Соотношение моделирования и эксперимента в естествознании

Видно, что с течением времени размер частиц увеличивается и уменьшается их количество из-за их агрегации.

В результате серии расчетов была найдена зависимость среднего размера частиц от концентрации азотной кислоты, представленная на рис. 3.

При увеличении концентрации азотной кислоты увеличивается κ - обратная дебаевская толщина ионной оболочки, вследствие чего уменьшается сила отталкивания между частицами, а вместе с ней увеличивается средний размер частиц. Когда же концентрация азотной кислоты близка к 0, важную роль играет φ0 - потенциал поверхности частицы, который зависит от pH среды: с повышением pH φ0 уменьшается, поэтому уменьшается сила отталкивания между частицами и увеличивается их средний размер.

Рис. 3. Зависимость среднего размера частиц от концентрации азотной кислоты: - - расчетная кривая; X - экспериментальные значения

Результаты моделирования показали, что лучший результат по определению размера наночастиц диоксида титана (14-15 нм) соответствует мольным соотношениям компонентов [1:4:25:0,25] и [1:4:25:0,5]. При концентрации азотной кислоты ([кислота]:[вода]) от 0,01 до 0,02 в золь-гель процессе синтезируются наночастицы с размерами 14-15 нм. Увеличение количества воды (мольное соотношение [алкоксид]:[спирт]:[вода]:[азотная кислота] = [1:4:600:0,5]) приводит к значительному увеличению скорости гидролиза. Расчеты показали, что скорость гидролиза превышает скорости поликонденсации по механизму 1 в 80 раз, по механизму 2 - в 20 раз. В то время, как при соотношении компонентов [1:4:25:0,5] скорость гидролиза превосходит скорости поликонденсации по соответствующим механизмам в 4 и 2 раза. Увеличение скорости гидролиза при мольном соотношении компонентов [1:4:600:0,5] приводит к образованию мелких частиц (менее 8 нм), которые при сушке легко агрегируют, образуя агломераты с размером > 100 нм.

Заключение

В результате экспериментальных исследований найдены оптимальные условия получения наночастиц диоксида титана: мольные соотношения компонентов [алкоксид]:[спирт]:[вода]:[азотная кислота] = [1:4:25:0,25] и [1:4:25:0,5], pH раствора ~1,75-1,98, температура термообработки ~25°С, температура процесса сушки ~25°С. Разработана математическая модель золь-гель процесса получения наночастиц диоксида титана, учитывающая физико-химическую сущность протекающих явлений: реакцию гидролиза, механизмы поликонденсации (характеризующие взаимодействие групп OH-OH и OR-OR в частицах). Механизм поликонденсации основан на теории ДЛФО растворов, учитывает силы молекулярного притяжения и электростатического отталкивания. Математическая модель предсказывает распределение частиц диоксида титана по размерам в зависимости от мольных соотношений компонентов, условий проведения золь-гель процесса. Исходя из совпадения расчетных и экспериментальных данных, найдены недоста align=http://www.rae.ru/fs/i/2012/9-2/57.jpgющие кинетические параметры системы. Найден диапазон концентраций азотной кислоты (0,01-0,02 моль/моль), обеспечивающий устойчивый размер наночастиц диоксида титана (14-15 нм).

Работа выполнена в рамках государственного контракта № 16.740.11.0040.

Рецензенты:

• Бессарабов А.М., д.т.н., профессор, заведующий учебно-научным центром ФГУП «Государственный научно-исследовательский институт химических реактивов и особо чистых химических веществ», г. Москва;
• Чулок А.И., д.т.н., профессор ГОУ ВПО МО «Академия социального управления», г. Москва.

Работа поступила в редакцию 20.07.2012.

Пристатейные списки литературы

1. Бессарабов А.М. Исследование  процесса гидролитической соконденсации  тетраэтоксисилана и тетрабутоксититана. - М.: ЖПХ, 1987. - №3.

2. Зонтаг Г., Штренге К. Коагуляция и устойчивость дисперсных  систем. - Л.: Химия, 1972.

3. Кафаров В.В., Дорохов  И.Н., Кольцова Э.М. Системный анализ  процессов химической технологии: процессы массовой кристаллизации  из растворов и газовой фазы. - М.: Наука, 1983.

4. Шалумов Б.З. Физико-химические  основы синтеза и технология  металлсилоксановых композиций  на основе тетраэтоксисилана: дис. ... д-ра хим. наук. - М., 1985.

