Системы счисления

Контрольная работа №1 

Вариант 7 

1. Переведите в десятичную систему счисления следующие числа:

(10100100.11) ₂, (1667.24) ₈, (A1BD.E4) ₁₆, (375.81) ₉. 

(10100100.11) ₂ = 1·2⁷ + 0·2⁶ + 1·2⁵ +0·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 0·2⁰ + 1·2^-1 + 1·2^-2 =

                 = 128 + 32 + 4 + 0,5 + 0,25 = (164.75) ₁₀ 

(1667.24) ₈ = 1·8³ + 6·8² + 6·8¹ + 7·8⁰ + 2·8^-1 + 4·8^-2 = 512 + 384 + 48 + 7 + 0,25 + 0,0625 =

              = (951.3125) ₁₀ 

(A1BD.E4) ₁₆ = 10·16³ + 1·16² + 11·16¹ + 13·16⁰ + 14·16^-1 + 4·16^-2 =

             = 40960 + 256 + 176 + 13 + + = = (41405.890625) ₁₀ 

(375.81) ₉ = 3·9² + 7·9¹ + 5·9⁰ + 8·9^-1 + 1·9^-2 = 243 + 63 + 5 + + = ≈ (311.9) ₁₀ 

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

а) 946.8;  б) 253.75 

а) Переведём число 946.8 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную (b = 2; 8; 16). Процедуру преобразования делаем отдельно для целой и дробной частей числа:

• последовательно делим целую часть числа и образующиеся при этом частные на b до получения частного, равного 0;
• записываем остатки от операций деления в обратном порядке (первый остаток даёт младшую цифру);
• последовательно умножаем дробную часть числа N и дробные части получающихся при этом произведений на b;
• последовательно записываем целые части произведений (первая из них даёт старшую цифру).

Таблица 1

	Из  десятичной в двоичную	Из  десятичной в восьмеричную	Из  десятичной в шестнадцатеричную
Целая часть	946 ÷ 2 = 473 → 0 473 ÷ 2 = 236 → 1 236 ÷ 2 = 118 → 0 118 ÷ 2 = 59   → 0 59 ÷ 2 = 29   → 1 29 ÷ 2 = 14   → 1 14 ÷ 2 = 7   → 0 7 ÷ 2 = 3   → 1 3 ÷ 2 = 1   → 1	946 ÷ 8 = 118 → 2 118 ÷ 8 = 14   → 6 14 ÷ 8 = 1       → 6	946 ÷ 16 = 59 → 2 59 ÷ 16 = 3 → 11 = B
Дробная часть	0,8 × 2 = 1,6 → 1 0,6 × 2 = 1,2 → 1 0,2 × 2 = 0,4 → 0 0,4 × 2 = 0,8 → 0	0,8 × 8 = 6,4 → 6 0,4 × 8 = 3,2 → 3 0,2 × 8 = 1,6 → 1 0,6 × 8 = 4,8 → 4	0,8 × 16 = 12,8 → 12 = C
	(1110110010.(1100)) 2	(1662.(6314)) 8	(3B2.(C)) 16

б) Таким же способом переведём число 253.75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную (b = 2; 8; 16)

Таблица 2

Из  десятичной в двоичную Из  десятичной в восьмеричную Из  десятичной в шестнадцатеричную Целая часть 253 ÷ 2 = 126 → 1 126 ÷ 2 = 63  → 0 63 ÷ 2 = 31    → 1 31 ÷ 2 = 15     → 1 15 ÷ 2 = 7   → 1 7 ÷ 2 = 3   → 1 3 ÷ 2 = 1   → 1 253 ÷ 8 = 31 → 5 31 ÷ 8 = 3     → 7 253 ÷ 16 = 15 → 13 = D (15 = F) Дробная часть 0,75 × 2 = 1,5 → 1 0,5 × 2 = 1,0   → 1 0,75 × 8 = 6,0 → 6 0,75 × 16 = 12,0 → 12 = C   (11111101.11) 2 (375.6) 8 (FD.C) 16

 

Ответ: а) (946.8) ₁₀ = (1110110010.(1100)) ₂ = (1662.(6314)) ₈ = (3B2.(C)) ₁₆;

            б) (253.75) ₁₀ = (11111101.11) ₂ = (375.6) ₈ = (FD.C) ₁₆. 

