Матричные вычисления в MatCad

Для вычисления ранга в MATHCAD предназначена функция RANK.

- RANK(A) - ранг матрицы;

А - матрица.

Рисунок 33 - Ранг матрицы.

 

2.3 Системы линейныхалгебраических уравнений

Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида

k11x1 + k12x2 + … + k1nxn + l1 = 0

k12x1 + k22x2 + … + k2nxn + l2 = 0 
     … 
kn1x1 + kn2x2 + … + knnxn + ln = 0

К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики.

СЛАУ имеет единственное решение, если матрицаА является невырожденной, или по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю.С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ не представляет трудностей,если матрица А не очень велика. С большой матрицей проблем также невозникнет, если она не очень плохо обусловлена.

В MATHCAD существует два способа решения СЛАУ. В одном способе следует использовать вычислительный блок GIEN/FIND , а в другом - встроенную функцию LSOLVE.

-LSOLVE(А,b) - решение системы линейных уравнений;

А - матрица коэффициентов системы;

b - вектор правых частей.

Рисунок 34 - Решение СЛАУ.

Рисунок 35 - Символьное решение СЛАУ(продолжение Рис.34).

 

В некоторых случаях, для большей наглядности представления СЛАУ, егоможно решить точно так же, как систему СНУ. Не забывайте, что при численном решении всем неизвестнымтребуется присвоить начальные значения. Они могут быть произвольными, т. к. решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно.

При решении СЛАУ с помощью функции FIND MATHCAD автоматически выбирает линейный численный алгоритм, в чем можно убедиться, вызывая на имени FIND контекстное меню.

Рисунок 36 - Решение СЛАУ с помощью вычислительного блока.

 

 

2.4 Собственные векторы и собственные значения матриц

 

Вторая по наиболее частому применению задача вычислительной линейной алгебры -это задача поиска собственных векторов х и собственных значений X матрицы А, т. е. решение матричного уравнения А-х=А/х. Такое уравнение имеетрешения в виде собственных значений А.1Д2,... и соответствующих имсобственных векторов xi,x2,... Для решения таких задач на собственные векторы и собственные значения в MATHCAD встроено несколько функций,реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:

- EIGENVAIS (A) - вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;

-EIGENVECS  (A) - вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А.n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному векторуn-го собственного значения, вычисляемого EIGENVAIS;

- EIGENVEC(A,альфа,) - вычисляет собственный вектор для матрицы А и заданного собственного значения А.;

А - квадратная матрица.

Рисунок 37 - Поиск собственных векторов и собственных значений.

 

Рисунок 38 - Проверка правильности нахождения собственных векторовсобственных значений (продолжение Рис.37).

 

Помимо рассмотренной проблемы поиска собственных векторов и значений, иногда рассматривают более общую задачу, называемую задачей наобобщенные собственные значения: А-х=А/в-х. В ее формулировке помимо матрицы А присутствует еще одна квадратная матрица в. Для задачи на обобщенные собственные значения имеются еще две встроенные функции, действие которых аналогично рассмотренным:

-GENVAIS(A, в) - вычисляет вектор v собственных значений, каждый изкоторых удовлетворяет задаче на обобщенные собственные значения;

- GENVECS(A,B) - вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям в векторе v,который вычисляется с помощью GENVAIS. В этой матрице 1 -й столбецявляется собственным вектором х, удовлетворяющим задаче на обобщенные собственные значения;

А, в - квадратные матрицы.

Рисунок 39 - Поиск обобщенных собственных векторови собственных значений.

Рисунок 40 - Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных, значений (продолжение Рис.39).

 

2.5 Матричные разложения

 

Современная вычислительная линейная алгебра - бурно развивающаясянаука. Главная проблема, рассматриваемая ею, - это проблема решениясистем линейных уравнений. В настоящее время разработано множествометодов, упрощающих эту задачу, которые, в частности, зависят от структуры матрицы СЛАУ. Большинство методов основано на представлении матрицы в виде произведения других матриц специального вида, или матричных, разложениях. Как правило, после определенного разложения матрицызадача линейной алгебры существенно упрощается. В MATHCAD имеется несколько встроенных функций, реализующих алгоритмы наиболее популярных матричных разложений.

2.5.1 Разложение Холецкого

Разложением Холецкого симметричной матрицы А является представлениевида A=L-LT, где L - треугольная матрица (т. е. матрица, по одну из сторонот диагонали которой находятся одни нули). Алгоритм Холецкого реализован во встроенной функцииCHOLESKY.

-CHOLESKY (А) - разложение Холецкого;

А - квадратная, положительно-определенная матрица.

 

2.5.2 QR-разложение

 

QR-разложением матрицы А называется разложение вида A=Q-R, где

Q - ортогональная матрица, a R - верхняя треугольная матрица.

- QR (A) - QR-разложение;

А - вектор или матрица любого размера.

Результатом действия функции QR(A) является матрица L, составленная изматриц Q и R соответственно. Чтобы выделить сами матрицы QR-разложения,необходимо применить функцию выделения подматрицы SUBMATRIX.

 

2.5.3 LU-разложение

 

LU-разложением матрицыА, или треугольным разложением, называетсяматричное разложение вида P-A=L-U, где L и U - нижняя и верхняя треугольные матрицы соответственно. Р,А,L,U- квадратные матрицы одного порядка.

- LU(A) - LU-разложение матрицы; А - квадратная матрица.

Это разложение матрицы СЛУпроизводится при ее решении численным методом Гаусса.

