Астрономическая вселенная и закон всемирного тяготения

Именно  поэтому, конечная Вселенная невозможна, а любой выбранный во Вселенной объект можно воспринимать как центральную точку Вселенной, так как она окружена бесконечным количеством вещества. И именно поэтому результирующая гравитационная сила, действующая на данную точку, будет всегда равна нулю.

Итак, подтверждением закона всемирного тяготения в Солнечной системе являются – возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем и планеты Плутон. Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики – науки о движении планет. С помощью этого закона с огромной точностью определяются положения небесных тел на небесном своде на многие десятки лет вперед и вычисляются их траектории.

3. Небесная механика и задачи двух (трех) тел.

Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики – раздела механики, изучающего движение тел в пустом пространстве только под действием гравитации.

Наиболее  простой задачей небесной механики является гравитационное взаимодействие двух точечных или сферических тел в пустом пространстве (двойная система). Эта задача в рамках классической механики решается аналитически до конца, результат её решения часто формулируют в виде трёх законов Кеплера.

При увеличении количества взаимодействующих тел  задача резко усложняется. Так, уже задача трёх тел или тройной системы (то есть движение трёх тел с ненулевыми массами) не может быть решена аналитически в общем виде. При численном же решении достаточно быстро наступает неустойчивость решений относительно начальных условий. В применении к Солнечной системе эта неустойчивость не позволяет предсказать точно движение планет на масштабах, превышающих сотню миллионов лет.

В некоторых  частных случаях удаётся найти  приближённое решение. Наиболее важным является случай, когда масса одного тела существенно больше массы других тел (примеры: солнечная система и динамика колец Сатурна). В этом случае в первом приближении можно считать, что лёгкие тела не взаимодействуют друг с другом и движутся по кеплеровым траекториям вокруг массивного тела. Взаимодействия же между ними можно учитывать в рамках теории возмущений и усреднять по времени. При этом могут возникать нетривиальные явления, такие как резонансы, аттракторы, хаотичность и т. д. Наглядный пример таких явлений — сложная структура колец Сатурна.

Несмотря  на попытки точно описать поведение  системы из большого числа притягивающихся  тел примерно одинаковой массы, сделать  этого не удаётся из-за явления  динамического хаоса.

Рассмотрим  задачу движения двух тел. В частном  случае этой задачи  рассматривается движение тела меньшей массы т относительно тела большей массы М. При этом большее тело принимается за неподвижное и  называется центральным телом. Линейная скорость v движущегося тела относительно центрального  определяется   интегралом   энергии:     

         (5)

где μ=G(Μ+m), а — большая полуось орбиты тела меньшей массы, r — радиус-вектор того же тела, G — гравитационная постоянная.

Если  масса т движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой Μ  центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда μ = GΜ.

Согласно  интегралу энергии, чтобы тело меньшей  массы обращалось вокруг центрального тела по круговой орбите (эксцентриситет е=0) радиусом r=а, оно должно на этом расстоянии иметь скорость    

         (6)

называемую  круговой скоростью. Как средняя  скорость движения тела она может  быть также подсчитана по периоду обращения Τ и большой полуоси а орбиты тела:   

         (7)

Если  движущееся тело на расстоянии r от центрального тела имеет скорость    

         (8)

то  орбитой будет парабола (е=1, а=∞). Поэтому скорость vп называется параболической. Если v>vп, то движущееся тело пройдет мимо центрального тела по гиперболе (e>1). В каждой точке орбиты с радиус-вектором r скорость тела   

         (9) 

Точка эллиптической  орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него — апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:

Центральное тело	Греческое название	Наименование перицентра	Наименование апоцентра
Солнце	Гелиос	перигелий	афелий
Земля	Гея	перигей	апогей
Венера	Геспер	перигесперий	апогесперий
Марс	Арес	периарий	апоарий
Сатурн	Кронос	перикроний	апокроний
Луна	Селена	периселений	апоселений

В перицентре, при r = q = а(1—е), тело-спутник обладает наибольшей скоростью   

         (10)

а в  апоцентре, при r = Q = a (1 + e), — наименьшей   скоростью    

         (11)

В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии r, выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость   

         (12)

Если  расстояния r заданы в километрах, а  масса центрального тела выражена в  массах Земли, то круговая скорость    

         (13)

Наконец, при измерении масс в массах Земли и расстояний в радиусах Земли круговая скорость   

         (14)

Средняя или круговая скорость v_a тела, обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью а, также вычисляется по формулам (12), (13) и (14) подстановкой в них r=а.

Подстановка в формулы (13) и (14) r = R (радиус небесного  тела) дает значение круговой скорости w_к у поверхности этого тела, называемой в космонавтике первой космической скоростью. Вторая космическая скорость Wп—Wк√2. Очевидно, что   

         (15)

где r отсчитывается  от центра небесного тела и выражается в его радиусах.

Третий  обобщенный закон Кеплера  

           (16)

применим  к любым системам тел с массами m₁ и m₂, обращающихся с периодами Т₁ и Т₂ вокруг своих центральных тел (с массами M₁ и М₂) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны а₁ и а₂.

Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже – в  массах Солнца, в тоннах и килограммах), большие полуоси орбит – в астрономических единицах или в километрах, а периоды обращения – в годах и сутках, а иногда – в часах и минутах.

При вычислениях  по формуле (71) выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величины были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде   

           (15)

то  решение задач проводится обязательно в определенной системе единиц, так как в разных системах численное значение гравитационной постоянной различно.

