Системный анализ и принятие решений

 

 

• 2.2 Результаты построения проблематики

 

Формулировка проблемы: Необходимо быстро устранить аварию с минимальными ущербом для населения и вложением средств на ремонтных работы.

 

Перечень «заинтересованных» в  проблеме лиц:

1. Заказчик – Глава администрации Ленинского района г.Оренбурга;
2. Лица принимающие решение – Администрация г. Оренбурга;
3. Активные участники – МЧС, ЖКХ, Оренбург водоканал, Санитарно-эпидемологический надзор, СМИ;
4. Пассивные участники – население г. Оренбурга.

 

Проблемный массив:

Участники проблемной ситуации	Проблемы участников
Заказчик	Наём специалистов, квалифицированных в области аварийно-спасательных работ, надзора за качеством воды; Выделение из бюджета средств на проведение аварийно-спасательных работ.
Активные участники	Максимизировать безопасность работников, устраняющих аварию (СИЗ); Максимизировать сроки выполнения работ по устранению причины аварии и по восстановлению работоспособности коллектора; Оповещение всех граждан о случившейся аварии.
Пассивные участники	Знать меры предосторожности в случае загрязнения воды.

 

• 2.3 Дерево целей и критериев

 

 

Критерии:

1. Регулярный надзор за качеством воды через определенный интервал времени;
2. Оповещение населения через общедоступные средства массовой информации (телевидение, радио) и условные обозначения в месте аварии (дорожные знаки);
3. Ограниченное количество спасателей и рабочих;
4. Общая стоимость ремонтных средств и оборудования (тыс. руб).

 

 

• 2.4 Модели рассматриваемой системы

 

Модель «черного ящика»

Система: канализационный коллектор.

Входы в систему:

1. Грунтовые воды;
2. Хозяйственно-бытовые, ливневые, производственные стоки;
3. Канализационные трубы;
4. Динамическое воздействие от колесных нагрузок.

Выходы из системы:

1. Водоотведение сточных вод;
2. Очистка сточных вод;
3. Качество очистки;
4. Водоснабжение домов, зданий;
5. Достаточный напор подачи воды;
6. Долговременная работоспособность.

 

Модель состава

Система: канализационный коллектор.

Подсистемы: 1) сбор сточных вод;

Элементы:

• Бассейн канализирования;
• Трубы;
• Насосы.

 

2) отвод сточных вод

Элементы:

• Трубы;
• Насосные станции;
• Очистные сооружения;
• Место выпуска в водоём.

 

3 Формализованные методы  системного исследования

Методика проведения системного анализа.

Принципиальной особенностью системного анализа является использование методов двух типов - формальных и неформальных (качественных, содержательных).

Методика системного анализа разрабатывается  и применяется в тех случаях, когда у лиц, принимающих решения, на начальном этапе нет достаточных сведений о проблемной ситуации, позволяющих выбрать метод ее формализованного представления, сформировать математическую модель или применить один из новых подходов к моделированию, сочетающих качественные и количественные приемы. В таких условиях может помочь представление объектов в виде систем, организация процесса принятия решения с использованием разных методов моделирования.

Для того чтобы организовать такой  процесс, нужно определить последовательность этапов, рекомендовать методы для выполнения этих этапов, предусмотреть при необходимости возврат к предыдущим этапам.

Такая последовательность определенным образом выделенных и упорядоченных этапов с рекомендованными методами или приемами их выполнения представляет собой методику системного анализа.

Таким образом, методика системного анализа  разрабатывается для того, чтобы  организовать процесс принятия решения  в сложных проблемных ситуациях. Она должна ориентироваться на необходимость  обоснования полноты анализа, формирование модели принятия решения, адекватно отображать рассматриваемый процесс или объект.

Одной из принципиальных особенностей системного анализа, отличающей его  от других направлений системных  исследований, является разработка и  использование средств, облегчающих  формирование и сравнительный анализ целей и функций систем управления. Вначале методики формирования и исследования структур целей базировались на сборе и обобщении опыта специалистов, накапливающих этот опыт на конкретных примерах.

