Шпаргалка по дисциплине "Информатика"

2. Понятность — алгоритм не должен содержать предписаний, смысл которых может восприниматься исполнителем неоднозначно, т.е. запись алгоритма должна быть настолько четкой и полной, чтобы у исполнителя не возникало потребности в принятии каких-либо самостоятельных решений. Алгоритм всегда рассчитан на выполнение “не размышляющего” исполнителя. Алгоритм составляется из команд, входящих в СКИ.

Рассмотрим известный пример “бытового” алгоритма — алгоритм перехода улицы: “Посмотри налево. Если машин нет, дойди до середины улицы. Если есть, подожди, пока они проедут, и т.д.”. Представьте себе ситуацию: машина слева есть, но она не едет — у нее меняют колесо. Если вы думаете, что исполнитель алгоритма должен ждать, то вы поняли этот алгоритм. Если же вы решили, что улицу переходить можно, считая алгоритм подправленным ввиду непредвиденных (по вашему мнению!) обстоятельств, то вы не усвоили понятие алгоритма.

3. Детерминированность (определенность и однозначность). Каждая команда алгоритма определяет однозначное действие исполнителя, и должно быть однозначно определено, какая команда выполняется следующей. То есть если алгоритм многократно применяется к одному и тому же набору исходных данных, то на выходе он получает каждый раз один и тот же результат.

4. Результативность — исполнение алгоритма должно закончиться за конечное число шагов, и при этом должен быть получен результат решения задачи. В качестве одного из возможных результатов может быть и установление того факта, что задача решений не имеет.

Свойство результативности содержит в себе свойство конечности — завершение работы алгоритма за конечное число шагов.

5. Массовость — алгоритм пригоден для решения любой задачи из некоторого класса задач, т.е. алгоритм правильно работает на некотором множестве исходных данных, которое называется областью применимости алгоритма.

существование алгоритмически неразрешимых проблем

Математики в течение веков пользовались интуитивным понятием алгоритма (см. “Алгоритм”). В рамках подобного определения были сформулированы и успешно применялись на практике алгоритмы для решения таких задач, как выполнение арифметических действий “столбиком”, нахождение корней квадратных уравнений, решение систем линейных уравнений и т.д. Постепенно они переходили к постановке и решению все более сложных задач. Так, Г.Лейбниц в XVII веке пытался построить общий алгоритм решения любых математических задач. В XX веке эта идея приобрела более конкретную форму: построить алгоритм проверки правильности любой теоремы при любой системе аксиом. Построить такие алгоритмы не удавалось, и математики выдвинули предположение: а вдруг для того или иного класса задач в принципе невозможно построить алгоритм решения? На основе этого предположения возникло понятие алгоритмически неразрешимой задачи — задачи, для которой невозможно построить процедуру решения.

Проблема останова

Одной из первых проблем, для которых была строго доказана алгоритмическая неразрешимость, была так называемая проблема останова. Сформулируем ее для программ, написанных на процедурных языках программирования (см. “Языки программирования”).

Зададимся следующим вопросом. Нельзя ли определить программным способом, с помощью самого компьютера, зациклится ли данная программа на определенных входных данных? Может быть, можно написать некоторую универсальную программу (обозначим ее через U), которая принимала бы на вход текст заданной программы и входные данные к ней, анализировала его и выдавала бы ответ, зациклится эта программа на этих входных данных или нет1. Возможность написания программы Uкажется правдоподобной: ведь, например, программа-компилятор умеет анализировать текст заданной программы на наличие в нем возможных синтаксических ошибок и т.п. Программа U могла бы стать надстройкой над компилятором, которая вылавливала бы ошибку особого рода — ошибку “бесконечного цикла”.

Уточним формулировку задачи. Каждая программа П в каждом конкретном случае работает с входными данными. (Строго говоря, некоторые программы, например программа вычисления числа   с точностью до 100 000 знаков, могут и ничего не получать на вход — в этом случае будем считать, что входные данные для такой программы образуют “пустой набор” — файл из нуля байт.) Можно считать, что эти входные данные берутся всегда из какого-то файла Д. Действительно, все входные данные — символы, вводимые с клавиатуры, файлы и даже движения мышки (здесь подразумевается, что нажатие определенных кнопок в интерфейсе программы — это тоже ввод данных в нее) — можно закодировать в одном общем файле данных. Может случиться, что некоторая программа, получая на вход одни данные, зацикливается, а получая другие — нет.

