Внутренняя норма доходности

 

Внутренняя норма доходности.

 

Под внутренней нормой прибыли (доходности) инвестиционного проекта (internal rate of return, IRR) понимают значение коэффициента дисконтирования г, при котором чистая приведенная стоимость проекта NPV проекта равна нулю. Другими словами, внутренняя норма доходности проекта - корень уравнения:

NPV(r) = NPV(IRR) = 0.

Данное уравнение является трансцендентным и в явном виде решено быть не может (кроме случая, когда проект является, например, однолетним, т.е. сумма денежных потоков по годам вырождается в единственное слагаемое).

Наиболее наглядное представление о сути критерия IRR (и одновременно является одним из способов решения задачи) дает графический метод. Рассмотрим некоторые очевидные свойства функции NPV (г).

При г = 0 выражение в правой части формулы (8.1) преобразуется в сумму компонентов исходного (недисконтированного) денежного потока, включая величину инвестиций, при этом величина чистой текущей стоимости принимает максимальное значение.

Для инвестиционного проекта, денежный поток которого можно назвать классическим (в том смысле, что отток (вложение капитала) сменяется притоками, в сумме превосходящими этот отток), соответствующая функция NPV (г) является убывающей, т.е. с ростом г график функции стремится к оси абсцисс и пересекает ее в некоторой точке, как раз и являющейся IRR (рис. 8.2).

NPV(r) |

NFVmax

Рис. 8.2. График зависимости NPV типичного классического инвестиционного проекта от величины ставки дисконтирования г. Иллюстрация процедуры нахождения внутренней нормы доходности проекта IRR

Следует указать на кочующую из учебника в учебник очевидную ошибку, заключающуюся в том, что из свойства нелинейности функции NPV (г) делается заключение о том, что критерий IRR не обладает свойством аддитивности.

Нетрудно видеть, что и при гипотетически линейном характере функции/ (г) корни уравнений/,(г) = 0,f2(r) = 0,... неаддитивны. Неаддитивность критерия IRR никак не связана с характером функцией NPV(r).

Предприятие организует финансирование своей деятельности, в том числе инвестиционной, из различных источников. Плата за пользование финансовыми ресурсами включает: за заемные средства - проценты по кредиту, за привлеченный акционерный капитал - дивиденды акционерам, вознаграждения и т.п. Показатель, характеризующий относительный уровень этих расходов, называется средневзвешенной ценой капитала (weighted average cost of capital, WACC). Он отражает минимальную требуемую рентабельность капитала предприятия и рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной величины:

WACC = rWACC = rs х ws + гр х wp + rD х wD x(1 - tc). (8.12)

Здесь rs - стоимость собственного капитала, стоимость привлечения акционерного капитала (обыкновенные акции); ws - доля обыкновенных акций в структуре капитала предприятия; гР - стоимость привлеченного капитала, стоимость привлечения акционерного капитала (привилегированные акции); ws - доля привилегированных акций в структуре капитала предприятия; rD- стоимость заемного капитала, стоимость привлечения кредитов; wD - доля заемного капитала в структуре капитала предприятия; tc - ставка налога на прибыль предприятия.

Или, с другой стороны, последнюю формулу можно записать в виде:

Q

WACC = rWACC=^rqxwq,

где rq- цена q-vo источника средств; wq- удельный вес g-го источника средств в общем их объеме; Q - число источников средств.

Экономический смысл использования критерия внутренней нормы доходности IRR заключается в следующем: IRR показывает максимально допустимый относительный уровень расходов по проекту.

В то же время предприятие может реализовывать любые инвестиционные проекты, уровень рентабельности которых не ниже текущего значения показателя цены капитала (cost of capital, СС). Под последним понимается WACC либо цена целевого источника, если таковой имеется. Именно с показателем СС сравнивается критерий IRR, рассчитанный для конкретного проекта. При этом если: IRR > СС, то проект следует принять; IRR < СС, то проект следует отвергнуть, поскольку цена капитала слишком велика для такого инвестиционного процесса; IRR = СС, то проект не является ни прибыльным, ни убыточным. При прочих равных условиях большее значение IRR считается предпочтительным.

По определению внутренняя норма доходности проекта есть решение трансцендентного уравнения. Такое уравнение аналитически решено быть не может, и для его решения требуются численные методы. Однако для случая, когда в уравнении не слишком много членов, его можно решить методом подбора - применить метод последовательных итераций. Для этого два произвольных значения коэффициента дисконтирования Г/ < г2 должны быть подобраны таким образом, чтобы соответствующие значения функций NPV (г}) и NPV (г2) имели разный знак, например: NPV(rt) > О, a NPV(r2)< 0. Тогда справедлива приближенная формула:

IRR = r,+-NPV(ri)--(г2-г,). (8.13)

1 NPV(ri)-NPV(r2)

Точность итераций обратно пропорциональна ширине интервала (г;, г2). Если точность вычислений недостаточна, их повторяют с новыми более близкими значениями коэффициента дисконтирования.