5. Штрамбранд Ю.М. Исследование  и разработка процесса получения  дисперсного диоксида титана  особой чистоты: дис. ... канд. хим. наук. - М., 1982.

6. Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в.. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Модель - объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системы для изучения оригинала или воспроизведения его каких - либо свойств. Модель - результат отображения одной структуры на другую. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания. Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель", широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни. Применительно к естественным и техническим наукам принято различать следующие виды моделирования: концептуальное моделирование, при котором совокупность уже известных фактов или представлений относительно исследуемого объекта или системы истолковывается с помощью некоторых специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественного или искусственного языков; физическое моделирование, при котором модель и моделируемый объект представляют собой реальные объекты или процессы единой или различной физической природы, причем между процессами в объекте-оригинале и в модели выполняются некоторые соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений; структурно-функциональное моделирование, при котором моделями являются схемы (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специальными правилами их объединения и преобразования; математическое (логико-математическое) моделирование, при котором моделирование, включая построение модели, осуществляется средствами математики и логики; имитационное (программное) моделирование, при котором логико-математическая модель исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для компьютера. Разумеется, перечисленные выше виды моделирования не являются взаимоисключающими и могут применяться при исследовании сложных объектов либо одновременно, либо в некоторой комбинации. Кроме того, в некотором смысле концептуальное и, скажем, структурно-функциональное моделирование неразличимы между собой, так как те же блок-схемы, конечно же, являются специальными знаками с установленными операциями над ними. Общая классификация моделей Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений) получим физико - математическую модель системы или математическую модель физической системы. В частности, физиологическая система - система кровообращения человека, подчиняется некоторым законам термодинамики и описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого - физико - математической моделью или физико - математической моделью. Модели, если отвлечься от областей, сфер их применения, бывают трех типов: познавательные, прагматические и инструментальные. ·Познавательная модель - форма организации и представления знаний, средство соединение новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью. ·Прагматическая модель - средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели. ·Инструментальная модель - является средством построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные отражают существующие, а прагматические - хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи. По уровню, "глубине" моделирования модели бывают эмпирические - на основе эмпирических фактов, зависимостей; теоретические - на основе математических описаний; смешанные, полуэмпирические - использующие эмпирические зависимости и математические описания. · адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему; ·информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели. Требования к модели Основные требования к модели: ·наглядность построения; ·обозримость основных свойств и отношений; ·доступность ее для исследования или воспроизведения; ·простота исследования, воспроизведения; ·сохранение информации, содержавшиеся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез) и получение новой информации. Проблема моделирования состоит из трех задач: · построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей); · исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей); · использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача). Свойства модели: · конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны; · упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта; · приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно; Жизненный цикл моделируемой системы Сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ; Проектирование структуры и состава моделей (подмоделей); Построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей; Исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования; Исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели; Оценка средств моделирования (затраченных ресурсов); Интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно - следственных связей в исследуемой системе; Генерация отчетов и проектных (народно - хозяйственных) решений; Уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью моделирования. Основными операциями используемыми над моделями являются: 1. Линеаризация. Пусть М=М(X,Y,A), где X - множество входов, Y - выходов, А - состояний системы. Схематически можно это изобразить: X Ю A Ю Y. Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а f, y - линейные операторы, то система (модель) называется линейной. Другие системы (модели) - нелинейные. Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным каким-то образом. 2. Идентификация. Пусть М=М(X,Y,A), A={ai}, ai=(ai1,ai2,...,aik) - вектор состояния объекта (системы). Если вектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация - решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих адекватно поведение реальной системы. 3. Агрегирование. Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели (моделям) меньшей размерности (X, Y, A). 4. Декомпозиция. Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и подсистем другим. 5. Сборка. Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых). 6. Макетирование. Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены). 7. Экспертиза, экспертное оценивание. Операция или процедура использования опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем исследуемой системы. 8. Вычислительный эксперимент. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель! Применение моделей Модели и моделирование применяются по следующим основным и важным направлениям. Обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей). Познание и разработка теории исследуемых систем - с помощью каких - то моделей, моделирования, результатов моделирования. Прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы). Управление (системой в целом, отдельными подсиситемами системы, выработка управленческих решений и стратегий). Автоматизация (системы или отдельных подсистем системы). В базовой четверке информатики: "модель - алгоритм - компьютер - технология" при компьютерном моделировании главную роль играют уже алгоритм (программа), компьютер и технология (точнее, инструментальные системы для компьютера, компьютерные технологии). Например, при имитационном моделировании (при отсутствии строгого и формально записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования; аналогично и в когнитивной графике. Математическое моделирование Дадим краткое описание математической модели (ММ). Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики1. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений, и поэтому ММ является мощным средством познания окружающего мира, а также прогнозирования и управления. В процессе математического моделирования можно выделить четыре этапа: Первый этап – формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого и глубокого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и взаимосвязей в исследуемой области. Второй этап – исследование математических задач, к которым приводят ММ. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи т.е. получение в результате анализа ММ выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа ММ, и вычислительная техника – мощное средство для получения количественной выходной информации. Третий этап – выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая (абстрактная) модель критерию практики т.е. согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если ММ была вполне определена (все параметры ее были заданы), то определение уклонений (погрешности) теоретических следствий от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой уклонения. Если погрешности выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении ММ некоторой ее характеристики остаются не определенными. Задачи, в которых характеристики модели определяются таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если ММ такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель не пригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке ММ позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе гипотетической (абстрактной) модели. Четвертый этап – последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. Проблема построения и уточнения математической модели явления является сложной задачей и поэтому необходимо подчеркнуть ряд положений: Математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом т.е. одно и тоже явление может быть описана различными моделями, и с другой стороны, одной и той же математической моделью могут быть описаны различные объекты и явления. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая все новые и новые особенности изучаемого объекта. Вопрос применимости некоторой ММ к изучению рассматриваемого объекта не является чисто математическим и не может быть решен математическими методами т.е. в рамках математики. Основным критерием истинности модели является эксперимент, практика в широком смысле слова. Критерий практики позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них такую, которая является наиболее простой и в то же время в рамках требуемой точности правильно передает свойства изучаемого явления. В прикладных задачах построение математической модели – это один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Замечено, что во многих случаях правильно построить модель – значит решит проблему более чем на половину. Трудность этого этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Применение вычислительной техники существенно повышает эффективность построения и уточнения математической модели, облегчает процесс сопоставления результатов ММ с результатами наблюдений, существенно сокращает время анализа модели (проведение расчетов, численного эксперимента), обработать различные гипотетические модели и выбрать наиболее приемлемый. Этапы построения модели Введение Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств. Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания. Для моделирования существенно объединение дифференциального (атомистического) и структурно-целостного подходов, диалектическое единство анализа и синтеза при исследовании изучаемых явлений. Моделирование заключается в имитации изучаемого явления. Точность имитации определяется путем сравнения полученного при воспроизведении результата с его прототипом, объектом исследования, и оценки степени их сходства. В целом, моделирование включает в себя три необходимых этана: анализ объекта исследования, построение (синтез) модели, получение результата и его оценка путем сравнения с объектом. Рассмотрим более детально эти этапы. Анализ объекта моделирования В основу модели при ее формировании кладутся некоторые первоначальные знания об объекте, закономерности, устанавливающие свойства этого объекта (или класса объектов), его характеристики, особенности связи между составляющими объект, элементами. Получение этих знаний и их уточнение и являются содержанием первого этапа моделирования. На этом этапе формируется возможно более полное описание объекта: выделяются его элементы, устанавливаются связи между ними, вычленяются существенные для исследования характеристики, выявляются параметры, изменение которых влияет или может влиять на объект. На том же этапе формируются, подлежащие последующей проверке гипотезы о закономерностях, присущих изучаемому объекту, о характере влияния на него изменения тех или иных параметров и связей между его элементами. На том же этапе исходные предположения переводятся на четкий однозначный язык количественных отношений и устраняется нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими,; не- допускающими различных толкований высказываниями Формирование (синтез) модели Формирование (синтез) модели представляет собой второй этап моделирования. На этом этапе в соответствии с задачами исследования осуществляется воспроизведение, или имитация, объекта на ЭВМ с помощью программы, которая включает в себя закономерности и другие исходные данные, полученные на этапе анализа. Структура модели, существенно зависит от задач исследования.. Так, например, если проверяется полнота и правильность наших знаний об объекте, последний имитируется с использованием, всех известных исходных соотношений. Если же задача, заключается ,в проверке некоторых предположений и степени; их общности, то именно эти предположения вводятся в программу и в результате имитации получаются объекты, которые лишь частично отражают реальные свойства имитируемого объекта. Оценка результатов Оценка результатов, заключается, в установлении адекватности модели и объекта исследования - в определении степени близости,, сходства, машинных и человеческих действий или их результатов. При этом существенно не "абсолютное качество" машинных результатов, а степень сходства с объектом исследования. Так, при моделировании музыкальных сочинений важно нe то, чтобы машинная музыка была "лучше" музыки композиторов-классиков, а чтобы она была похожа на ту, которая исследуется, и - в идеале - была от нее неотличима (по эмоциональности, по выразительности, по синтаксической сложности, принадлежности к типу, стилю и т. п.). Успешный результат сравнения (оценки) исследуемого объекта с моделью свидетельствует о достаточной степени изученности объекта, о правильности принципов, положенных в основу моделирования, и о том, что алгоритм, моделирующий объект, не содержит ошибок, т. е. о том, что созданная модель работоспособна. Такая модель может быть использована для дальнейших более глубоких исследований объекта в различных новых условиях, в которых реальный объект еще не изучался. Чаще, однако, первые результаты моделирования не удовлетворяют предъявленным требованиям. Это означает, что по крайней мере в одной из перечисленных выше позиций (изученность объекта, исходные принципы, алгоритм) имеются дефекты. Это требует проведения дополнительных исследовании и соответствующего изменения машинной программы, после чего снова повторяются второй и третий этапы. Процедура повторяется до получения надежных результатов. Этап оценки модели является важным этапом моделирования. В зависимости от характера объекта исследования и поставленных задач применяются различные методы оценки модели. Особенно большое значение имеет правильная опенка модели, когда моделирование, используется для проверки гипотез, а также когда объекты недостаточно формализованы и нет строгого объективного критерия сходства объекта и модели. С подобной ситуацией часто приходится встречаться при моделировании интеллектуальных, творческих процессов. Модель должна обладать существенными признаками объекта моделирования. Иначе говоря, модель и объект должны быть неотличимы по этим признакам, которые выбираются, вообще говоря, исследователем в зависимости от цели и. задачи исследования. Так, чучело птицы моделирует внешний вид птицы, но не моделирует ее динамического состояния, например полета. Самолет-орнитоптер (летательный -аппарат с машущими, крыльями) не моделирует внешнего вида птицы, зато моделирует ее полет. При моделировании творчества также имитируются лишь отдельные стороны объекта, наиболее интересные (или доступные) для исследователя. Наличие существенных для объекта признаков в модели определяется по-разному, в зависимости от его вида. В одних случаях эти признаки обнаруживаются непосредственно: например, в модели гармонизации - путем отыскания ошибок, в модели шахматиста (шахматной программе) - по результатам игры с настоящими шахматистами. В других случаях существенные признаки оказываются "скрытыми" и для их отыскания приходится прибегать к специальному эксперименту. § 1. Применимость математической модели и погрешность. Рассмотрим вопрос применимости математической модели и о влиянии погрешности (возмущений) на возможность решить исходную задачу. В качестве примера рассмотрим практическую задачу, которая сводится к решению системы линейных уравнений. Пусть дана система линейных уравнений Требуется найти решение этой системы т.