Теория автоматического управления

1   Правила упрОщения схем

Рассмотрим  эти типовые соединения звеньев  при известности их передаточных функций.

1. Последовательное соединение звеньев;

Найдем передаточную функцию W(p) звена «Рисунок 1.1,б»,  эквивалентного последовательному соединению звеньев «Рисунок 1.1,а».

 

Рисунок 1.1 – Алгоритмические схемы последовательного соединения звеньев (а) и эквивалентного ему звена (б)

Искомая передаточная функция эквивалентного звена:

2. Параллельное соединение звеньев;

Найдем передаточную функцию W(p) звена «Рисунок 1.2,б»,  эквивалентного параллельному соединению звеньев «Рисунок 1.2,а».

Рисунок 1.2 – Алгоритмические схемы параллельного соединения звеньев (а) и эквивалентного ему звена (б)

Искомая передаточная функция  эквивалентного звена:

3. Встречно-параллельное соединение звеньев;

Найдем передаточную функцию W(p) звена «Рисунок 1.3,б»,  эквивалентного встречно - параллельному соединению звеньев «Рисунок 1.3,а».

Рисунок 1.3 – Алгоритмические схемы встречно-параллельного соединения звеньев (а) и эквивалентного ему звена (б)

При положительной обратной связи передаточная функция эквивалентного звена:

При отрицательной обратной связи передаточная функция эквивалентного звена:

С помощью  рассмотренных правил удается преобразовать (упростить) к простейшему виду любую алгоритмическую схему, не содержащую перекрестных связей между звеньями. Если же схема многоконтурная и содержит перекрестные связи, то эти правила можно применять лишь после устранения  этих перекрестных связей. Для устранения перекрестных связей следует использовать ряд вспомогательных правил преобразований алгоритмических схем, которые приведены в «Таблица 1.1»:

Таблица (1.1) - Вспомогательных правил преобразований алгоритмических схем

Операция	Исходная схема	Преобразованная схема
Перестановка узлов разветвления
Перестановка сумматоров
Перенос узла разветвления через звено вперед
Перенос узла разветвления через звено назад
Перенос сумматора через звено  вперед
Перенос сумматора через звено

1.1 Методики расчета

В ТАУ  разработан ряд правил, с помощью  которых можно судить о знаках действительных частей корней, не решая  характеристическое уравнение и  не находя числовые значения самих  корней. Эти правила получили название критериев устойчивости.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраические  критерии устанавливают необходимые  и достаточные условия отрицательности  вещественных частей корней в форме  ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического  уравнения системы.

Частотные критерии определяют связь между  устойчивостью системы и формой ее частотных характеристик.

Наибольшее  распространение в инженерной практике нашли алгебраические критерии Гурвица  и Рауса.

1. Критерий Гурвица

Критерий  был сформулирован и доказан  в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Применительно к задачам ТАУ критерий Гурвица  можно сформулировать так:

• автоматическая система управления, описываемая характеристическим уравнением:

 

устойчива, если при a₀ > 0 положительны все определители D₁, D₂,…, D_n  вида

i = 1, 2, 3, … , n.                                                                             

Если  хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Определители  Гурвица составляют следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического  уравнения от a₁ до a_i ( в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место с коэффициентами с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули. При этом каждый i–й определитель получается    размером i ´ i.

Так как  последний столбец определителя  D_n содержит всегда только один элемент a_n , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким. Для анализа устойчивости систем выше четвертого порядка целесообразно применять критерий Рауса.

2. Критерий Рауса;

Применительно к задачам ТАУ критерий Рауса  можно сформулировать так:

Описывается характеристическим уравнением:

Составляется  таблица коэффициентов Рауса  размерностью n×n элементов («Таблица 1.1.1»):

 

Таблица (1.1.1) - таблица коэффициентов Рауса размерностью n×n

	1	2	3	4
1	a0	a2	a4	a6
2	a1	a3	a5	a7
3	C13	C23	C33	C43
4	C14	C24	C34	C44

Перечень необходимых формул:

1. C13  = (a1*a2 – a0*a3) / a1;
2. C23  = (a1*a4 – a0*a5) / a1;
3. C33  = (a1*a6 – a0*a7) / a1;
4. C14  = (C13 *a3 – a1* C13) / C13;
5. C24 = (C13 *a5 – a1* C33) / C13;
6. C34 = (C13 *a7 – a1* C43) / C13;

Система будет устойчива, если a0 > 0 и все остальные элементы первого столбца будут положительны.

3. Критерий Михайлова;

Критерий  устойчивости Михайлова предназначен для оценки устойчивости системы  по его характеристическому уравнению. Устойчивая система содержит только левые корни. Порядок расчета устойчивости по критерию Михайлова:

1. Записывается характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

2. Производится замена и выделяются вещественная и мнимая слагаемые («Рисунок 2.1»).

