Контрольная работа по «Методы оптимальных решений»

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методы оптимальных решений»

Вариант № 3

 

Выполнил:

Студент

Кошелева Валентина Николаевна

Факультет Учётно-статистический

                             Курс 2

Зачетная книжка № 11ФЛБ00843

Преподаватель:

Зелепухина Елена Николаевна

 

 

 

 

 

 

 

Новороссийск 2013

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение:

Составим экономико – математическую модель.

Вид удобрения	Необходимый минимум для одного газона	Число кг.в одном наборе
		Обычный	Улучшенный
Азотные	10	3	2
Фосфорные	20	4	6
Калийные	7	1	3

 

Сформулируем прямую оптимизационную задачу.

Пусть х1 – количество обычных наборов удобрений;

           х2 – количество улучшенных наборов удобрений.

Содержание в двух данных наборах азотных удобрений: 3х1 + 2х2

А для некоторого газона требуется по крайней мере 10 кг азотных удобрений, следовательно:

3х1 + 2х2 ≥ 10

Содержание в двух данных наборах фосфорных удобрений должно быть не менее 20 кг, т.е.:

4х1 + 6х2 ≥ 20

И содержание в двух данных наборах калийных удобрений должно быть не менее 7 кг, т.е.:

1х1 + 3х2 ≥ 7

Стоимость необходимых наборов удобрений составит:

3х1 + 4х2.

Таким образом, получим следующую экономико-математическую модель задачи:

min¦(х) = 3х1 + 4х2

3х1 + 2х2 ≥ 10

4х1 + 6х2 ≥ 20

х1 + 3х2 ≥ 7

х1³ 0, х2³ 0

Построим область решений системы ограничений. Для этого рассмотрим равенства и построим их графики – прямые.

(1) 3х1 + 2х2 ≥ 10

      3х1 + 2х2 = 10

х1	х2
0	5
4	-1

 

Для нахождения полуплоскости, соответствующей данному неравенству, берем любую точку, не лежащую награничной прямой, и подставляем ее координаты в неравенство.

Возьмем точку О(0;0):

3*0 + 2*0 ≥ 10

0 ≥ 10

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует та полуплоскость, которая не содержит точку (0;0).

(2) 4х1 + 6х2 ≥ 20

4х1 + 6х2 = 20

 

 

х1	х2
-1	4
5	0

 

4*0 + 6*0 ³ 20

0 ³ 20

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

(3) х1 + 3х2 ≥ 7

х1 + 3х2 = 7

х1	х2
-2	3
7	0

 

1*0 + 3*0 ³ 7

0 ³ 7

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

(4) х1³ 0

     х1 = 0 – ось ОХ2.

(5) х2³ 0

     х2 = 0 – ось ОХ1.

Следовательно, область решений системы ограничений находится только в первой четверти декартовой системы координат.

Рис.1. Графическое решение ЗЛП

 

Находим общую часть всех построенных полуплоскостей. Это выпуклая область с четырьмя угловыми точками А, В, С и Д.

Для нахождения оптимального решения задачи изобразим графически функцию цели:

¦(х) = d1x1 + d2x2

¦(х) = 3х1 + 4х2

Для этого строим вектор d, начало которого в точке (0;0), а конец в точке (d1;d2).

d = (3; 4).

И строим одну из линий уровня функции цели (это линия, на которой функция цели принимает постоянное значение).

¦(х) = d1x1 + d2x2 = а;    а – const.

Пусть а = 0, тогда ¦(х) = 3х1 + 4х2 = 0

х1	у
0	0
4	-3

 

Для определения минимума данной функции, передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору d, и видим, что она последний раз соприкасается с областью решений в точке В, где и будет достигнут min¦(х).

Определим координаты точки В:

3х1 + 2х2 = 10   *(-3)

4х1 + 6х2 = 20

-9х1 – 6х2 = -30 

4х1 + 6х2 = 20

Складываем почленно уравнения и получаем:

-5х1 = -10

х1= 2

В(2; 2)

max¦(х) = 3*2 + 4*2 = 14 (ден. ед.)

Таким образом, чтобы минимизировать стоимость удобрений, нужно купить 2 обычных набора удобрений и 2 улучшенных набора удобрений. При этом минимальные затраты на покупку удобрений составят 14 денежных единиц.

Построенная область допустимых решений не ограничена сверху, следовательно, если решать задачу на максимум, то решений не найдем.

Задача 2

На сортировочную станцию прибывают составы с интенсивностью 0,4 состава в час. Среднее время обслуживания одного состава 0,6 часа. Определить показатели эффективности работы сортировочной станции: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе.