е. координаты вектора . Пусть вектор принадлежит единичной сфере Функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , следовательно она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Очевидно, что ; и , когда вырождена и уравнение имеет не тривиальное решение. Определение. Отношение называется обусловленностью матрицы Из (1.4),(1.5) следует , а в силу линейности отображения Проведем исследование устойчивости системы (1.1). Для этого предположим, что матрица задана точно, а правая часть приближенно, тогда обозначив через решение возмущенной системы можно записать Вычитая из (1.7) выражение (1.1) получим , тогда из (1.6), (1.1) следует , где - характеризует относительное возмущение правой части, - характеризует относительную ошибку в решении, вызванную возмущением правой части. Так как обусловленность матрицы m играет роль множителя, то при m близких к единице относительные ошибки правой части и самого решения сравнимы между собой, в этом случае говорят, что система хорошо обусловлена; при увеличении m чувствительность решения к погрешности правой части возрастает – система становится плохо обусловленной. Рассмотрим пример: дана система из двух уравнений с двумя неизвестными, выявить влияние малого возмущения правой части на решение возмущенной системы. Система невырожденная , и система имеет решение . Внесем возмущение в правую часть, тогда получим новую возмущенную систему, которая имеет решение Оценим возмущения правой части и величину изменения решения системы, для чего найдем абсолютные и относительные погрешности , Таким образом, привнесение малого возмущения привело к существенному изменению решения. И это говорит о плохой обусловленности матрицы . Вычислим параметр m. Тогда из (1.3) имеем . Найдем наибольшее и наименьшее значения на единичной окружности . Сделаем замену переменных , тогда задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный экстремум для функции одной переменной где . Очевидно что . Отсюда получим . Проверим выполнимость соотношения (1.8), действительно Вывод. Таким образом из рассмотренного примера следует, что при разработке математической модели необходимо обратить особое внимание вопросам применимости модели к данному объекту, определению области возможных значений и погрешностям привносимым как во время численных расчетов, так и в ходе уточнения модели. § 2. Компьютерное моделирование. Численный эксперимент. Компьютерное моделирование Традиционно под моделированием на ЭВМ понималось лишь имитационное моделирование. Можно, однако, увидеть, что и при других видах моделирования компьютер может быть весьма полезен, за исключением разве физического моделирования, где компьютер вообще-то тоже может использоваться, но, скорее, для целей управления процессом моделирования. Например при математическом моделировании выполнение одного из основных этапов - построение математических моделей по экспериментальным данным - в настоящее время просто немыслимо без компьютера. В последние годы, благодаря развитию графического интерфейса и графических пакетов, широкое развитие получило компьютерное, структурно-функциональное моделирование, о котором подробно поговорим ниже. Положено начало использованию компьютера даже при концептуальном моделировании, где он используется, например, при построении систем искусственного интеллекта. Таким образом, мы видим, что понятие "компьютерное моделирование" значительно шире традиционного понятия "моделирование на ЭВМ" и нуждается в уточнении, учитывающем сегодняшние реалии. Начнем с термина "компьютерная модель". В настоящее время под компьютерной моделью чаще всего понимают: условный образ объекта или некоторой системы объектов (или процессов), описанный с помощью взаимосвязанных компьютерных таблиц, блок-схем, диаграмм, графиков, рисунков, анимационных фрагментов, гипертекстов и т. д. и отображающий структуру и взаимосвязи между элементами объекта. Компьютерные модели такого вида мы будем называть структурно-функциональными; отдельную программу, совокупность программ, программный комплекс, позволяющий с помощью последовательности вычислений и графического отображения их результатов, воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта, системы объектов при условии воздействия на объект различных, как правило случайных, факторов. Такие модели мы будем далее называть имитационными моделями. Компьютерное моделирование - метод решения задачи анализа или синтеза сложной системы на основе использования ее компьютерной модели. Суть компьютерного моделирования заключена в получении количественных и качественных результатов по имеющейся модели. Качественные выводы, получаемые по результатам анализа, позволяют обнаружить неизвестные ранее свойства сложной системы: ее структуру, динамику развития, устойчивость, целостность и др. Количественные выводы в основном носят характер прогноза некоторых будущих или объяснения прошлых значений переменных, характеризирующих систему. Компьютерное моделирование для рождения новой информации использует любую информацию, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ. Основные функции компьютера при моделировании: выполнять роль вспомогательного средства для решения задач, решаемых обычными вычислительными средствами, алгоритмами, технологиями; выполнять роль средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями; выполнять роль средства конструирования компьютерных обучающе - моделирующих сред; выполнять роль средства моделирования для получения новых знаний; выполнять роль "обучения" новых моделей (самообучающиеся модели). Разновидностью компьютерного моделирования является вычислительный эксперимент. Компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент становится новым инструментом, методом научного познания, новой технологией также из-за возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических моделей систем . Предметом компьютерного моделирования могут быть: экономическая деятельность фирмы или банка, промышленное предприятие, информационно-вычислительная сеть, технологический процесс, любой реальный объект или процесс, например процесс инфляции, и вообще - любая Сложная Система. Цели компьютерного моделирования могут быть