Работу программы U можно спроектировать следующим образом. Программа Uдолжна получать на вход, во-первых, текст программы П (текстовый файл), а во-вторых, некоторый файл с данными Д (текстовый файл). Затем она должна проанализировать эти два файла и выдать точный ответ: зациклится ли программа П, если П получила на вход файл Д. Можно всегда считать, что программа U может воспринимать на вход любые файлы: например, если файл П не является синтаксически правильной программой на выбранном языке программирования (скажем, Паскале), то программа U это легко определяет, но все равно считает, что в этом случае П является “программой”: например, такой, которая “ничего не делает” и, следовательно, не зацикливается. Соответственно, если файл Д имеет “неправильный формат” (например, на вход программе П требуется число, а в файлеД имеется что-то другое), то программа П всегда останавливается на этих “неправильных данных”. Итак, вот более точное описание программы U:

а) программа U читает два произвольных файла: П и Д;

б) если файл П содержит синтаксически правильную программу (для определенности, на Паскале), а файл Д представляет собой корректные данные для программы П, то программа U проверяет, зациклится ли П на данных Д. Если она зациклится, то на экран компьютера будет выдано сообщение “зациклится”, иначе — “не зациклится”;

в) если файлы П и Д не удовлетворяют условиям б), то на экран выдается сообщение “не зациклится” (и в этой ситуации для простоты мы все равно называемП программой, а Д — данными, и П в этом случае не зацикливается на Д “по определению”).

 

 

 

 

 

4.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЯ «АЛГОРИТМ» 

1.1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Понятие алгоритма, введенное в предыдущем параграфе, можно назвать понятием алгоритма в интуитивном смысле. Оно имеет нечеткий, неформальный характер, ссылается на некоторые точно не определенные, но интуитивно понятные вещи. Например, при определении и обсуждении свойств алгоритма мы исходили из возможностей некоторого исполнителя алгоритма. Его наличие предполагалось, но ничего определенного о нем не было известно. Говоря языком математики, ни аксиоматического, ни исчерпывающего конструктивного определения исполнителя мы так и не дали.

Установленные в предыдущем параграфе свойства алгоритмов следует называть эмпирическими. Они выявлены на основе обобщения свойств алгоритмов различной природы и имеют прикладной характер. Этих свойств достаточно для практического программирования, для создания обширного круга программ для компьютеров, станков с ЧПУ, промышленных роботов и т.д. Однако, как фундаментальное научное понятие алгоритм требует более обстоятельного изучения. Оно невозможно без уточнения понятия «алгоритм», более строгого его описания или, как еще говорят, без его формализации.

Известно несколько подходов к формализации понятия «алгоритм»:

• теория конечных и бесконечных автоматов;

• теория вычислимых (рекурсивных) функций;

• λ-исчисление Черча.

Все эти возникшие исторически независимо друг от друга подходы оказались впоследствии эквивалентными. Главная цель формализации понятия алгоритма такова: подойти к решению проблемы алгоритмической разрешимости различных математических задач, т.е. ответить на вопрос, может ли быть построен алгоритм, приводящий к решению задачи. Мы рассмотрим постановку этой проблемы и некоторые результаты теории алгоритмической разрешимости задач, но вначале обсудим формализацию понятия алгоритма в теории автоматов на примере машин Поста, Тьюринга, а также нормальных алгоритмов Маркова, а затем - основы теории рекурсивных функций. Идеи λ-исчислений Черча реализованы в языке программирования LISP (глава 3).

Вместе с тем, формально определенный любым из известных способов алгоритм не может в практическом программировании заменить то, что мы называли алгоритмами в предыдущем параграфе. Основная причина состоит в том, что формальное определение резко сужает круг рассматриваемых задач, делая многие практически важные задачи недоступными для рассмотрения. 

