Разработка и анализ характеристик режекторного КИХ фильтра

                                                                                    (4.5)

В случае линейной зависимости  фазы от частоты, когда φ определяется как φ=β-αω, формула (4.5) принимает вид:

                                                                                    (4.6)

и не зависит от частоты.

Таким образом, линейная зависимость  фазы от частоты обеспечивает сохранение формы сигнала на выходе системы.

Если β=0, то , т.е. в этом случае обеспечивается и постоянство фазовой задержки.

Пусть {h(n)} – физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале от 0 до (N-1). Ее z-преобразование равно

         (4.7)

Преобразование Фурье  от h(n), получаемое из H(z):

        (4.8)

Рассмотрим условия, при  которых h(n) будет обеспечивать строгую линейность фазовой характеристики.

                                   (4.9)

α – постоянная фазовая задержка, выраженная в отсчетах.

В этом случае:

                                   (4.10)

Приравняем действительную и мнимую части функции:

                                          (4.11)

                                            (4.12)

 

Разделим нижнее выражение  на верхнее.

                               (4.13)

; тогда

                                                         (4.14)

                                                                             (4.15)

В этом случае импульсная характеристика имеет вид одиночного импульса:

                                    .                  (4.16)

Рассмотрим случай, когда  .

Разрешая пропорцию (4.14) получим:

  (4.17)

                                                                (4.18)   

Решение этого уравнения  может быть получено, если h(n) симметрично относительно середины диапазона и в середине диапазона.

В этом случае каждому слагаемому соответствует слагаемое и результирующая сумма будет равна 0. Таким образом решение существует, если ; , тогда .

Из этого следует, что  для конкретной фазовой задержки α существует только одно значение N, для которого обеспечивается строгая линейность фазы. При этом, если N – нечетное число, то α – целое число, и задержка фильтра равна целому числу интервалов дискретизации. Если n – целое число, то α будет не целым числом, и задержка не равна целому числу интервалов дискретизации.

Для N=7, α=3, ; N=6, α=2,5, . (рис. 4.7)

Если необходимо получить фильтр, у которого время групповой  задержки постоянно, а фазовая задержка не постоянна, , , то можно использовать фильтр с фазой .

                

a)      б)

Рисунок 4.7 Импульсная характеристика при нечетном (а) и при четном (б) значениях N (четная симметрия).

                                                               (4.19)

Приравнивая действительную и мнимую части, получаем пропорцию, похожую на формулу (4.14).

                                                     (4.20)

                                                         (4.21)

Пусть , то последнее уравнение перепишется следующим образом.

                                                                (4.22)

       ; ; ;     (4.23)

                       

a)      б)

Рисунок 4.8 Импульсная характеристика при нечетном (а) и при четном (б) значениях N (нечетная симметрия).

 

4.3 Метод окон.

Метод окон в синтезе КИХ-фильтров является достаточно популярным и распространенным. Он основан на следующей идее: поскольку  частотная характеристика цифровых фильтров является периодической функцией, то можно воспользоваться ее представлением в виде ряда Фурье для того чтобы вычислить отчеты импульсной характеристики фильтра с помощью обратного преобразования Фурье

4.3.1.Общая  характеристика задачи

Рассчитаем коэффициенты (импульсную характеристику) фильтра  НЧ. Идеальная АЧХ такого фильтра  (рис. 4.9) является кусочно-постоянной периодической функцией с разрывом на граничной частоте и в основной области частот описывается следующей функцией :

                                                                  _(4.24)                      

А периодическая функция  может быть представления рядом Фурье:

                                                                           (4.25)

в котором коэффициенты Фурье  равны отсчетам идеальной импульсной характеристики:

                                                                (4.26)