Пример 8.3. Рассчитаем величину внутренней нормы доходности инвестиционного проекта, структура денежных потоков которого представлена в табл. 8.3, предполагая единовременные вложения (инвестиции) и поступление доходов в конце каждого года. Поскольку данный показатель относительный и не зависит от единицы измерения денежного потока, денежный поток измерен в условных безразмерных единицах.

Таблица 8.3 Годы О 1 2 3 4 5 Денежный поток -8,0 2,0 0,5 2,5 4,0 1,5 Поскольку в данном случае сумма недисконтированных компонентов денежного потока незначительно превышает модуль величины инвестиций (соответственно 10,5 и 8,0), то величина IRR будет незначительной.

Предположим, что IRR лежит в диапазоне (5,10%). Тогда, рассчитав величину JVPV (5%):

1,05 1,052 1,053 1,054 1,055 а затем величину NPV (10%):

2 05 25 40 15 NP V{\0%) = -8 + —+Щ + Ц + +-Ц- = -0,22, V 1,1 1,12 1Д3 1,14 1,15

рассчитаем величину критерия IRR:

1 02

IRR = 0,05+-—-х 0,05 = 0,09 = 9%.

(1,02 + 0,22)

Для повышения точности расчета внутренней нормы доходности можно задать более узкий диапазон возможных значений этого показателя (например, 8,5-9,5%) и провести вычисления по следующей итерации.

При этом следует помнить, что соответствующие значения величин NPV должны иметь разные знаки и при одинаковых знаках изменить границы диапазона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формирование бюджета капитала.

Большинство компаний обычно имеет дело не с отдельными проектами, а с портфелем возможных инвестиций. Отбор и реализация проектов из этого портфеля осуществляются в рамках составления бюджета капиталовложений. Каким же образом этот бюджет формируется на практике? На первый взгляд особых проблем здесь нет - теоретически можно включать в бюджет все проекты, удовлетворяющие критерию или совокупности критериев, принятых в данной компании.

На самом деле задача гораздо сложнее; в частности, при разработке бюджета необходимо учитывать ряд исходных предпосылок, в том числе следующего характера:

а) проекты могут быть как независимыми, так и альтернативными;

б) включение очередного проекта в бюджет капиталовложений предполагает нахождение источника его финансирования;

в) цена капитала, используемая для оценки проектов на предмет их включения в бюджет, не обязательно одинакова для всех проектов, в частности, она может меняться в зависимости от степени риска, ассоциируемого с тем или иным проектом;

г) с ростом объема предполагаемых капиталовложений цена капитала меняется в сторону увеличения, поэтому число проектов, принимаемых к финансированию, не может быть бесконечно большим;

д) существует ряд ограничений по ресурсному и временному параметрам, которые необходимо учитывать при разработке бюджета.

Некоторые из упомянутых предпосылок достаточно легко формулируются, однако учесть их в процессе бюджетирования порой весьма сложно. Например, это относится к учету влияния отношений комплиментарности и замещения, возможного досрочного прекращения того или иного проекта, пространственной и временной вариации риска и др. Поэтому нередко прибегают к определенному упрощению ситуации, например, к использованию единого коэффициента дисконтирования, в качестве которого чаще всего используют средневзвешенную цену капитала, отнесению проектов к одинаковому классу риска, игнорированию влияния различной продолжительности проектов и т.п.

На практике используют два основных подхода к формированию бюджета капиталовложений: первый основан на применении критерия IRR, второй - критерия NРV.

Логика первого подхода такова. Все доступные проекты упорядочиваются по убыванию IRR. Далее проводится их последовательный просмотр: очередной проект, IRR которого превосходит цену капитала, отбирается для реализации. Включение проекта в портфель с неизбежностью требует привлечения новых источников. Поскольку возможности компании по мобилизации собственных средств ограничены, наращивание портфеля приводит к необходимости привлечения внешних источников финансирования, т.е. к изменению структуры источников в сторону повышения доли заемного капитала. Возрастание финансового риска компании в свою очередь приводит к увеличению цены капитала. Таким образом, налицо две противоположные тенденции: по мере расширения портфеля инвестиций, планируемых к исполнению, IRR проектов убывает, а цена капитала возрастает. Очевидно, что если число проектов-кандидатов на включение в портфель велико, то наступит момент, когда IRR очередного проекта будет меньше цены капитала, т.е. его включение в портфель становится нецелесообразным.

