Решение конечного разностного уравнения третьего порядка

.

 

Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {Xn} эти условия сводятся, в соответствии с теоремой Хинчина, к существованию математического ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических Yn в этом случае необходимо и достаточно условие  при .

 

 

2.5.3 Теорема о применимости усиленного закона больших чисел

В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости больших чисел усиленного закона, установленные А.Н.Колмогоровым: достаточное (1930) – для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) – для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин Xi). Теорема Колмогорова для случайных величин X1, X2, …, Xn, …с конечными дисперсиями утверждает, что из условия

 

вытекает приложимость к последовательности X1, X2, …, Xn, … больших чисел усиленного закона

.

В терминах дисперсий условие

 

 

оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел bn с расходящимся рядом

можно построить последовательность независимых случайных величин Xn с DXn = bn , не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия

 

может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mXn – медиана Xn. Сходимость ряда

 

необходима для больших чисел усиленного закона. Из леммы Бореля-Кантелли вытекает, что

 

с вероятностью 1, начиная с некоторого номера. Поэтому при изучении условий приложимости больших чисел усиленного закона можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.

В доказательствах А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова вместо сходимости ряда

 

 

устанавливается сходимость ряда

,

где nk = 2k. При этом А.Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.

 

3. Общее решение линейных уравнений в конечных разностях.

Перейдём к рассмотрению линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Это- наиболее важный частный случай общей теории. В этом случае можно непосредственно найти нужное число линейно независимых решений, а к этому, как мы видели, и сводится задача решения линейного разностного уравнения. Итак, пусть дано однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

f(x+k)+f(x+k-1)+f(x+k-2)+…+f(x)=0         (1)

Будем искать решения в виде

f(x)=,                               (2)

где число λ подлежит определению. Подставляя в уравнение (1) функцию f(x), взятую из соотношения(2), получим уравнение

-++…+=0,

или

(+++…+)=0,

или, наконец,

+++…+=0,                             (3)

так как

≠0.

Уравнение(3) будем называть характеристическим уравнением для конечно-разностного уравнения(1). Корни уравнения(3), естественно, могут быть как однократные, так и многократные. Рассмотрим все возможные случаи.

Пусть корни уравнения (3) – все простые. В этом случае, можно указать k различных решений уравнения (1)

, , ,…,,                 (4)

где суть корни характеристического уравнения. Можно утверждать, что в этом случае k решений (4) линейно независимы. В самом деле, составив из этих решений определитель D[,…,], получим

 

 

 
D=D [,…,] =

 

 

Вынося из каждого столбца номера i за знак определителя получим

 

 

D=(…

 

Не нарушая общности, можно считать каждое из чисел отличным от нуля, или, что то же самое, отличным от нуля произведение

…=

В самом деле, если бы было =0  (но ≠0, то наше уравнение имело бы следующий вид:

f(x+k)+f(x+k-1)+f(x+k-2)+…+f(x+1)=0

и, следовательно, было бы порядка k-1, так как, не нарушая общности, можно было бы x заменить через x-1и перейти к уравнению

f(x+k-1)+f(x+k-2)+f(x+k-3)+…+f(x)=0.

Итак, если мы имеем разностное уравнение типа(1) порядка k, то мы должны считать свободный член этого уравнения отличным от нуля, а следовательно, отличным от нуля и все корни характеристического уравнения (3).

Возвращаясь к определению D, мы видим, что первый сомножитель, т.е.

(…,

тождественно в нуль не обращается, ибо мы указали, что можно считать ≠0. Таким образом, вопрос сводится к исследованию величины определителя

 

Последний же определитель есть определитель Вандермонда и, как известно, равен произведению

-

распространенному на все значения i>j из ряда

1, 2, 3, … , k.

Так как все по предположению различны между собой, то ни одна из таких разностей, а следовательно, и определитель (5) в нуль не обращаются. Поэтому решения (4) будут действительно линейно независимы, и общее решение уравнений (1) изобразится следующим образом:

f(x)=+++…+.       (6)

Если среди корней есть комплексные и все корни различны, но мы все же желаем определить действительные решения, то предполагая числа в соотношении (6) комплексными и вспоминая, что комплексные корни встретятся в сопряженных парах (- действительны), мы сумму

+ ,

где

= p(cosω+i sinω),

=p(cosω-i sinω),

сможем преобразовать к виду

cosωx+sinωx

и считать и действительными. Таким образом, общее решение составится в этом случае в виде линейной комбинации из выражений вида

, cos ωx , sin ωx.

Таким образом, в случае, если корни характеристического уравнения простые, решение находится просто.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №1.

Решить уравнение.

f(x)=0

Начальные условия

f(0)=f(1)=0

f(2)=1

Развернуть третью разность по формуле

f(x)=f(x+p)

Решение:

=

K=1: =

f(x)=f(x)+*f(x+1)=f(x+1)-f(x)

∆f(x)=f(x+1)-f(x) – первая конечная разность

=1

K=2: f(x)=f(x)+*f(x+1)+f(x+2)-f(x)

=1, =2, =1

f(x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)

~ =

==

 

K=3: f(x) =f(x) + (-1)*3f(x+1 )- 3f(x+2) + f(x+3)

=1, =3, =3, =1

f(x)=f(x+3) -3f(x+2) +3f(x+1) –f(x)=0

-+3λ-1=0

=0

=1

F(x)=(x) *   - многочлен второй степени общего вида

F(x)=(x)=+bx+c

 

 

2a=1

a=; b= - ;c=0

Таким образом, решение уравнения имеет следующий вид

 

f (x)= -x = x(x-1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Абсолютно точно я могу заявить, что на лекциях по теоретической информатике я почерпнула для себя немного нового и интересного. Например, я узнала немного больше о комплексных числах. Я не ожидала, что математика может быть такой интересной и многогранной. Сейчас у меня много дисциплин, в которых есть математика, но каждый раз она является мне в абсолютно другом виде. Благодаря этому предмету, я узнала много интересного об А.Н. Колмогоровe. Так как, это моя первая курсовая работа, я отнеслась к своей задаче со всей серьезностью. В целом, я почерпнула для себя много нового и интересного, о чем я даже и не подозревала. Мне понравилось изучение данной дисциплины и хотелось, чтобы нам преподавали ее  на старших курсах, так как мой взгляд на математику сейчас поверхностный и мне бы хотелось получить более глубокое представление о ней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1. Исчисление конечных разностей. А.О. Гельфонд,

С.Н.Бернштейн, В.Л.Гончаров, Д.Джексон, А.Ф.Леонтьев, А.А.Марков, И.П.Натансон, Н.Е.Нерлунд, Д.Селиванов, И.Ф.Стефенсен, Дж.М.Уиттекер, П.Л.Чебышев