Функция LU-разложения, подобно предыдущей функции QR-разложения,выдает составную матрицу. Выделить матрицы P,L, и несложно при помощи встроенной функцииSUBMATRIX.

 

2.5.4 Сингулярное разложение

 

Сингулярным разложением (SINGULARVALUEDECONPOSITION) матрицы А размера(nxm) (причем n>m) является разложение вида A=U-S-VT, где u и v - ортогональные матрицы размером (nxn) и (mxm) соответственно,

AS - диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на диагонали.

- SVDS (A) - вектор, состоящий из сингулярных чисел;

- SVD (A) - сингулярное разложение;

А - действительная матрица.

 

 

2.6 Элементарная теория линейных операторов.

Пусть заданы линейные пространства Х и У. Правило, по которому  каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент, называется оператором, действующим в линейных пространствах Х, У. результат  действия оператора А на элемент х обозначают у=Ах или у=А(х).

Если элементы х и у связаны соотношением  у=Ах, то у называют образом элемента х, а х – прообразом у.

          Множество элементов линейного  пространства Х,  для которых  определено действие оператора  А, называют областью определения  оператора А и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства У, которые являются образами элементов из D(A), называют образом оператора А и обозначают Im(A). Если у=Ах, то

Оператор А, действующий в линейных пространствах Х, У называется линейным оператором, если

 

 

для любых u,vи Xи для любого числа a.

Если пространства Х и У совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве Х. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве Х.

Линейный оператор и его матрица.

Переход к другому базису.

          Рассмотрим линейный оператор  А, действующий в конечномерном  линейном пространстве Х, dim (X)=n, и пусть E1, E2, …, En, - базис в Х. Обозначили через  АЕ1=(а11, а21,…,аn1),АЕ2=(а12, а22,…,аn2),…, АЕn=(а1n, а2n,…,аnn)образы базисных векторов E1, E2, …, En.

 

Матрица(), столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

          Доказано, что каждому линейному  оператору действующем в n-мерном линейном пространстве Х, отвечает единственная матрица порядка n; и обратно – каждая квадратная матрица порядка nзадает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.

          При изменении базиса  линейного  пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве  Х произошел переход от базиса 

Е={E1, E2, …, En} к базисуF={F1, F2, …, Fn}. Связь между матрицей АЕ оператора А в базисе Е и матрицей АF этого оператора в базисе Fзадается формулой

.

Здесь и – матрица перехода от базиса Е к базису F и обратная к ней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Применение MATHCAD в решении  задач

 

Задача 1

 

Оператор А, действующий в линейном пространстве Х4, задан своей матрицей (А). Найти координаты образа вектора X=(1 2 2 2)T.

В линейном пространстве Х4 введен новый базисЕ1=(1 0 0 0)Т; Е2=(1 1 0 0)Т; Е3=(1 1 1 0)Т; Е4=(1 1 1 1)Т. Найти координаты вектора Х, координаты образа y=AX и матрицу оператора в новом базисе.

 

 

1) Ввела заданную матрицу (А) и вектор Х

 

2) Вычислила координаты образа АХ вектора Х

 

 

 

 

3) Ввела матрицу Р перехода  к новому базису в пространстве  Х4 и нашла обратную ей

 

4) Нашла координаты вектора  Х в новом базисе, матрицу оператора  в новом базисе и координаты образа АХ в новом базисе

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

ВыполнитьразложениеХолецкого для матрицы А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

ВыполнитьQR-разложение для матрицы А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

ВыполнитьLU – разложение для матрицы А.

 

Задача 5 

 

         Выполнить сингулярное разложение  для матрицы А.

 

1. Сингулярные числа и собственные значения невырожденной матрицы

 

 

 

 

2) Сингулярное разложение сингулярной матрицы

3)Проверка сингулярного разложения

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Цель моей работы достигнута: я познакомилась  с такой системой компьютерной математики как - MATHCAD.

Рассмотрела основные понятия и функции этой системы.Научилась делать разные матричные преобразования и вычисления в MATHCAD.

Задачи, решаемые в MATHCAD, можно условно разделить на два класса. Первый — это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицами. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. п. Второй класс — это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников 

 

1. Кирьянов, Д.В. Самоучитель MATHCAD/Д.В. Кирьянов - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с.
2. Панферов, А.И. Применение MATHCAD в инженерных расчетах: Учеб.пособие./А.И. Панферов, А.В. Лопарев, В.К. Пономарев   - СПб., 2004. - 88 с.
3. Шушкевич, Г.Ч. Введение в MATHCAD 2000: Учебное пособие / Г. Ч. Шушкевич, С. В. Шушкевич. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 138 с.
4. Дьяконов, В. MATHCAD 2000: Учеб.пособие/ В. Дьяконов – М.: Наука.2002.
5. Плис, А.И.,MATHCAD 2000 математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб.пособие /А.И. Плис, Н.А.Сливина – М.: Финансы и статистика, 2002.-656.
6. Иванов, В.В. Методы вычислений на ЭВМ: / В.В. Иванов -СПб.:Киев, Наука, 1986. - 584 с.
7. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов эконом.спец. вузов:/И.Л. Акаулич— М.: Высш. шк., 1986.
8. Воеводин, В.В. Линейная алгебра: / В.В. Воеводин – М.: Наука, 1980.
9. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике: / Л.А. Кузнецов – М.: Высшая школа, 1994.
10. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры:/ А.И. Мальцев – М.: Наука, 1970.