Для наглядности можно воспользоваться графическим методом. Строятся два графика: инвестиционных возможностей и предельной цены капитала компании, с помощью которых и производится отбор проектов для реализации. График инвестиционных возможностей (IOS) представляет собой графическое изображение анализируемых проектов, расположенных в порядке снижения внутренней нормы прибыли, IRR. График предельной цены капитала (МСС) - это графическое изображение средневзвешенной цены капитала как функции объема привлекаемых финансовых ресурсов. Первый график является убывающим, второй - возрастающим (рис 7.2).

Рис. 7.2. Формирование бюджета капиталовложений с помощью графиков МСС и IOS 

 

На рис. 7.2 приведено графическое изображение процесса формирования бюджета капиталовложений с помощью графиков МСС и IOS. Компания рассматривает возможность включения в портфель пяти независимых проектов. Для простоты предполагается, что все проекты принадлежат к одному, среднему для данной компании, классу риска и потому в качестве цены источника изначально выбрана средневзвешенная цена капитала, WАСС. Компания имеет возможность привлекать средства в требуемом объеме, иными словами, ограничений на объем капиталовложений не накладывается.

Как видно из рисунка, первые два проекта компания может профинансировать за счет собственных средств, однако в дальнейшем ей придется прибегнуть к внешним источникам финансирования. Поскольку степень финансовой зависимости компании уже достаточно высока, привлечение новых источников будет сопровождаться возрастанием цены капитала. Например, банк может предоставить кредит в 20 млн. руб. на условиях, которые приведут к увеличению WАСС с 10% до 12%; если компании понадобятся сверх того дополнительные кредиты, то ставка увеличится еще больше. Таким образом, если суммарная потребность в капиталовложениях превысит 60 млн. руб., цена капитала возрастет до 16%. В этих условиях проекты D и Е становятся неприемлемыми, а бюджет капиталовложений может быть ограничен 50 млн. руб., которые достаточны для финансирования проектов А, В и С.

Точка пересечения графиков IOS и МСС весьма примечательна: она показывает предельную цену капитала, которую в принципе можно использовать в качестве коэффициента дисконтирования для расчета NРV при комплектовании инвестиционного портфеля, т. е. значение этого показателя используется в качестве оценки минимально допустимой доходности по инвестициям в проекты средней степени риска. Смысл данного утверждения состоит в следующем. Если рассматривать каждый проект изолированно, то в анализе можно ориентироваться на индивидуальные значения цены источника; однако, если речь идет о портфеле как едином целом, более разумным является использование предельной цены капитала. Таким образом, только после укомплектования портфеля на основе критерия IRR с одновременным исчислением предельной цены капитала становится возможным рассчитать суммарный NРV, генерируемый данным портфелем. В этом, кстати, проявляется определенное преимущество рассматриваемого метода составления бюджета, поскольку изначально значение коэффициента дисконтирования для комплектуемого портфеля не известно, т.е. не вполне оправдан расчет NРV отдельных проектов.

Поиск точек разрыва - достаточно тонкая операция, поэтому рассмотренная методика нередко упрощается. Например, может использоваться либо неизменное значение WАСС, либо к нему может вводиться поправка на риск проекта (подразделения); эта поправка, задаваемая в виде множителя, либо увеличивает, либо уменьшает значение WАСС. Тем не менее методика совместного анализа IOS и МСС несомненно полезна, по крайней мере, для понимания логики процессов, происходящих в компании в связи с принятием и реализацией солидных инвестиционных программ.

Второй подход к формированию бюджета капиталовложений основывается на критерии NPV. Если никаких ограничений нет, то в наиболее общем виде методика бюджетирования при этом включает следующие процедуры: устанавливается значение коэффициента дисконтирования либо общее для всех проектов, либо индивидуализированное по проектам в зависимости от источников финансирования; все независимые проекты с NPV > О включаются в портфель; из альтернативных проектов выбирается проект с максимальным NPV. Если имеются ограничения временного или ресурсного характера, методика усложняется, и возникает проблема оптимизации бюджета капиталовложений.

 

 

 

 

Задачи.

1.24.

Рассмотрим вариант обновления оборудования, где в притоках на нулевом шаге значится продажа старого оборудования, а на 3 шаге продажа приобретаемого станка.

	0	1	2	3
оттоки	145
притоки	25	55	55	125
сальдо	-120	55	55	125
коэффициент дисконтирования	1	0,89	0,80	0,71
дисконтированное сальдо	-120	49,11	43,85	88,97
дисконтированное сальдо накопленным потоком	-120	-70,89	-27,05	61,93