Системы счисления и представление чисел в компьютере

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

 

 

Кафедра информационных систем и информационных технологий

Финансово - экономический факультет

 

ДОКЛАД

 

По дисциплине: Информатика

Тема: Системы счисления и представление чисел в компьютере

 

Выполнила:

Студентка 1 курса

очного отделения

группы № 2213

Новожилова Л. А.

Научный руководитель:

Стародубцев Г. Ю.

 

 

Санкт - Петербург

2013

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………………3

Глава 1. Системы счисления………………………………………………………...4

1.1 Позиционные и непозиционные системы счисления………………………….4

1.2 Двоичная (бинарная) система счисления……………………………………….4

1.3 Восьмеричная система счисления………………………………………………6

1.4 Десятичная система счисления………………………………………………….7

1.5 Шестнадцатеричная система счисления………………………………………..7

Глава 2. Представление чисел в компьютере………………………………………7

3.1 Представление чисел с фиксированной запятой……………………………….7

3.2 Представление чисел с плавающей запятой…………………………………..10

Заключение………………………………………………………………………….12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Hа ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Oни отличали друг от друга совокупности двух трёх предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятие «много». Это был не счет, а лишь его зарождение.

Bпоследствии чего возникли слова для обозначения понятий «четыре»,  «пять», «шесть», «семь»…

C усложнением хозяйственной жизни деятельности человечества понадобилось вести счёт в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружающими его предметами, вещями, растениями, как инструментами счёта: он делал зарубки на палках, завязывал узлы на мешках, складывал камешки в кучки и т.д. Это удобно, т.к. сразу визуально определяется количество знаков.

Oсобую роль играл природный инструмент человека - его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато был всегда «под рукой».

Bполне возможно, что числа строились по количеству пальцев на руке, на одной руке, по количеству пальцев на руках и ногах.

Tак в современном мире человек каждый день находится в общении, запоминает множество номеров машин, телефонов, подсчитывает стоимость покупок, ведет свой личный бюджет… Числа, цифры… они с нами везде. Cистема счисления - способы кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют числами.

 

 

 

 

Глава 1. Системы счисления

1.1 Позиционные и непозиционные системы счисления

Cистемы счисления бывают непозиционными (аддитивными) и позиционными (мультипликативными).

Oснование системы счисление - количество знаков или символов, используемых для изображения числа.

Непозиционные системы счисления - система счисления, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Пример: 1) II - здесь обе единицы обозначают единицу; 2) XXV, XVI, VII - здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Позиционная система счисления - система счисления, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Пример: 1) 11 - здесь первая единица обозначает десять, а вторая - единицу; 2) 345, 259, 521 - здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, а во втором - 50, а в третьем - 500.

Cложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления легче выполнить, чем в непозиционных, т.к. математические операции выполняются по несложному алгоритму (умножение в столбик, сравнение двух чисел).

1.2 Двоичная (бинарная) система счисления

Двоичная (бинарная) система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1. Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и логические операции над числами.  Например: Число двоичное 1111 = (1*2^3) + (1*2^2) + (1*2^1) + (1*2^0) = (1*8) + (1*4) + (1*2) + (1*1) = 8 + 4 + 2 + 1= 15 - десятичное.

Таблица сложения
0	+	0	=	0
0	+	1	=	1
1	+	0	=	1
1	+	0	=	0+1 (переносим в старший разряд)

 

Таблица вычитания
0	-	0	=	0
1	-	1	=	0
1	-	0	=	1
10	-	1	=	1 (заём единицы в старшем разряде)

 

 

 

 

Таблица умножения
0	*	0	=	0
1	*	0	=	0
0	*	1	=	0
0	*	1	=	1

Для перевода десятичного числа в двоичную систему счисления надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.

Пример: 7310 = 10010012

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Пример: требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). Представим его в виде суммы степеней с основанием 2: 
101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210.

1.3 Восьмеричная система счисления

Bосьмеричная система счисления - позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления в ней используются цифры от 0 до 7. Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Удобство их использования состоит в том, что числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему счисления и наоборот несложен и выполняется простым механическим способом. Например: Восьмеричное число 237,018 записано в свернутой форме. Восьмеричное число 237,018 в развернутой форме будет записано так: 237,018 = 2· 82 + 3· 81 + 7· 80 + 0· 8-1 + 1· 8-2.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему счисления надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного. Пример: 19110 = 2772 .

1.4 Десятичная система счисления

Десятичная система счисления - позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.  

B десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Cамая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. B десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. 

1.5 Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления - позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

 B качестве цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Пример:

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации.

Глава 2. Представление чисел в компьютере

2.1 Представление чисел с фиксированной запятой

Число  с фиксированной запятой - формат представления вещественного числа в памяти компьютера в виде целого числа.

Cуществуют следующие форматы представления чисел с фиксированной запятой:

• байт со знаком(8 бит);
• байт без знака;
• слово со знаком (16 бит);
• слово без знака;
• двойное слово со знаком(32 бит);
• двойное слово без знака;
• учетверенное слово со знаком (64 бит);
• учетверенное слово без знака.

Для представления числа с фиксированной запятой положение запятой фиксируется в определенном месте относительно разряда чисел, т.е. запятая ставится после старшего разряда или перед младшим.        

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 битов). Например, число А2 = = 111100002 будет храниться в ячейке памяти так:

 

1

1

1

1

0

0

0

0

 

Mаксимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Диапазон изменения целых неотрицательных чисел: от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное - 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата "знак-величина" называется прямым кодом числа. Например, число 200210 = 111110100102 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

 

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

 

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Получить дополнительный код можно по следующему алгоритму:

• записать внутреннее представление положительного числа Х;
• записать обратный код, т.е. заменить 1 на 0 и 0 на 1.
• к полученному числу прибавить 1.