различными, однако наиболее часто моделирование является, как уже отмечалось ранее, центральной процедурой системного анализа, причем под системным анализом мы далее понимаем совокупность методологических средств, используемых для подготовки и принятия решений экономического, организационного, социального или технического характера. Компьютерная модель сложной системы должна по возможности отображать все основные факторы и взаимосвязи, характеризующие реальные ситуации, критерии и ограничения. Модель должна быть достаточно универсальной, чтобы по возможности описывать близкие по назначению объекты, и в то же время достаточно простой, чтобы позволить выполнить необходимые исследования с разумными затратами. Все это говорит о том, что моделирование, рассматриваемое в целом, представляет собой скорее искусство, чем сформировавшуюся науку с самостоятельным набором средств отображения явлений и процессов реального мира. В настоящее время одним из способов теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование является вычислительные эксперимент (в более широком смысле компьютерное моделирование) то есть исследование реальных процессов средствами вычислительной математики. В вычислительном эксперименте можно выделить ряд этапов: Выбор математической модели. Исследуется вопрос существования и единственности решения, определяются области значений для входных и выходных параметров, оценивается необходимая точность определения результата. Построение приближенного (численного) метода решения задачи, написание вычислительного алгоритма. Оценка качества алгоритма по достигаемой погрешности и времени исполнения. Программирование для ЭВМ вычислительного алгоритма. Проведение расчетов на ЭВМ. Анализ полученных численных результатов и уточнение математической модели. Первый этап рассмотрен в первом параграфе, поэтому более подробно остановимся на втором этапе. При выборе вычислительного алгоритма руководствуются следующими требованиями: Алгоритм должен давать решение задачи с любой степенью точности за конечное число действий . Алгоритм должен быть оптимальным по времени исполнения, сложности, и по числу арифметических операций . Алгоритм должен быть оптимальным по реальным вычислениям (т.е. учитывать округление исходных данных, промежуточных результатов; погрешности методов, искомого результата). Алгоритм должен быть оптимальным по характеру исполнения (в одновариантном или многовариантном режиме). Вопрос построения приближенного (численного) метода решения задачи рассмотрим на примере решения задач математической физики. Для численного решения задач математической физики обычно применяется метод конечных разностей (метод сеток)(МКР) или метод конечных элементов. МКР позволяет свести решение дифференциальных уравнений в частных производных к решению системы алгебраических уравнений. В теории разностных методов (разностных схем) рассматриваются два вопроса: Построение дискретных (разностных) аппроксимаций для уравнения математической физики и исследование априорных характеристик качества этих аппроксимаций, что сводится прежде всего к изучению погрешности аппроксимации, устойчивости и связанной с ней точности полученной разностной схемы. Решение разностных уравнений прямыми (точными) или итерационными методами, выбираемыми из соображений экономичности вычислительного алгоритма. Характерными чертами этих численных методов являются: множественность т.е. каждому уравнению можно сопоставить бесчисленное множество разностных аппроксимаций, имеющих одни и те же характеристики (например: одинаковый порядок шага, одинаковый порядок погрешности, объем вычислений и другие); необходимость нахождения оптимального, наилучшего метода, который позволял бы получить искомое решение с заданной точностью за минимальное машинное время. Для поиска оптимального метода (выбор которого зависит от класса решаемых задач) применяется алгоритм постепенного сужения множества допустимых методов путем постепенного включения требований аппроксимаций, устойчивости, экономичности и др.; требование чтобы разностная схема (дискретная модель) как можно лучше моделировала (приближала) свайства исходного дифференциального уравнения. При построении разностных схем заданного качества и свойства необходимо придерживаться общих принципов, таких как: принцип однородности (единообразия), принцип консервативности разностной схемы. Консервативность означает, что разностная схема выражает некоторый закон сохранения (уравнение баланса) на сетке. Например, консервативность однородных схем является необходимым условием сходимости в классе функций с разрывными коэффициентами для стационарных и нестационарных задач математической физики. § 3 Решение задач с использованием ЭВМ Становление математики как науки связано с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, определения площадей и объемов, навигации, астрономии и т.д. Поэтому математика была численной математикой т.е. ее целью являлось получение решения в виде чисел. Численным решением прикладных задач занимались многие великие математики и физики, такие как Ферма, Ньютон И., Эйлер, Лобачевский , Гаусс, Чебышев, Бессель, Лагранж, Крылов А.Н., Люстерик Л.А., Тихонов А.Н. и многие другие. Еще большее развитие прикладная математика получила с возможностью применения ЭВМ в вычислительном процессе. Стало возможным решение множества практических задач связанных с большим объемом вычислений. С расширением возможностей приложения математики стало возможным применения математических методов и в другие разделы науки: химии, биологии, геологии, географии, психологии, медицины, языкознания, в различных отраслях техники и технологии. 1 Математический энциклопедический словарь. М.: . PAGE 9 
    
   Источник: http://reftrend.ru/754886.html