Таким образом, основной особенностью методик системного анализа является сочетание в них формальных методов и неформализованного (экспертного) знания. Последнее помогает найти новые пути решения проблемы, не содержащиеся в формальной модели, и таким образом непрерывно развивать модель и процесс принятия решения, но одновременно быть источником противоречий, парадоксов, которые иногда трудно разрешить. Поэтому исследования по системному анализу начинают все больше опираться на методологию прикладной диалектики.

 

 

 

Методы системного анализа.

Арсенал методов системного анализа  достаточно большой, каждый из методов  имеет свои достоинства и недостатки, а также область применения по отношению как к типу объекта, так и к этапу его исследования. 

Основными методами системного анализа являются следующие методы:

• неформальные методы: методы «мозговой атаки», метод экспертных оценок, метод «Дельфи», диагностические методы, морфологические методы, метод дерева целей;
• формализованные методы:

• графические: матричные методы, сетевые методы;
• статистические: математическая статистика, теория вероятностей, теория массового обслуживания;
• аналитические: методы как классической математики, так и математического программирования.

 

Формализованные методы.

Матричные методы. Матричные формы представления и анализа информации не являются специфическим инструментом системного анализа, однако широко используются на различных его этапах в качестве вспомогательного средства. Матрица является не только наглядной формой представления информации, но и формой, которая во многих случаях раскрывает внутренние связи между элементами, помогает выяснить и проанализировать наблюдаемые части структуры. Примером использования свойств матрицы является таблица Менделеева.

Матрицы используются для представления  и анализа систем и их структур. Перестроение дерева целей в матрицу бывает удобно для анализа структуры дерева целей, для выявления взаимосвязей и отношений между целями на этапе отбора вариантов и усечения целей.

 

Сетевые методы. Сетевые методы являются наиболее наглядным и удобным средством отражения динамических, развивающихся во времени процессов, их анализа и планирования с включением элементов оптимизации. Используются главным образом на этапе построения программ развития. Элементы нижних уровней дерева целей, перегруппированные по признаку временных логических взаимосвязей, можно преобразовать в сеть. Анализ этих сетей может послужить для дальнейшей корректировки деревьев целей. Более сложные многомерные сети используются для распределения сфер ответственности, распределения работ по конкретным исполнителям в организациях, ориентированных на цель.

 

Математическое программирование ("планирование") - это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

В зависимости от вида целевой функции  и ограничений выделяют следующие  методы математического программирования:

Линейное программирование, используется если целевая функция линейна и система ограничений также линейна.

Если решения задачи линейного  программирования должны быть целыми числами, то это задача целочисленного линейного программирования.

Если целевая функция и система  ограничений не линейны, то это задача нелинейного программирования.

В том случае, если в задаче математического  программирования имеется переменная времени и целевая функция  выражается не в явном виде, как функция переменных, а косвенно, через уравнение, описывающее протекание операции во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Если целевая функция и система  ограничений задаются формулами  вида: ,то это задача геометрического программирования.

В задачах параметрического программирования целевая функция и система ограничений зависят от параметров.

Если в целевой функции и системе ограничений определяется область возможного изменения переменных, содержатся случайные величины, то такая задача относится к задачам стохастического программирования

Если точный оптимум найти алгоритмическим  путем невозможно, из-за большого числа вариантов решения, то используются методы эвристического программирования.

 

 

• 3.1 Графический метод решения задачи линейного программирования

 

1 шаг

В ограничениях задачи заменим знаки  неравенств на знаки точных равенств и построим соответствующие прямые:

 

 

 

1)    х1 = 0         х1 = 7          2)    х1 = 3            3)    х1 = 0

       х2 = 7         х2 = 0                 х2 = 0                   х2 = 1

 

2 шаг

Найдем и заштрихуем полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений  – неравенств задачи. Для этого подставим в конкретные  неравенства координаты какой-либо точки (в моем случае это точка с координатами (0;0) и проверим истинность полученного неравенства, если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку (я же заштриховывала ту полуплоскость, которая не содержала точку (0;0), иначе (если неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку (в моём случае – заштриховывается полуплоскость, содержащая точку (0;0). Ограничения равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому выделяем на графике эти прямые.

