Решение технических задач системой Mathacad. Расчёт и построение графиков

Министерство  образования Республики Беларусь

 

Учреждение  образования

«Гомельский государственный университет 

имени Франциска  Скорины»

 

Математический  факультет

 

 

 

                                                          

 

 

 

 

Решение технических задач системой Mathacad. Расчёт и построение графиков.

 

Курсовая  работа

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка 2 курса группы М-11            __________ Шуликова В.В. Владимировна

 

Научный руководитель:      ___________ Можаровский В.В.

 

 

 

 

      

 

 

 

Гомель, 2013

 

 

 

 

                                                   Оглавление

 

Введение       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.Методы решения задач в системе Mathacad      . . . . . . . . . . . . . . 8

           § 1.      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

            § 2.      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.Алгоритмы и основные элементы программирования в системе Mathacad                          . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.Ознакомление с интегрирующей системой Mathacad       . . .

4.Расчёт и построение графиков в технике       . . . . . . . . . . . . . .

Заключение   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Список источников и литературы .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Исторически, в процессе развития программирования возникло отдельное направление- языки программирования для проведения математических расчетов. Первым таким языком стал Fortran (от formula translator). Но математические расчеты по прежнему оставались сложным делом: применение компьютеров внесло новые трудности- прежде чем начинать расчеты пользователь должен был освоить основы программирования, изучить один, а то и несколько языков программирования и освоить достаточно специфические численные методы расчетов. Все это не предало математическим расчетам большей привлекательности.

Положение стало  меняться к лучшему после разработки специализированных программных комплексов для автоматизации математических и научно-технических расчетов- системы MathCad.

MathCad содержит текстовый редактор, мощный вычислитель и очень простой в применении графический процессор. Это позволяет готовить документы, по виду очень напоминающие статьи или разделы из книг. Язык общения с пользователем в системе MathCad предельно приближен к обычному математическому языку. Вычислитель системы содержит множество математических функций- от всех известных элементарных функций до специфических, таких как быстрое преобразование Фурье или сплайн-интерполяция.

Система MathCad универсальна- она может применятся везде, где используются математические методы анализа, расчета и моделирования. Ее с одинаковым успехом можно использовать как для проведения школьных расчетов, так и сложных расчетов, вполне достойных включения в серьезные диссертации и труды по математике. При этом центр тяжести расчетов перемещается с вопросов программирования компьютера на вопросы естественного математического описания алгоритмов решения математических и научно-технических задач.

Такое смещение акцентов позволяет упростить работу учащихся, а также оптимизировать учебное время, так как большее  внимание можно обращать на методы моделирования, не не затрачивая усилий на ручные расчеты и построение графиков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      1. Методы решения задач в системе Mathacad

1.1 Состав директив

При вводе  после выражения символа (r) фактически (по умолчанию) над ним исполняется команда Simplify (упростить). Однако что подразумевается под этим, ясно далеко не всегда, даже несмотря на то, что многие символьные операции система выполняет вполне очевидно - например, вычисление интеграла или производной в символьном виде.

Однако выполняемую  операцию можно изменить с помощью  ряда директив:

simplify - упрощение выражений;

expand - разложение выражения по степеням;

factor - разложение выражения на простые дроби;

Рис. 12.1. Простейшие примеры применения символьных операций

complex - преобразования в комплексной форме;

assume - присваивание переменным неопределенного значения, даже если до этого им были присвоены значения, а также задание ограничений на значения или тип переменных;

series - разложение в ряд по заданным переменным;

float - преобразование в формат чисел с плавающей точкой;

literally - запрет символьного преобразования для последующего выражения.

 

Ниже представлены дополнительные директивы и ключевые слова, имеющиеся только в профессиональных версиях системы:

parfac - разложение на элементарные дроби;

coeffs - возвращение вектора с коэффициентами полинома;

fourier - прямое преобразование Фурье;

laplace - прямое преобразование Лапласа;

ztrans - прямое z-преобразование;

invfourier - обратное преобразование Фурье;

invlaplace - обратное преобразование Лапласа;

invztrans - обратное z-преобразование;

|M|? - вычисление  детерминанта матрицы; 

Modifier - модифицированные команды:

assume - вводное слово для приведенных ниже определений;

real - для var=real означает вещественное значение переменной var;

RealRange - для var=RealRange(a,b) означает принадлежность вещественной переменной var к интервалу [a,b];

trig -- задает направление тригонометрических преобразований.

 

Директивы допустимо  набирать только строчными буквами (кроме Modifier, которая вводится с прописной первой буквой). В новых версиях Mathcad 8/2000 директивы охватывают все возможные символьные преобразования. При этом их даже больше, чем при использовании команд меню Symbolics.

1.2 выполнение простейших математических операций

1.2.1 Построение выражений

Многие  математические выражения можно  создавать, просто печатая последовательность символов. Часть символов – буквы  и цифры – служит для ввода чисел и имён функций и переменных, другие символы, подобно * и + , служат для создания операторов.

При редактировании выражений в Mathcad используется выделяющая рамка. Важно запомнить, что заключённая в рамку часть выражения становится операндом следующего вводимого оператора.

Необходимость использования выделяющей рамки покажем на примере.