 

 

Решение:

1. Сортировочная станция  – одноканальная система массового  обслуживания с неограниченным  ожиданием (т.е. с очередью). Поэтому параметры системы: число каналов n=1, число мест в очереди m=.

2. Известно: интенсивность входящего потока λ = 0,4 состава в час, среднее время обслуживания одной заявки об = 0,6 ч.

Необходимонайти: интенсивность потока обслуживаний μ; интенсивность нагрузки системы (трафик) ρ; среднее число составов, ожидающих обслуживания (в очереди) Nоч; вероятность того, что станция свободна ρ0; вероятность того, что станция занята ρзан; среднее число составов на сортировочной станции Nсис; среднее время пребывания состава в очереди (в ожидании сортировки) оч; среднее время пребывания состава в системе     сист.

3. 1) об = , соответственно μ = .

μ = = 1,667;

2) ρ = = λ * об

ρ = = 0,24 или ρ = 0,4*0,6=0,24;

3) Nоч =

Nоч = = 0,076;

Так как ρ<1, то очередь составов на сортировку не может бесконечно возрастать, поэтому предельные вероятности не существуют.

4) Если ρк (1- ρ); где = 0,1,2..., то ρ0 = 1- ρ

ρ0= 1- 0,24=0,76;

5) ρзан = 1- ρ0

ρзан =1-0,76=0,24;

6) Nсис = Nоч + Nоб = ; где Nоб = ρ

Nсис = 0,076+ 0,24 = 0,316 или Nсис = = 0,316;

7) оч = = =

(І) оч = = 0,19

(ІІ) оч = = = 0,19

(ІІІ) оч = = = 0,19;

8) сист =  оч + об = * Nсис= =

(І) сист = 0,19 + 0,6 = 0,79

(ІІ) сист = * 0,316 = 2,5*0,316 = 0,79

(ІІІ) сист = = = 0,79

(ІV) сист = = = 0,79.

4. Вывод: очевидно, что скорость обслуживания составов на сортировочной станции высокая, так как время на ожидание обслуживания (0,19 ч) не превышает время на обслуживание (0,6 ч). Для повышения эффективности работы сортировочной горки необходимо уменьшить время обслуживания одного состава или увеличить число сортировочных станций.

Задача 3

Производится экспертная оценка по методу Дельфи. Результат четвертого тура оценки экономического параметра 12 экспертами представлены.

эксперт	1	2	3	4	5	6	7	8	9		10		11	12
оценка	19,1	20,4	21,5	20,9	18,9	16,5	18,9	20,5		22,3	21,8	19,4		20,7

 

Решение:

Расположив результаты оценок в порядке возрастания, получим ряд

16,5

18,9

18,9

19,1

19,4

20,4

20,5

20,7

20,9

21,5

21,8

22,3

Между первым и последним значением ряда 11 интервалов. На один квартиль, следовательно, приходится = 2,75 интервала, на два и три квартиля 5,5 и 8,25 интервалов соответственно. Для нахождения первого квартиля Q1 смещаемся от первого ряда на 2 интервала и получаем значение 18,9. К этому значению надо добавить число, равное произведению 0,75 на разность (19,1-18,9). Таким образом,

Q1 = 18,9 + 0,75 (19,1-18,9) = 19,05

Q2 = 19,4 + 0,5 (20,4-19,4) = 19,9

Q3 = 20,5 + 0,25 (20,7-20,5) = 20,55

Задача 4

Имеются m = 7 факторов, влияющих на  риск капиталовложений. Оценка относительной важности каждого фактора j (j = 1,2,…, m) по его влиянию на риск проранжированнаn=5 экспертами (i = 1, 2, …, n). Результаты экспертных оценок приведены ниже в виде матрицы взаимосвязей.

эксперты	факторы
	1	2	3	4	5	6	7
1	2	3	2	4	7	3	5
2	1	3	1	6	3	5	4
3	5	5	2	4	2	5	3
4	4	2	6	6	4	7	2
5	1	1	4	4	5	7	3

 

Определить:

1) степень согласия всей группы экспертов;

2) степень согласия двух первых экспертов.

 

Решение:

1) Определим степень согласия  всех экспертов. Для этого рассчитаем коэффициент конкордации.

Расчеты проведем в таблице.

эксперты	факторы
	1	2		3	4		5	6		7
1	2	3		2	4		7	3		5
2	1	3		1	6		3	5		4
3	5	5		2	4		2	5		3
4	4	2		6	6		4	7		2
5	1	1		4	4		5	7		3
rj	13		14	15		24	21		27	17
dj = rj-20	-7		-6	-5		4	1		7	-3
d2	49		36	25		16	1		49	9