меньшим гравитационным потенциалом в область с большим потенциалом)/

Гравитационное замедление времени  влечёт за собой ещё один эффект, названный эффектом Шапиро (также известный как гравитационная задержка сигнала). Из-за этого эффекта в поле тяготения электромагнитные сигналы идут дольше, чем в отсутствие этого поля. Данное явление было обнаружено при радиолокации планет солнечной системы и космических кораблей, проходящих позади Солнца, а также при наблюдении сигналов от двойных пульсаров.

Самая известная ранняя проверка ОТО  стала возможна благодаря полному солнечному затмению 1919 года. Артур Эддингтон показал, что свет от звезды искривлялся вблизи Солнца в точном соответствии с предсказаниями ОТО.

Искривление пути света происходит в любой ускоренной системе отсчёта. Детальный вид наблюдаемой траектории и гравитационные эффекты линзирования зависят, тем не менее, от кривизны пространства-времени. Эйнштейн узнал об этом эффекте в 1911 году, и когда он эвристическим путём вычислил величину кривизны траекторий, она оказалась такой же, какая предсказывалась классической механикой для частиц, движущихся со скоростью света. В 1916 году Эйнштейн обнаружил, что на самом деле в ОТО угловой сдвиг направления распространения света в два раза больше, чем в ньютоновской теории, в отличие от предыдущего рассмотрения. Таким образом, это предсказание стало ещё одним способом проверки ОТО.

С 1919 года данное явление было подтверждено астрономическими наблюдениями звёзд  в процессе затмений Солнца, а также  с высокой точностью проверено  радиоинтерферометрическими наблюдениями квазаров, проходящих вблизи Солнца во время его пути по эклиптике.

Наконец, у любой звезды может  увеличиваться яркость, когда перед  ней проходит компактный массивный  объект. В этом случае увеличенные  и искажённые из-за гравитационного отклонения света изображения дальней звезды не могут быть разрешены (они находятся слишком близко друг к другу) и наблюдается просто повышение яркости звезды. Этот эффект называют микролинзированием, и он наблюдается теперь регулярно в рамках проектов, изучающих невидимые тела нашей Галактики по гравитационному микролинзированию света от звёзд — МАСНО, EROS (англ.) и другие.