Ясно, что идеальная передаточная функция (4.25) описывает физически невозможный БИХ-фильтр, поскольку его импульсная характеристика начинается в (-∞), т.е реакция предшествует воздействию. Поэтому исключим члены ряда с отрицательным индексом (n<0). Однако такая операция дает бесконечную импульсную характеристику, соответствующую БИХ-фильтру. Для получения импульсной характеристики КИХ-фильтра необходимо также ограничить ряд сверху, т.е установить

Рисунок 4.9. Идеальная АЧХ ФНЧ

границы 0 ≤ n ≤ N-1. Усечение представляет собой фактическое домножение ИХ (4.26), на последовательность вида

                                                                (4.27)

Т.о. получаем реальную импульсную характеристику h(n) КИХ-фильтра (рис. 4.10)

                              h(n)=W(n)h (n)        (4.28)

учитывая это частотная  характеристика запишется следующим  образом 

                                           (4.29)

Производя в (4.29) замену получаем передаточную функцию фильтра

                                                                              _(4.30)

Казалось бы, решение найдено, т.е. подбирая значение N  и контролируя поведение АЧХ, за несколько итераций можно найти такое N, при котором требования к заданному фильтру будут выполнены. Однако усечение ряда Фурье приводит к существенным искажениям, в частности к явлению Гиббса, которое будет описано ниже.

Искажение обусловлены характером сходимости ряда Фурье в точке  разрыва первого рода, каковой  является точка w (рис. 4.9):

1. В точке разрыва первого рода w ряд Фурье сходится к среднему предельных значений функции слева и справа, т.е               

                                 ,                              (4.31)

где =1 – предел слева, =0 – предел справа, соответственно в точке независимо от величины N всегда будет: В( ) =0.5

Рисунок 4.10. Процедура усечения ИХ: отрезок «идеальной» ИХ (а), последовательность W(n) (б), реальная ИХ (результат умножения на W(n)) (в).

 

2.  В точке разрыва сходимость ряда Фурье не является равномерной и носит особый характер, который выражается в появлении пульсаций вблизи точки разрыва, максимум которых слева и справа составляет примерно 9% от АЧХ и остается таким вне зависимости от N. Этот феномен получил название явление Гиббса.

На рис. 4.11 показана амплитудная характеристика ФНЧ, импульсная характеристика которого N=31. Видно, что в результате усечения формируются пульсации как в полосе задерживания, так и в полосе пропускания фильтра, кроме того, образуется переходная полоса (заштрихованная область на рисунке 4.11б, ширина которой тем меньше, чем больше значение N, причем середина переходной полосы приходится на частоту

Для более подробного изучения явления Гиббса вернемся к формуле  (4.28). Будем рассматривать фильтры с нечетным N, так как они наиболее часто применяются на практике.

ИХ (4.28) представлена произведением двух функций во временной области: идеальной ИХ и весовой функцией, чем в частотной области соответствует свертка Фурье изображений этих функций. Фурье-изображение h(n) представляет собой частотную характеристику фильтра, а Фурье-изображение весовой функции является ее спектром , который принято называть частотной характеристикой функции W(n). Найдем частотную характеристику функции (4.27), для этого выполним преобразование Фурье.

     (4.32)

Видно что  представляет собой сумму N членов убывающей геометрической прогрессии: , первый член которой , а знаменатель q= . Поэтому (4.32)  можно записать в виде

 (4.33)

Функция (4.33) известна под названием ядра Дирихле, причем . Если не учитывать множитель, характеризующий линейный фазовый сдвиг, то график нормированного вещественного сомножителя ядра Дирихле

                                          (4.34)

будет иметь форму, показанную на рисунке 4.12а при N=31 модуль ее изображен на рисунке 4.12б. Эта функция имеет характер быстро затухающих колебаний с максимальным значением N на частоте w=0 (что следует из 4.11). Заштрихованная область с максимальной амплитудой называется главным лепестком, а остальные области – боковыми лепестками.

