Моделирование физических процессов

                       Оглавление.

 

 

 

 

Введение

 

В настоящее время  нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той  или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решения на основе получаемой информации.

Замещение одного объекта  другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием. Моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. Между моделью и оригиналом существует взаимно однозначное соответствие. При этом должны быть известны функции, позволяющие перейти от характеристик модели к соответствующим характеристикам оригинала, а также преобразовать их математические описания и тождественные.

Основными разновидностями процесса моделирования можно считать два его вида - математическое и физическое моделирование.

 При физическом (натурном) моделировании исследуемая система  заменяется соответствующей ей  другой материальной системой, которая  воспроизводит свойства изучаемой системы с сохранением их физической природы. Вследствие того, что природа физической модели и оригинала одинакова, удается обеспечить подобие протекающих в них процессов, не располагая полной информацией об их математических описаниях. Это является преимуществом физических моделей по сравнению с математическими. Достоинством физического моделирования является также и то, что в физическом эксперименте воспроизводится большее число факторов.  

 В науке любой  эксперимент, производимый для  выявления тех или иных закономерностей изучаемого явления или для проверки правильности и границ применимости найденных теоретическим путём результатов, по существу представляет собою моделирование, т. к. объектом эксперимента является конкретная модель, обладающая необходимыми физическими свойствами, а в ходе эксперимента должны выполняться основные требования, предъявляемые к физическому моделированию. В технике физическое моделирование используется при проектировании и сооружении различных объектов для определения на соответствующих моделях тех или иных свойств (характеристик) как объекта в целом, так и отдельных его частей. К физическому моделированию прибегают не только по экономическим соображениям, но и потому, что натурные испытания очень трудно или вообще невозможно осуществить, когда слишком велики (малы) размеры натурного объекта или значения других его характеристик (давления, температуры, скорости протекания процесса и т. п.).

 

 

 

 

 

Основные понятия теории проектирования физических моделей.

1.1. Требования, предъявляемые к физической модели.

 

Целью проектирования физической модели как технической системы  является создание объекта, удовлетворяющего определенной совокупности требований. Эти требования многообразны. Однако в первую очередь важно выделить обязательные требования, без выполнения которых реализация и использование модели оказываются невозможными:

• Требования подобия модели оригиналу;
• Требования тождественности некоторых величин модели и оригинала;
• Требования, отражающие специфику реализации модели;

Остановимся на каждом из этих требований подробно.

I. Требование подобия модели оригиналу является исходным требованием при ее проектировании. Они непосредственно следуют из определения понятия модели.

Модель подобна оригиналу, если каждому процессу, протекающему в оригинале, взаимно-однозначно соответствует подобный ему процесс в модели. Два процесса будем считать подобными, если значения всех величин , характеризующих один процесс, могут быть получены путем умножения значений соответствующих величин , характеризующих другой процесс, на неизменные величины , называемые масштабами моделирования.

Математические требования подобия  процессов, протекающих в модели и оригинале, сводятся к требованию равенства численных значений их соответствующих критериев подобия.

Критерием подобия называется безразмерные степенные комплексы величин, которые  входят в безразмерное математическое описание рассматриваемых процессов

                                       ,                                            (1.1)

где α-множество величин, участвующих  в описании сопоставляемых процессов, ; -действительные числа.

Формальное представление требований подобия состоит в выполнении для всех критериев подобия условий вида

,                                                                                      (1.2)

где -критерий подобия, а символ idem означает «одинаковый», «один и тот же» в модели и оригинале.

Эквивалентным условию (1.2) является условие

,                                                                     (1.3)

где - индикатор подобия, равный отношению значения критерия  в объекте моделирования и в модели .

С учетом описания (1.1) условие (1.3) можно представить в виде

,                                                                            (1.4)

где - масштаб воспроизведения величины в модели,  ; и - соответственно значения величины в объекте моделирования и в модели.

На практике часто  не удается выполнить условия  подобия. В этом случае оговаривается  допустимая величина нарушения этих требований, которая задается предельно  допустимой величиной некоторого функционала , характеризующего близость соответствующих процессов в модели и в оригинале. Его величина зависит от вектора масштабов воспроизведения в модели величин , т.е. определяется условие

                                                                                        (1.5)

где - заданный функционал; - его предельно допустимое значение.