 

3 шаг

Определяем область допустимых решений задачи как часть плоскости, принадлежащей одновременно всем разрешенным  областям, и выделяем её.

 

4 шаг

В моей задаче область допустимых значений – не пустое множество, поэтому  строим целевую прямую (линия уровня с1х1 + с2х2 = L, где с1 и с2 – индексы перед соответствующим х, L – произвольное число, удобное для проведения расчета):  

 

х1 + 4х2 = 4

 

х1 = 0         х1 = 4

х2 = 1         х2 = 0

 

5 шаг

Строим вектор С, который начинается в точке (0;0) и заканчивается в  точке (с1; с2).

На графике видно, что вектор С перпендикулярен целевой прямой  F, следовательно построение выполнено правильно.

 

6 шаг

Направление вектора С совпадает  с направлением возрастания целевой  функции, и так как я ищу  max целевой функции, я передвигаю ее в направлении вектора С.

Последняя по ходу движения вершина  области допустимых решений соответствует  точке максимума – т. А на графике.

 

7 шаг

Определяем координаты точки максимума  целевой функции и вычисляем  значение целевой функции в этой точке.

Для вычисления координаты оптимальной  точки Х* (т.А) решаем систему уравнений  прямых, на пересечении которых находится  эта точка (т.А):

 

х1 = 3         

х2 = 1            →       точка А имеет  координаты (3;1)

 

W(A) = 3 + 4·1 = 7  — значение целевой функции в точке А.

 

 

 

Изображение графиков приведено в  приложении А.

 

 

 

• 3.2 Решение однокритериальной задачи методом Хука-Дживса

 

Состоит из двух основных этапов: исследующего поиска и поиска по образцу.

F(x) = (x1 + 2)² + (x2 -3)² + (x3 - 2)³ → min

 

Задание: следуя по алгоритму выполнить 4 шага.

 

1) Начальная базисная точка В1 (1; 1; 1).

Шаг h = 1

 

2) а) F(B1) = (1 + 2)² + (1 -3)² + (1 - 2)³ = 9 + 4 -1 = 12

б) (0; 2; 0) – точка В2

F(B2) = (0 + 2)² + (2 -3)² + (0 - 2)³ = 4 + 1 – 8 = -3

г) В1 ≠ В2

 

^{3) а) Р1 = В1 + 2(В2  – В1) =}

б) F(P1) = (-1 + 2)² + (3 -3)² + (-1 - 2)³ = 1 + 0 – 27 = -26

в) (-2; 4; -2)

F(-2; 4; -2) = (-2 + 2)² + (4 -3)² + (-2 - 2)³ = 0 + 1 – 64 = -63

 

Значение целевой функции стало  лучше, следовательно, получили новую  базисную точку В3 (-2; 4; -2) → повторяем  шаг 3) а)

 

^{3) а) Р2 = В2 + 2(В3  – В1) =}

б) F(P2) = (-4 + 2)² + (6 -3)² + (-4 – 2)³ = 4 + 9 – 216 = -203

в) (-5; 7; -5)

F(-5; 7; -5) = (-5 + 2)² + (7 -3)² + (-5 - 2)³ = 9 + 16 – 343 = -318

 

Значение целевой функции стало  лучше, следовательно, получили новую  базисную точку В4 (-5; 7; -5) → повторяем  шаг 3) а)

 

^{3) а) Р3 = В3 + 2(В4  – В3) =}

б) ) F(P3) = (-8 + 2)² + (10 -3)² + (-8 - 2)³ = 36 + 49 – 1000 = -915

в) (-9; 11; -9)

F(-9; 11; -9) = (-9 + 2)² + (11 -3)² + (-9 - 2)³ = 49 + 64 – 1331 = -1218

 

Значение целевой функции стало  лучше, следовательно, получили новую  базисную точку В5 (-9; 11; -9).