Если набрать: 1*2−3*4/5^2, то получим следующее:

Если  перед набором знака деления  выделить всё выражение рамкой (нажимая  на пробел, пока всё выражение не окажется подчёркнутым ), то получим следующее:

1.2.2 Операции присваивания значения и вычисления

Для присвоения переменной какого-либо численного значения достаточно после введения переменной нажать на клавишу = и ввести численное значение.

Такой способ присвоения переменной численного значения применим только в случае начального присвоения. Если переменной уже присваивалось значение, то нажатие на клавишу = приведёт к тому, что Mathcad покажет это значение. Для присвоения нового значения в этом случае необходимо нажать на клавишу со знаком двоеточия.

Для вычисления любого выражения достаточно после  него ввести знак равенства. После выполнения вычислений результат будет выведен  в строке выражения сразу за поставленным знаком равенства.

1.2.3 Использование шаблонов и функций

Для того чтобы ввести выражение с использованием шаблона из палитры, достаточно нажать на кнопку с необходимым шаблоном. После этого в документе появляется шаблон с местами ввода чисел или переменных, обозначенных маленькими чёрными прямоугольниками. Установив курсор в место ввода, необходимо ввести число или переменную. После этого ввод выражения с использованием шаблона заканчивается.

Сложные математические выражения наряду с операторами содержат математические функции. Для облегчения ввода математических функций служит кнопка f(x), которая выводит окно с полным перечнем функций, разбитым на тематические разделы. Выбранная функция вводится в документ после нажатия на кнопку OK или Insert (вставить). Функции, также как и шаблоны, имеют места ввода.

1.3 ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.3.1 Вычисление определителя матрицы n×n

Для введения матрицы в документ можно вывести  панель векторов и матриц (vector and matrix toolbar), а затем выбрать шаблон матрицы (matrix or vector). Также можно воспользоваться командой Matrix меню Insert (вставка).

Матрица – математический объект в виде таблицы, который характеризуется числом строк (rows) и столбцов (columns). В Mathcad элементами матрицы могут быть числа, константы, переменные и даже математические выражения. При введении шаблона матрицы в документ появляется диалоговое окно, в котором необходимо ввести размерность матрицы, то есть число ее строк и столбцов.

Шаблон, введённый в документ, содержит места  ввода элементов матрицы. Место  ввода можно сделать активным, щёлкнув на нём мышью. С помощью  клавиш перемещения курсора можно  ввести все элементы матрицы.

Обращение к элементам матрицы производится с помощью имени матрицы и  индексов элемента. Индексы вводятся с помощью клавиши "]" и разделяются запятой. Первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столбца матрицы, содержащей элемент.

Нижняя граница  индексов по умолчанию начинается с нуля. Она определяется встроенной переменной ORIGIN, которую можно поменять с помощью команды Options меню Math.

Для работы с векторами и матрицами система Mathcad поддерживает ряд операторов и функций. Здесь мы рассмотрим основные из них.

Сначала напомним, что называется определителем.

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц, то есть матриц с равным числом строк и столбцов. Число строк (столбцов) определяет порядок квадратной матрицы, и этот же порядок присваивается  соответствующему матрице определителю.

Определителем первого порядка называется число |a₁₁| = a₁₁.

Определителем второго порядка называется число

Где – элементы матрицы, определитель которой нужно вы-числить.

Определитель  третьего порядка – это число

Вычисление  определителей четвертого и последующих  порядков сводится к вычислению определителей  второго и третьего порядков.

Порядок определителя − это число его строк и столбцов.

Определителем n -го порядка называется число, вычисленное по оп-ределенным правилам на основе чисел, заданных квадратной таблицей из n строк и n столбцов.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны  нулю, называется единичной. Ее определитель равен единице.

Матрица называется вырожденной, если её определитель равен ну-лю.

Примерами вырожденных матриц являются матрицы, содержащие строки или столбцы из одних нулевых элементов, матрицы, имеющие два одинаковых столбца  или две одинаковых строки.

Матрицы, все элементы которой выше главной  диагонали или ниже главной диагонали  равны нулю, называется треугольной.

Определитель  треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной  диагонали.

В Mathcad имеется возможность вычислять определитель любой матрицы и с любой заданной точностью вычислений.

Определитель  матрицы вычисляется с помощью  оператора "|A|", где

А – заданная в задаче матрица.

Например, операция вычисления определителя в Mathcad запишется в виде двух операций, а именно, задания матрицы А и вывода ее определителя (сами действия по вычислению определителя при этом не отображаются на экране):

1.3.2 Вычисление обратной матрицы

Обратной матрицей для данной квадратной матрицы А называется такая матрица A^-1, произведение на которую матрицы А справа и слева является единичной матрицей:

AA^-1 = A^-1 A= E

Для невырожденной  квадратной матрицы A существует единственная обратная матрица A^-1.

Для вычисления обратной матрицы для исходной матрицы A достаточно напечатать: A^-1 =.

Например:

1.3.3 Определение ранга матрицы

Линейной комбинацией элементов и некоторого множества однородных математических объектов называется их сумма αa+βb, где α и β− числа. Если строка (столбец) матрицы может быть получена в результате линейной комбинации других ее строк, говорят, что строка линейно зависима от этих строк.

Рангом матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы А.

Для определения  ранга матрицы можно воспользоваться  функцией rank(M), которая возвращает ранг матрицы M.