Рисунок 1.1.1 – Годографы Михайлова для  систем: а – устойчивых, б – неустойчивых

3. В осях координат , при изменении от до строят характеристический частотный вектор (годограф Михайлова).
4. По виду годографа Михайлова судят об устойчивости системы. Устойчивые годографы проходят поочередно квадрантов. На границе устойчивости системы годограф проходит через начало координат.

Системе, находящейся на границе устойчивости, соответствует годограф, проходящий через начало координат комплексной  плоскости (кривая 3).

4. Критерий Найквиста;

Этот  критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой  частотной характеристике (а.ф.х.) разомкнутой системы. Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку . На Рисунке 1.1.2, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой системе, то ее а.ф.х. сожмется к началу координат, в результате чего система станет устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика устойчивой системы в конце концов охватит точку и система потеряет устойчивость.

Рисунок 1.1.2 – Амплитудно-фазовые и логарифмические частотные характеристики устойчивых и неустойчивых САУ

Данная выше формулировка критерия Найквиста относится к  системам, которые являются устойчивыми  в разомкнутом состоянии. В случае одноконтурной системы устойчивость в разомкнутом состоянии всегда обеспечивается, если система состоит только из устойчивых звеньев. При наличии местных обратных связей должна быть еще проверена устойчивость образованных этими связями контуров. Для этого, в свою очередь, может быть применен критерий Найквиста или любой другой.

Для систем, неустойчивых в  разомкнутом состоянии, критерий Найквиста  имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии а.ф.х. разомкнутой системы должна охватывать точку . При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки сверху вниз должно быть на больше числа пересечений в обратном направлении, где – число полюсов передаточной функции разомкнутой системы с положительной действительной частью.

В соответствии с критерием  Найквиста об устойчивости можно  судить не только по а.ф.х., но и совместно  по амплитудно-частотной и фазово-частотной  характеристикам разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом  состоянии, условием устойчивости ее в  замкнутом состоянии является не охват а.ф.х. точки . Последнее имеет место, если при частоте, на которой , фаза , т.е. абсолютное значение фазы меньше .

Сказанное непосредственно следует из «Рисунок 1.1.3,а и б». Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению соответствует , критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что л.а.ч.х. должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза окончательно перейдет за значение . Или иными словами, на частоте среза величина фазы должна быть меньше  . Изложенное иллюстрируется «Рисунок 1.1.3,б». Здесь изображены л.а.ч.х. и четыре варианта л.ф.х. . В случае л.ф.х. 1 и 4 замкнутая система устойчива. Л.ф.х. 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, а л.ф.х. 3 – неустойчивой замкнутой системе. Для астатических систем и систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к л.а.ч.х. и л.ф.х. в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к а.ф.х.. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной л.а.ч.х. число пересечений л.ф.х. уровня снизу вверх должно быть на раз больше числа пересечений в обратном направлении. При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно.

Необходимо еще оценить  величину запаса устойчивости, т. е. степени  удаленности системы от границы  устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится  очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может  оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения  во времени параметров системы. Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде в логарифмическом масштабе. Эти величины показаны на «Рисунок 1.1.3,б». для системы с л.ф.х., представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по а.ф.х. Запас устойчивости по фазе определяется величиной, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза , чтобы система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема л.а.ч.х., при котором система окажется на границе устойчивости.

Таким образом, запас по амплитуде  представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению. Рекомендуется выбирать запас устойчивости по фазе больше , а запас устойчивости по амплитуде больше 6дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.

Доказательство  критерия Найквиста:

Характеристическое  уравнение замкнутой системы: .  Обозначим корни числителя через , , , ... , а корни знаменателя уравнения через  , , , ... . 

Тогда данное уравнение можно представить  как:

.

При переходе к частотной функции заменой получим:

.

На основании принципа аргумента при изменении от до результирующая фаза будет равна сумме углов поворота всех векторов сомножителей числителя и знаменателя. Для устойчивой замкнутой системы вектор числителя повернется при изменении  от нуля до бесконечности на угол . Если система устойчива в разомкнутом состоянии, то вектор также повернется на угол . Результирующий угол поворота вектора будет равен разности углов поворот векторов и . Тогда получим , т.е. приращение аргумента результирующего вектора равно нулю. С другой стороны, на основании , следует .

Рисунок 1.1.3 - К доказательству критерия Найквиста

Изобразим вектор совместно с вектором согласно уравнению на комплексной плоскости а.ф.х. разомкнутой системы «Рисунок 1.1.3». Для устойчивой системы достаточно, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (только тогда результирующий угол поворота ).