Освоение и закрепление практических навыков приближенных методов вычислений, а также составления и отладки прикладных вычислительных пр

 

2.2.4 Метод парабол  (метод Симпсона)

 

Значительное повышение  точности приближенных формул может быть достигнуто за счет повышения порядка интерполяции. Одним из таких методов приближенного интегрирования является метод парабол. Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает к кривой y=f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой, и поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных “сверху” дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y=f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций. Сущность метода заключается в следующем. Отрезок [a,b] делится на 2n равных частей. Пусть точки деления будут

х0=а, x1, x2, …x2n-2, x2n-1, x2n=b,

а y0, y1, …y2n – соответствующие значения подынтегральной функции на отрезке [a,b]. Произведем квадратичную интерполяцию данной подынтегральной функции на каждом из отрезков разбиения (заменим дугу графика подынтегральной функции дугой параболы с вертикальной осью) .

 

Рис.8.Метод Симсона

Приведем без вывода формулу парабол в окончательном  виде:

(7)

 

Если подынтегральная  функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную четвертую производную, то для поправочного члена формулы (7) имеет место оценка    (8)

 

где М4- максимум модуля четвертой производной подынтегральной функции на отрезке [a,b].

 

Сравнивая между собой оценки (6) и (8), замечаем, что с увеличением n поправочный член формулы трапеций уменьшается пропорционально

величине  , а для формулы парабол – пропорционально величине т.е. метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.

 

2.3 Увеличение  точности

 

Приближение функции  одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности  отрезок интегрирования разбивают  на части и применяют численный  метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру  уменьшения шага в два раза, при  этом на каждом шаге требуется вычислять  значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение интеграла  методом прямоугольников

 

 

 

Решение интеграла методом прямоугольников

Границы интегрирования

 

Точность  вычисления

 

0,01

Число разбиений

Шаг разбиения

Зададим начальное значение P

Зададим изменение i на интервале (a,b)c с шагом h

Выводим полученное значение P:

 

 

 

        M = 9.35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение интеграла  методом Симпсона

 

 

      M = 9.35

 

Границы интегрирования

Точность  вычисления

 

0.01

Число разбиений

Шаг разбиения 

Зададим начальное  значение S

Зададим изменение i на интервале [a,b] с шагом h получим  значение интеграла, суммируя значения, найденные по формуле

Выводим полученное значение Simp:  S = 9.35

Погрешности при вычислении интеграла методом трапеций и методом Симпсона

Погрешность по методу Симпсона

Погрешность по методу прямоугольников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение системы дифференциальных уравнений в системе MathCAD.

       Анализ решения.

       Для решения выберем встроенную функцию Rkadapt(y, t1, t2,M,D), которая ищет решение с переменным шагом ( там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается).

       В результате работы указанной функции рассчитывается матрица, количество столбцов которой равно сумме порядков уравнений в системе +1, а количество строк равно параметру n. Первый столбец содержит значения независимой переменной, второй - значение функции, третий столбец будет содержать значения второй функции.

По полученным значениям  строим график.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм решения заданной системы дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

 

В ходе работы я освоил решение задач интегрирования функции методом парабол (Симпсона) и методом трепеций. Расчеты проводил с использованием средств программирования. Произвел вычисления системы дифференциальных уравнений с помощью встроенных функций MathCad. Использование пакета MathCAD в области обработки данных позволило мне больше внимания уделять правильности выбора методики расчета, чем самому расчету.

Таким образом, использование  пакета MathCAD в курсовой работе позволило мне в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Это ускорило процесс приобретения новых знаний, обеспечивающий высокий уровень профессиональной квалификации будущих инженеров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.        MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95 / Пер. с англ. - М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1996. - 712 с.

2.      Очков В.Ф. MathCad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: КомпьютерПресс, 1998. - 384 с.

3.      Жаблон К., Ж-К. Симон. Применение ЭВМ для численного моделирования в физике. Под ред. /Под ред.В.В. Александрова и Ю.С. Вишнякова - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1983. - 234 с.

4.       Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987.-240 с