Решение технических задач системой Mathacad. Расчёт и построение графиков

Например:

1.3.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решением  системы линейных алгебраических уравнений  называется такое значение вектора  неизвестных, при подстановке которого все уравнения системы удовлетворяются тождественно.

Для решения  систем линейных алгебраических уравнений с использованием матричных операций необходимо представить систему уравнений в виде: AX = B, где A – матрица коэффициентов системы линейных уравнений, B – вектор свободных членов, X – вектор неизвестных. После введения матрицы коэффициентов системы линейных уравнений и вектора свободных членов вектор неизвестных определяется следующим образом: X = A^-1B.

Например:

Системы линейных алгебраических уравнений в Mathcad не обязательно решать с помощью матричных операций, о чём будет сказано в следующих главах.

1.4 МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

1.4.1 Решение нелинейных уравнений

В Mathcad легко с заданной погрешностью решить практически любое нелинейное уравнение. Для простейших уравнений вида F(x) = 0 (причем F(x) – функция любого вида) решение находится с помощью функции из Mathcad root(F(x, y, ...), x, [a, b]). В качестве аргумента функции root(F) записывается функция F(x, y, ...) – левая часть уравнения F(x, y, ...) = 0, числа a и b – соответственно нижняя и верхняя границы интервала, в пределах которого нужно найти корень уравнения. Функция root возвращает значение корня уравнения с точностью, заданной системной переменной TOL.

Границы интервала, в пределах которого должен находиться корень, указывать необязательно. Можно предварительно задать начальное значение переменной, относительно которой решается уравнение.

Функция root отыскивает как действительные, так и комплексные корни.

Для поиска корней обычного полинома в Mathcad существует функция polyroots(v), возвращающая вектор, содержащий все корни полинома, коэффициенты которого содержатся в v.

Например: нужно  решить уравнение 

Решение в Mathcad для этого уравнения состоит из двух операций – задания вектора коэффициентов уравнения и вывода результата его решения:

 

Как и при  других операциях в Mathcad, все промежуточные вычисления, приводящие к полученному результату, скрыты от пользователя.

1.4.2 Итерационные вычисления

Mathcad позволяет реализовать вычисления, производимые по рекуррентным соотношениям. Это такие соотношения, при которых значение некоторой функции находится по одному или нескольким предшествующим её значениям. Классическим примером рекуррентных вычислений является расчёт чисел Фибоначчи, приведённых в 1228 году в рукописи Леонарда Пизанского (Фибоначчи). Это числа из последовательности, в которой каждое число, начиная с третьего, получается как сумма двух предыдущих чисел, а первые два числа равны единице.

Вычисление  первых десяти чисел Фибоначчи в Mathcad выглядит следующим образом:

Mathcad поддерживает также некоторые распространённые операторы языков программирования, используемые для вычислений, повторяющихся циклически, например For или While. Их также можно использовать для итерационных вычислений.

1.4.3 Построение графика функции

Чаще  всего при расчётах в качестве иллюстрации или материала для  анализа требуются двумерные  графики функций. В соответствии с этим построение таких графиков в Mathcad максимально упрощено.

Для построения графика функции одной переменной сначала требуется набрать функцию, например, После этого нужно в палитре графиков выбрать двумерный график: . На экране появится шаблон графика с уже введённой по оси Y функцией. В место ввода шаблона по оси X нужно ввести имя переменной, например, x. После этого нужно щёлкнуть мышью вне шаблона, и график построится:

С помощью  мыши очень легко изменить размеры  и переместить гра-фик.

Для построения на том же графике ещё нескольких графиков после первой функции через  запятую нужно ввести необходимые  функции.

Непосредственно на графике можно изменить границы  построения графика, добавить сетку, изменить цвет графика и т. д.

Границы построения указываются в местах ввода, появляющихся не-посредственно слева и справа от имени переменной.

Добавление  сетки, изменение цвета производится путём выбора пункта Format из контекстного меню графика.

1.4.4 Дифференцирование

Операцию  нахождения производной функции  называют дифференцированием.