Если  периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния — в километрах и массы тел — в массах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид

Т² (М+m) = 132,7 · 10^-16а³.                (16) 

Уравнения, описывающие  движение трех тел, связанных гравитационным взаимодействием, внешне столь же просты, как и для двух тел. Ускорение каждого тела обусловлено гравитационным полем остальных двух тел. Однако, за исключением одного специального случая,  движение этих тел является сложным. На протяжении двух столетий после выхода в свет ньютоновских «Начал» математики пытались найти точное решение уравнений, описывающих данную задачу. В процессе этого были разработаны мощные математические методы, которые впоследствии нашли широкое применение в небесной механике и квантовой теории, но решить задачу трех тел так и не удалось. И только в конце XIX в. X. Брунс и А. Пуанкаре доказали, что решение - в том виде, в каком его искали ранее, - вообще не существует.

Решение задачи трех тел было найдено французским  математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736-1813). Пример рассмотренного Лагранжем вращающегося равностороннего треугольника реально существует в Солнечной системе: Солнце, Юпитер и группа малых планет (астероидов), называемых Троянцами, лежат в вершинах вращающегося равностороннего треугольника.

Невозможность точного решения задачи трех тел (за исключением одного частного случая) поставила астрономов перед альтернативой: использовать точные численные методы для решения уравнений движения или довольствоваться приближенными методами. Как правило, эти подходы взаимно дополняют друг друга. Используя мощные компьютеры, можно предсказать движение трех взаимодействующих тел на достаточно долгий срок. Подобного рода расчеты, однако, не дают возможности исследовать характер движения: они описывают его, что является необходимым первым шагом, но еще не позволяют понять.

Английский  физик-теоретик Поль Дирак как-то заметил, что приближенные методы лучше всего  работают, когда исследуемое движение можно разложить на две части, одна из которых «простая», а другая - «малая». Рассмотрим тройную систему, состоящую из Солнца, Земли и Луны. Простая часть движения включает несколько различных компонентов: движение Земли вокруг Солнца, движение Луны вокруг Земли (описанные еще Кеплером) и вращение Земли вокруг своей оси, направление которой остается неизменным. Малая часть движения учитывает следующие явления.

• Уровень земных морей и океанов, а также атмосфера поднимаются и опускаются с периодом, равным половине лунных суток.
• Лунный месяц примерно на час длиннее, чем это предсказывает формула.
• Точки, в которых орбита Луны пересекает плоскость земной орбиты (узлы лунной орбиты), движутся назад вдоль орбиты с периодом 18,6 лет.
• Большая ось лунной орбиты вращается в прямом направлении (т. е. в направлении орбитального движения Луны) с периодом, немного меньшим 9 лет.
• Направление оси вращения Земли не является абсолютно неизменным: ось прецессирует относительно перпендикуляра к плоскости земной  орбиты в направлении, обратном вращению Земли, с периодом 26 тыс. лет.

Все эти  эффекты малы. Каждый из них обусловлен так называемым дифференциальным, или приливным, гравитационным притяжением. Мы уже видели, что с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с центром масс, это притяжение компенсируется ускорением центра масс Земли, обусловленным совместным действием притяжения Солнца и Луны. Свободно падающий наблюдатель или космонавт, находящийся в кабине невращающегося вокруг своей оси космического корабля с выключенным двигателем, не ощущает гравитационного ускорения. Однако компенсация бывает полной лишь в точке центра масс. Во всех остальных точках имеется остаточное ускорение, которое и обусловливает приливы в океане и атмосфере Земли, добавляет час к лунному месяцу, приводит к вращению большой оси лунной орбиты в прямом направлении, а линии узлов - в обратном, заставляет земную ось описывать каждые 26 тыс. лет слегка колеблющийся конус. Это остаточное ускорение мешает слиться воедино бесчисленным крохотным частицам, образующим кольца Сатурна, Юпитера и Урана.

Именно  объяснение этих разнообразных явлений  наиболее впечатляюще демонстрирует широту применимости и мощь теории тяготения Ньютона. Законы Кеплера дают избыточно определенное, но не слишком точное описание движения Луны и планет. Теория Ньютона не только позволяет вывести эти законы в несколько более общей форме из простого математического соотношения, определяющего гравитационное ускорение, но и показывает, что на основе того же простого соотношения можно объяснить как с качественной, так и с количественной точки зрения множество других явлений, казалось бы, не связанных между собой.

4. Закон всемирного тяготения  и сила притяжения к Земле

Частным, но крайне важным для нас видом  силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле. Эту  силу называют силой тяжести. Согласно закону всемирного тяготения, она выражается формулой

                                                       (17)

где т  – масса тела, М – масса  Земли, R – радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли. Сила тяжести  направлена вертикально вниз, к центру Земли.

где т – масса тела, М – масса Земли, R – радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли. Сила тяжести направлена вертикально вниз, к центру Земли.

Более точно, помимо этой силы, в системе отсчета, связанной с Землей, на тело действует центробежная сила инерции , которая возникает из-за суточного вращения Земли, и равна

,  (18)

где m – масса тела; r – расстояние между телом и земной осью. Если высота тела над поверхностью Земли мала по сравнению с ее радиусом, то

,  (19)

 где R – радиус Земли, φ – географическая широта, на которой находится тело (см. рисунок ниже). С учетом этого:

.  (20)

 

Силой тяжести называется сила, действующая  на любое находящееся вблизи земной поверхности тело. Она определяется как геометрическая сумма действующей  на тело силы гравитационного притяжения к Земле  и центробежной силы инерции , учитывающей эффект суточного вращения Земли вокруг собственной оси, т. е.  Направление силы тяжести является направлением вертикали в данном пункте земной поверхности.

Но  величина центробежной силы инерции  очень мала по сравнению с силой притяжения Земли (их отношение составляет примерно 3∙10^–3), то обычно силой пренебрегают. Тогда .

Сила  тяжести сообщает телу ускорение, называемое ускорением свободного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона

 (21)

С учетом выражения  для модуля ускорения  свободного падения будем иметь

           (22)