Значение  тем меньше, чем меньше погрешность моделирования, вызванная нарушением подобия процессов, и в том и только в том случае, если процессы подобны.

В ряде случаев считаются известными нижний и верхний допуски нарушения условий (1.3), в пределах которых условие (1.5) соблюдается.

В этих случаях допустимую величину погрешности нарушения требований подобия определяют неравенствами  вида

                                                                        (1.6)

где

                             .

Критерии подобия получают либо на основе анализа размерностей величин, участвующих в описании моделируемых процессов, либо на основе анализа уравнений, составляющих математическое описание.

Пример I.I.

Требуется определить критерии подобия движений математического  маятника, которые описываются уравнениями 

  с начальными условиями , , , где -время; - угол между нитью и вертикалью; - длина и сила натяжения нити.

Произведем замену переменных по зависимостям

                     , , ,

где - постоянные величины (базисные величины) той же размерности, что и .

После замены переменных получим уравнения 

                            ;

                       

с начальными условиями  , при .

Поделив каждое уравнение на один из имеющихся в нем коэффициентов при безразмерной величине, приведем полученные уравнения к безразмерному виду:

  ;   ,

при

         ; ;  .

Выделим из математического описания все обобщенные параметры:

           ;       ;        ;      

           ;           ;         .

В силу произвольности базисных величин выберем их таким образом, чтобы как можно большая часть  обобщенных параметров обратилась в  абсолютную константу (в число), например в единицу.

 Пусть  , , .

 Тогда  , ,  , ,

 где , , ,

- критерии подобия.

Масштабы моделирования переменных равны отношению значений базисных величин, которые они принимают  в моделируемом объекте и в  модели:

;          ;      , где штрихи «’» b «’’»  соответствуют значениям параметра в объекте и в модели.

Масштабами моделирования постоянных величин  являются соответственно ; ; .

 

 

2. Требование тождественности.

 

 

Требования тождественности некоторых  величин физической модели и объекта  моделирования обусловлены следующим.

Число значений ряда параметров в  объекте моделирования неизвестны. В силу этого оказывается затруднительным  осуществить проверку выполнения условий подобия. Примерами таких параметров

часто служат  коэффициенты расхода, трения, взаимной индукции и т.п. использование идентичных материалов, рабочих сред, конструктивного использования отдельных узлов позволяет реализовать тождественность этих параметров в модели и оригинале. Поэтому масштаб моделирования, соответствующий этому параметру, принимает конкретное значение, равное единице, что позволяет исключить неопределенность в условиях подобия.

Кроме того, наличие требований тождественности  часто обусловлено необходимостью стыковки модели с реальной аппаратурой той системы, элементом которой является моделируемый объект.

В соответствии с делением величин, характеризующих сопоставляемые процессы, на переменные и постоянные в дальнейшем будем различать соответственно требования тождественности функционирования и требования параметрической тождественности.

Формальное представление требований тождественности состоит в выполнении условия

                                                                                           (1.7)

где - множество индексов тех величин, тождественность значений которых требуется обеспечить.

Это требование можно записать как  условие вида:

для переменных

                                   ,   ,

где , - значения базисной величины переменной в объекте моделирования и в модели;

для параметров

                                    , ,

где , - значения параметра в объекте моделирования и в модели.

3. Требование специфики.

 

 

Требования специфики определяют необходимые отличия модели от оригинала, в силу которых эксперименты с ней более дешевы и удобны.

Характерными требованиями такого рода  являются требования уменьшения в определенное число раз размеров модели, ее мощности, требование замены рабочего тела, используемого в оригинале, более дешевым или менее агрессивным и т.п.

Математически требование специфики  сводится к выполнению условий

                                ,                                                     (1.8)

где - заданное число; - множество индексов величин, значения которых в модели отличаются от их значений в оригинале в силу требований ее реализации.

Это требование может быть задано также в виде условий:

для  переменных (требования специфики  функционирования)

                            , ,

для параметров (требования специфики  реализации)

                            ,

где - заданное значение параметров в модели.

Наряду с указанием конкретных значений масштабов моделирования  тех или иных величин в требованиях  специфики может оговариваться  диапазон из возможных значений, что  математически описывается системой условий вида

                                           ,                                           (1.9)

где - заданные числа.

В более общем случае условия, отражающие требования специфики, имеют вид