Дифференциалом dy функции y = f(x) в точке x₀ называют главную линейную часть приращения функции (относительно Δx) в этой точке.

Для вычисления дифференциала dy функции y = f(x) в точке x₀ следует воспользоваться следующей формулой:

.

Дифференциалом dx независимой переменной x называют приращение этой переменной Δx, то есть dx=Δx.

Производная n-го порядка функции f(x) – производная от производной (n – 1)-го порядка (вторая производная – производная от первой производной этой функции; третья производная – производная от второй и т. д.)

Mathcad позволяет дифференцировать не только численно, но и символьно. Символьными называют такие вычисления, результаты которых представляются в аналитическом виде, то есть в виде формул. В частном случае результат может быть и числом. Вычисления в символьном виде отличаются большей общностью и позволяют судить о математических, физических и иных закономерностях решаемых задач.

Ядро  символьного процессора системы Mathcad – несколько упрощённый вариант ядра известной системы символьной математики Maple V.

Команды, относящиеся к работе символьного процессора, содержатся в меню Symbolics. Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением это должно проводиться, то есть надо выделить выражение.

При дифференцировании  выделяется не выражение, а переменная, по которой дифференцируется выражение. Дифференцирование производится командой меню Variable ►Differentiate. Для вычисления производных высшего порядка нужно повторить вычисление необходимое число раз.

Например.      Исходное выражение:                  

Производная:                                              

Исходное  выражение:                                                  

          Производная:                

1.4.5 Разложение в ряд Тейлора

При использовании  сложного вида функции в ряде прикладных задач их заменяют рядами Тейлора. Ряд Тейлора – это представление функции f(x) в окрестности точки x₀ ∈ X с помощью её производных различного порядка в виде ряда по степеням двучлена (x − x₀):

При x₀ = 0 ряд будет по степеням переменной x. Такой степенной ряд является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора и называется рядом Маклорена.

Разложение  в ряд Тейлора осуществляется командой

Variable ►Expand to Series.

По умолчанию  число членов ряда равно шести. В разложении указывается остаточная погрешность.

Например:                

1.4.6 Интегрирование

Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных отраслях науки приводит к задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x ∈ X функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Операция  нахождения первообразной по её производной  или неопределённого интеграла  по заданной подынтегральной функции  называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Интегрирование  осуществляется командой меню

Variable ►Integrate.

Эта команда  используется так же, как и команда  дифференцирования. Например:

Исходное  выражение:        

Интеграл:     

Исходное  выражение:        

Интеграл:    

1.4.7 Разложение на правильные дроби

Разложение  сложного алгебраического выражения  на правильные дроби позволяет проанализировать поведение исследуемой величины в зависимости от каждой из составляющих. При этом возможно нагляднее представить влияние особенных точек на поведение исследуемой величины, выявить существенные и несущественные составляющие. Эта операция позволяет упростить интегрирование рациональных выражений.

Команда Variable ►Convert to Partial Fraction возвращает символьное разложение выражения, представленное относительно заданной переменной в виде суммы правильных дробей.

Например:

и

1.4.8 Матричные операции

Наряду  с рассмотренными ранее матричными операциями над численными матрицами в Mathcad имеется более общий аппарат для работы с матрицами при их задании в символьном виде.

Символьный  процессор системы Mathcad обеспечивает проведение в символьном виде, то есть в виде формул, трёх наиболее распространённых матричных операций: транспонирование (замену строк матрицы ее столбцами и наоборот), создание обратных матриц, а также вычисление определителя. Эти действия осуществляются соответственно командами Trans-pose, Invert, Determinant из подменю Matrix меню Symbolics.

Например.

      Транспонирование:

      Обращение:

      Нахождение определителя:

1.4.9 Определённый интеграл

Вычисление  определённых интегралов может производиться, как и операции с матрицами, и  численно, и в аналитическом (символьном) виде. При символьном вычислении необходимо воспользоваться той же командой меню, что и для вычисления неопределённого интеграла:

Variable ►Integrate.

При численном  интегрировании, как обычно, достаточно поставить знак равенства.

Например:

   Символьное интегрирование

    Численное интегрирование