3. Запишите двоичные числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления:

а) 10100100.11001; б) 11111110.00111. 

Составим  таблицу для взаимного преобразования двоичных и восьмеричных чисел.

Таблица 3

b = 2	000	001	010	011	100	101	110	111
b = 8 = 23	0	1	2	3	4	5	6	7

Составим таблицу  для взаимного преобразования двоичных и шестнадцатеричных чисел.

Таблица 4

b = 2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
b = 16 = 24	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D

 

а) Переведём двоичное число 10100100.11001 в систему счисления с основанием 8 = 2³. Сгруппируем исходное число влево и вправо от запятой по 3 бита. Используя таблицу 3, каждую группу запишем одной цифрой в системе счисления с основанием 8. Получим:

(10 100 100.110 01) ₂ = (244.62) ₈

      Теперь  переведём это же двоичное число в систему счисления с основанием 16 = 2⁴. Сгруппируем исходное число влево и вправо от запятой по 4 бита. Используя таблицу 4, каждую группу запишем одной цифрой в системе счисления с основанием 16. Получим:

(1010 0100.1100 1) ₂ = (A4.C8) ₁₆

б) Таким же способом переведём второе двоичное число 11111110.00111 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

(11 111 110.001 11) ₂ = (376.16) ₈

(1111 1110.0011 1) ₂ = (FE.38) ₁₆ 

Ответ:  а) (10100100.11001) ₂ = (244.62) ₈ = (A4.C8) ₁₆;

                  б) (11111110.00111) ₂ = (376.16) ₈ = (FE.38) ₁₆.

4. Выполните действия над двоичными числами:

а) 10100.101 × 100.101 = ?  б) 101110111001.111 ÷ 110 = ? 

а) 10100.101 × 100.101

Умножение двоичных чисел 10100.101 и 100.101 производим путём образования частичных произведений и последующего их сложения. Положение запятой определяем так же, как и при десятичном умножении, т. е. количество разрядов дробной части произведения равно общему количеству разрядов дробных частей множимого и множителя. 

						1	0	1	0	0.	1	0	1
					×			1	0	0.	1	0	1
			+			1	0	1	0	0	1	0	1
+				1	0	1	0	0	1	0	1
	1	0	1	0	0	1	0	1
	1	0	1	1	1	1	1.	0	1	1	0	0	1

 

10100.101 × 100.101 = 1011111.011001

Проверка:

Множимое  = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 0·2⁰ + 1·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 =

                  = 16 + 4 + 0,5 + 0,125 = 20,625

Множитель  = 1·2² + 0·2¹ + 0·2⁰ + 1·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 = 4 + 0,5 + 0,125 = 4,625

Произведение = 1·2⁶ + 0·2⁵ + 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ + 0·2^-1 + 1·2^-2 + 1·2^-3 + 0·2^-4 +

+ 0·2^-5 + 1·2^-6 = 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,125 + 0,015625 = 95,390625 

б) 101110111001.111 ÷ 110

Деление в двоичной системе выполняем аналогично делению в десятичной системе счисления. 

_	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0	0	1.	1	1	1	1	1	0
		1	1	0												1	1	1	1	1	0	1	0	0.	0	1	0	1
	_	1	0	1	1
			1	1	0
		_	1	0	1	0
				1	1	0
			_	1	0	0	1
					1	1	0
					_	1	1	1
						1	1	0
							_	1	1	0
								1	1	0
										_	0	1	1	1
												1	1	0
													_	1	1	0
														1	1	0
																0