1.2. МАШИНА ПОСТА

Абстрактные (т.е. существующие не реально, а лишь в воображении) машины Поста и Тьюринга, предназначенные для доказательств различных утверждений о свойствах программ для них, были предложены независимо друг от друга (и практически одновременно) в 1936 г. американским математиком Эмилем Постом и английским математиком Алланом Тьюрингом. Эти машины представляют собой универсальных исполнителей, являющихся полностью детерминированными, позволяющих «вводить» начальные данные, и после выполнения программ «читать» результат. Машина Поста менее популярна, хотя она значительно проще машины Тьюринга. С ее помощью можно вести обучение первым навыкам составления программ для ЭВМ.

Абстрактная машина Поста представляет собой бесконечную ленту, разделенную на одинаковые клетки, каждая из которых может быть либо пустой, либо заполненной меткой «V», и головки, которая может перемещаться вдоль ленты на одну клетку вправо или влево, наносить в клетку ленты метку, если этой метки там ранее не было, стирать метку, если она была, или проверять наличие в клетке метки. Информация о заполненных метками клетках ленты характеризует состояние ленты, которое может меняться в процессе работы машины. В каждый момент времени головка («-») находится над одной из клеток ленты и, как говорят, обозревает ее. Информация о местоположения головки вместе с состоянием ленты характеризует состояние машины Поста, рис.1.16.

Рис.1.16. Абстрактная машина Поста

Команда машины Поста имеет следующую структуру:

п Km,

где п - порядковый номер команды, K-действие, выполняемое головкой, т - номер следующей команды, подлежащей выполнению.

Существует всего шесть команд машины Поста, рис.1.17:

Рис.1.1. Команды машины Поста.

 

Ситуации, в которых головка должна наносить метку там, где она уже имеется, или, наоборот, стирать метку там, где ее нет, являются аварийными (недопустимыми).

Программой для машины Поста будем называть непустой список команд, такой что 1) на п-м месте команда с номером n; 2) номер т каждой команды совпадает с номером какой-либо команды списка.

С точки зрения свойств алгоритмов, изучаемых с помощью машины Поста, наибольший интерес представляют причины останова машины при выполнении программы:

1) останов по  команде «стоп»; такой останов  называется результативным и  указывает на корректность алгоритма (программы);

2) останов при  выполнении недопустимой команды; в этом случае останов называется  безрезультативным;

3) машина не останавливается  никогда; в этом и в предыдущем  случае мы имеем дело с некорректным  алгоритмом (программой).

Будем понимать под начальным состояние головки против пустой клетки левее самой левой метки на ленте. Рассмотрим реализацию некоторых типичных элементов программ машины Поста.

1. Пусть задано  исходное состояние головки и  требуется на пустой ленте  написать две метки: одну в  секцию под головкой, вторую справа  от нее. Это можно сделать по  следующей программе (справа от  команды показан результат ее  выполнения):

                                                                                     

Рис.1.2. Пример элемента программы машины Поста.

2. Покажем, как можно  воспользоваться командой условного  перехода для организации циклического  процесса. Пусть на ленте имеется  запись из нескольких меток  подряд и головка находится над самой крайней меткой справа. Требуется перевести головку влево до первой пустой позиции.

Программа будет иметь следующий вид:

 

Команда условного перехода является одним из основных средств организации циклических процессов, например, для нахождения первой метки справа (или слева) от головки, расположенной над пустой клеткой; нахождение слева (или справа) от головки пустой клетки, если она расположена над меткой и т.д.

3. Остановимся на  представлении чисел на ленте  машины Поста и выполнении  операций над ними.

Число k представляется на ленте машины Поста идущими подряд k + 1 метками (одна метка означает число «О»). Между двумя числами делается интервал как минимум из одной пустой секции на ленте. Например, запись чисел 3 и 5 на ленте машины Поста будет выглядеть так:

Обратим внимание, что используемая в машине Поста система записи чисел является непозиционной.

Составим программу для прибавления к произвольному числу единицы. Предположим, что на ленте записано только одно число и головка находится над одной из клеток, в которой находится метка, принадлежащая этому числу:

Для решения задачи можно переместить головку влево (или вправо) до первой пустой клетки, а затем нанести метку.