Функция (4.34) равна нулю, если равен нулю ее числитель при w≠0, т.е при . Следовательно, функция равна нулю на частотах , а ширина всех ее лепестков, включая главный, одинакова и составляет , причем с увеличением N ширина лепестка уменьшается и увеличивается число пульсаций. На рис. 4.12а ширина каждого лепестка составляет , а главный лепесток занимает область 0≤w≤ . Известно [Опненгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов], что умножению функций во временной области соответствует их комплексная свертка в частотной области на периоде [-π; π], поэтому (4.29) можно записать в виде:

                                                          _(4.35)

 

Рисунок 4.11. Явление Гиббса: ИХ ФНЧ, N=31 (а), амплитудная функция (б)

Рисунок 4.12. График функции (4.34) при N=31 (a), ее модуль (б)

Но поскольку (4.24), то усечение ряда Фурье (4.25) до N членов (4.29) означает, что представляет собой круговую свертку частотной характеристики идеального фильтра НЧ  (4.26) с ядром Дирихле. Следовательно, частотная характеристика идеального фильтра окажется размытой. В результате получаем амплитудную характеристику (рис. 4.11б) у которой вблизи точки разрыва наблюдаются два эффекта:

1. Возникают ошибки аппроксимации в виде пульсаций, которые обусловлены боковыми лепестками функции .
2. Образуется сглаживающая разрыв переходная полоса, ширина которой зависит от ширины главного лепестка функции и фактически равна ей: чем больше N, тем уже главный лепесток.

4.3.2. Окна  и их основные параметры

Явление Гиббса объясняется, как отмечалось раннее, неравномерной  сходимостью ряда Фурье в точке  разрыва. Управлять сходимостью  ряда Фурье можно с помощью  весовой последовательности (весовой  функции) конечной длины w(n) (w-window, англ. окно). Метод состоит в том, что коэффициенты ряда Фурье (т.е импульсная характеристика h (n) идеального фильтра) умножается на w(n). В результате, подобно (4.28)  получается импульсная характеристика h(n)=w(n)h (n) и соответствующая ей передаточная характеристика реального фильтра

                             ,                               (4.36)

где N - длина функции w(n).

В общем случае окном называют ограниченную на интервале 0≤n≤N-1 и равную нулю вне этого интервала положительную симметричную весовую функцию.

Метод конструирования передаточной функции с помощью ограничения  ряда Фурье окном называется методом  окон или взвешиванием.

Известно большое количество окон, применение которых определяется характером поставленной задачи синтеза  фильтров.

В частности прямоугольное  окно или окно Дирихле (4.27) было рассмотрено выше и использовалось для усечения ряда Фурье и изучения явления Гиббса.

Анализ прямоугольного окна позволяет сделать вывод о  том, что окно является «хорошим», если оно соответствует следующим  требованиям:

1. Ширина главного лепестка частотной характеристики мала.
2. Амплитуда боковых лепестков частотной характеристики быстро уменьшается с увеличением частоты w.

4.3.3. Методика  синтеза КИХ-фильтров на основе окон.

Отсчеты ИХ КИХ-фильтров также являются коэффициентами его передаточной функции (разностного уравнения), поэтому задача синтеза сводится к получению импульсной характеристики.

Методика включает в себя:

1. Задание требований к фильтру.
2. Вычисление импульсной характеристики h_и(n) «идеального» фильтра.
3. Выбор окна и длины фильтра.

Как отмечалось выше, ширина переходной зоны фильтра равна ширине главного лепестка окна, величина которого может быть определена для некоторых  типов окон из таблицы 

Таблица 4.1 – Значения основных параметров окон.

Тип окна	Ширина главного лепестка	Максимальный уровень  боковых лепестков, дБ	Коэффициент пульсаций kp(N), %
			N=11	N=21	N=31
Прямоугольное	2π/N	-13	22,34	21,89	21,80
Хэннинга	4π/N	-35	2,62	2,67	2,67
Хэмминга	4π/N	-43	1,47	0,93	0,82
Блэкмана -Хэрриса	6π/N	-67	0,08	0,12	0,12