Освоение и закрепление практических навыков приближенных методов вычислений, а также составления и отладки прикладных вычислительных пр

Федеральное государственное бюджетное  образовательное             учреждение высшего профессионального образования

«Ижевский государственный  технический университет»

                               Кафедра «Тепловые двигатели  и установки».

 

 

 

                                                КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Информатика»

на тему «Освоение  и закрепление практических навыков  приближенных методов вычислений, а  также составления и отладки  прикладных вычислительных программ в  среде Mathcad»

 

 

 

 

 

 

 

Проверил преподаватель :                                                          Воеводина О.А.

 

Выполнил студент гр. C02-051-01:                                           Крюков Н.А.

 

 

 

 

 

 

                                                       Ижевск 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ………………………….………….….…………...4

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШАЕМОЙ ЗАДАЧИ……………….....5

2.1 Численное интегрирование……………………  …………………......5

2.2 Методы численного интегрирования……………………..…………..6

2.2.1 Одномерный случай………………………………...……...…6

2.2.2  Метод прямоугольников……………………...…………...…7

2.2.3  Метод трапеций………………………………...…………....10

2.2.4 Метод парабол (метод Симпсона) …………………….…....10

2.3 Увеличение точности……………………………………………...….12

3. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ…………………..….....13

3.1 Метод трапеции.…………………………….……..………………….…......14

3.2 Метод Симпсона...………………………………………………….………..15

4.Решение системы дифференциальных уравнений…………………………..16

4.1 Алгоритм решения  заданной системы дифференциальных уравнений….17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….18

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Содержание курсовой работы определяется общей задачей  курса «Информатика» дать будущим инженерам основные знания в области компьютерных технологий обработки данных. В курсовой работе студентам предлагается выполнить некоторые инженерные расчеты для определенного типа технологического оборудования. Для выполнения этого вида работ студентам предлагается пакет MathCAD.

Выполнение различных расчетов с использованием пакета MathCAD не представляет значительных трудностей. Легко объединяя в одном рабочем листе текст, графику и математические выкладки, MathCAD облегчает понимание хода самых сложных вычислений. Печатая рабочие документы в точности в таком же виде, как они выглядят на экране, пакет обеспечивает аккуратную запись хода работ. Особенности пакета позволяют без труда непосредственно на рабочем экране размещать необходимый справочный материал в виде таблиц или графиков, что очень важно для анализа результатов расчетов и получения правильных выводов.

В программе MathCAD при проведении расчетов с использованием реальных физических величин необходимо учитывать их размерность. Чтобы расчет был корректен, все данные должны быть приведены в единую систему единиц. В этом случае результат расчетов получится в этой же системе. Это заставляет студентов более внимательно подходить к расчетам и следить, затем в каких единицах измерения должна быть представлена та или иная величина.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

 Приближенно вычислить определенный интеграл F(x) = 3x∙ln(x)-1.2х;

от функции на промежутке [1; 2] с заданной погрешностью е = 10^-4. Расчеты интеграла выполнить при помощи методов трапеции и парабол (Симпсона). Для вычисления интеграла для каждого метода составить программы при помощи встроенных средств MathCad.

      Решить  систему дифференциальных уравнений 

        _{Решение дифференциальных уравнений}

 

 

 

       _{с начальными условиями :}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  РЕШАЕМОЙ ЗАДАЧИ

 

2.1.Численное интегрирование

 

 

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) —  вычисление значения определённого  интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла  численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых и , где и — пределы интегрирования.

Рис.1:Площадь

криволинейной трапеции

 

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего  может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

 

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев  не удается найти аналитической  формулы, т.е. выразить неопределенный интеграл в виде алгебраических и трансцендентных функций. Даже если аналитическая формула находится ,то она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с ее помощью труднее, чем другими способами. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования,  которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью.

Пусть требуется вычислить  определенный интеграл

 

при условии, что A и B конечны  и f(x) является непрерывной функцией x во всем интервале A < x < B. Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=A, x=B.                          Вычисление I проводится путем разбиения интервала от A до B на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

 

Суть методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется  в элементарных функциях. Обычно f(x) заменяется некоторым интерполяционным многочленом, что приводит к квадратурным формулам:

 

где xi - узлы интерполяции;

i - произвольный номер узла;

Ci - коэффициенты;

R - остаточный член или погрешность метода.

 

Неучет (отбрасывание) R приводит к погрешности усечения.  К этим погрешностям в процессе вычислений добавляются  погрешности округления.

 

2.2 Методы численного  интегрирования

 

2.2.1 Одномерный случай

 

Основная идея большинства  методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной  функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где  n — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа   — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

2.2.2 Метод прямоугольников

 

Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b. Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подынтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подынтегральной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

 

Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и требуется вычислить ее интеграл . Составим интегральную сумму для f(x) на сегменте [a,b] . Для этого разобьем сегмент [a,b] на n равных между собой частей с помощью точек: x1, x2, … , xk, … , xn-1.

 

Если длину каждой части мы обозначим через Х так что   то для каждой точки xk будем иметь:   (k=0, 1, 2, …, n). Обозначим теперь через yk значение подынтегральной функции f(x) при   то есть положим    (k=0, 1, …, n).

Тогда суммы  будут интегральными для функции f(x) на отрезке [a,b]. (При составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами этих сегментов.)

 

По определению интеграла  имеем: и Поэтому в качестве приближенного значения  естественно взять интегральную сумму ,т.е. положить:  а также    т.е         (1)

и                            (1*)

Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

 

В том случае, когда f(x) 0, формулы (1) и (1’) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями   и высотами: y0, y1, y2, …, yn-1 – в случае формулы (1) (рис.8) и y1, y2, y3, …, yn – в случае формулы (1') (рис.9).

 

 

Рис.2.Метод трапеций .                  Рис.3 Метод прямоугольников

    

Исходя из приведенного выше геометрического  смысла формул (1) и (1') способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников.

 

Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.

Рис.4.Левый                       Рис.5.Правый                       Рис.6.Средний 

прямоугольник                 прямоугольник                      прямоугольник

 

Будем предполагать, что  функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте [a, b], так что существует такое число М>0, что для всех значений х из [a, b] выполняется неравенство |f'(x)|M. Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях абсолютная величина погрешности Rn, которую мы допускаем, вычисляя интеграл

 

 

 

 

по формуле прямоугольников  может быть оценена по формуле [27]:

|Rn|  M(b-a)2/2n                                       (2)

 

При неограниченном возрастании n выражение M(b-a)2/2n, а следовательно, и абсолютная величина погрешности Rn будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа E >0, если взять

 

n > M(b-a)2/2E .

 

Следовательно, для вычисления интеграла с указанной степенью точности достаточно сегмент [a, b] разбить на число частей, большее числа M(b-a)2/2E . [27].

 

Метод прямоугольников  – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного  интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

 

2.2.3 Метод трапеций

 

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (3а) и (3б). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

 

Простейшая из таких  формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (1'):

        (4)

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика  подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна

 

и следовательно, формула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис.7) . Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

                                         Рис.7.Метод трапеций.

Приведя в формуле (4) подобные члены, окончательно получим    (5)

 

Формулу (5) называют формулой трапеций.

Формулой трапеций часто  пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности Rn, возникающей при замене левой части (5) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:       (6)

 

 

где М2 – максимум модуля второй производной подынтегральной функции на отрезке [a,b], т.е. Следовательно, Rn убывает при   по крайней мере так же быстро, как . Абсолютная погрешность Rn будет меньше наперед заданного числа E > 0, если взять