Матричные вычисления в MatCad

Введение

 

После окончания второй мировой войны потребность в быстроте математических расчетов привела к созданию компьютеров. Но широкого применения первые поколения таких машин не получили. Они были дорогие и большие по размерам, а потому доступны лишь некоторым специалистам. С развитием микроэлектроники появились специализированные, предназначенные для математических расчетов миниатюрные компьютеры личного пользования — программируемые калькуляторы. Они широко применяются и сейчас. Однако в последние годы массовое распространение получили куда более мощные, быстрые и универсальные персональные компьютеры (ПК), имеющие превосходные графические возможности и используемые практически во всех сферах науки, производства, бизнеса и образования.

Основной областью применения ПК и поныне являются математические и научно-технические расчеты. Бесспорным лидером среди массовых ПК стали IBM-совместимые ПК 486DX/Pentium/PentiumMMX/PentiumPro/PentiumII, называемые так по типу используемых в них микропроцессоров. Само по себе появление компьютеров не упрощало математические расчеты, а лишь позволяло резко повысить скорость их выполнения и сложность решаемых задач. Пользователям ПК, прежде чем начинать такие расчеты, нужно было изучать сами компьютеры, языки программирования и довольно сложные методы вычислений, применять и подстраивать под свои цели программы для решения расчетных задач на языках Бейсик или Паскаль. Поневоле ученому и инженеру, физику, химику и математику приходилось становиться программистом. В связи с этим, на основании ПК были и ориентированы современные математические системы.

В настоящее время при решении прикладных задач специалистами всего мира широко используются программные системы компьютерной математики универсального типа (MATHCAD,MATHLAB,MATHEMATICA,Maple и др.), знание таких систем существенно облегчает получение конечного результата, его  графическое представление.

Моя курсовая работа посвящена изучению такой системе компьютерной математики как MATHCAD и функций, используемых в MATHCAD  для матричных вычислений.

Широкую известность и заслуженную популярность еще в середине 80-х годов приобрели интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MATHCAD, разработанные фирмой MATHSOFT (США). По сей день, они остаются единственными математическими системами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Роль главной математической системы для большинства пользователей по-прежнему осталась за MATHCAD. Системы этого класса отличаются от других систем простотой, удобным пользовательским интерфейсом и тщательно продуманными, отобранными и ориентированными на нужды большинства пользователей математическими возможностями.

Объект: матричные вычисления в  MATCAD.

          Предмет: процесс решения задач с помощью MATCAD.

Задачи:

1. Изучить системуMATHCAD.
2. Определить основные функции MATHCAD.
3. Научиться решать задачи с помощью матричных вычислений в MATHCAD.

После выполнения поставленных задач, цель моей курсовой работы будет выполнена.

 

 

 

 

1. MATHCADи его основные понятия

 

MATHCAD — математически ориентированные универсальные компьютерные системы. Помимо собственно вычислений они позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С их помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, они, кроме того, облегчают набор самых сложных математических формул и дают возможность представления результатов, в изысканном графическом виде.

В последнее время особый интерес проявляется к системам компьютерной алгебры, способным выполнять не только числовые, но и аналитические вычисления. Отличительной чертой интегрированных математических систем MATHCAD является подготовка документов, которые объединяют задание исходных данных, математическое описание их обработки и результаты вычислений (в виде числовых данных, таблиц и графиков). Вид документа в MATHCAD почти ничем не отличается от вида научной статьи. Удачно решена в MATHCAD проблема передачи изменений числовых данных в формулах по всей цепочке вычислений. К средствам новых версий MATHCAD относятся настройка под любой мало-мальски известный тип печатающего устройства, богатый набор шрифтов, возможность использования всех инструментов WINDOWS, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. А в версию MATHCAD 8.0 PRO включены эффективные средства цветового оформления документов, создания анимационных (движущихся) графиков и звукового сопровождения. Тут же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с мощным вычислительным потенциалом. Предусмотрена и возможность объединения с другими мощными математическими и графическими системами для решения особо сложных задач. Отсюда и название таких систем — интегрированные системы.                                                                                                                                  Системы реализуют типовые и весьма обширные возможности WINDOWS, включая доступность множества шрифтов, поддержку всех типов принтеров, одновременное выполнение нескольких разнохарактерных задач. В режиме редактирования возможна одновременная работа с восемью документами (точнее, с восемью окнами, из которых лишь одно является активным).         Предусмотрен импорт любых графических изображений — от простых и специальных графиков функций до многокрасочных репродукций художественных произведений. Введены средства анимации рисунков и проигрывания видеофайлов со звуковым стереофоническим сопровождением. Это значительно улучшает визуализацию самых сложных расчетов.

Особый интерес представляют встроенные в систему электронные книги, содержащие справки (математические формулы), иллюстрации и примеры применения системы по ряду разделов математики, механики, физики, электротехники и радиотехники, а также по интерфейсу системы. Можно выделить нужную справку — формулу или рисунок — и перенести ее в текст документа.

Практика использования и тенденции развития системы MAHTCAD показывают, что дешевые системы MATHCAD также весьма хорошо приспособлены к решению широкого спектра задач линейной алгебры, составляющих основу многих прикладных задач. В категории VectorandMATRIXвстроенных функций MATHCAD имеется большое число специальных матричных функций, предназначенных для задания и формирования матриц, действий над ними, определения их параметров и свойств, а так же для декомпозиции и разложения матриц.

 

 

 

 

 

 

 

2ВОЗМОЖНОСТИ И  ФУНКЦИИ MATHCAD В МАТРИЧНЫХ ИСЧИСЛЕНИЯХ

 

Матричные вычисления можно условно разделить на несколько типов. Первый тип - это простейшие действия, которые реализованы операторами и несколькими функциями, предназначенными для создания,объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. п..

Второй тип - это более сложные функции, которые реализуюталгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как решение системлинейных уравнений, вычисление собственных векторов исобственных значений, различные матричные разложения.

 

2.1Простейшие операции с матрицами

 

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MATHCAD в видеоператоров. Операторыпо смыслу максимально приближены к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MATHCAD.Векторы являются частным случаем матриц размерности (nx1), поэтому дляних справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только кквадратным матрицам (nxn)). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Непосредственное проведение векторных операций над строками, т. е. матрицами (1xn), невозможно; для того чтобы превратить строку в вектор, ее нужно предварительно транспонировать.

 

 

2.1.1 Транспонирование

 

Транспортированием называют операцию, переводящую матрицу размерности (nxm) в матрицу размерности (mxn) , делая столбцы исходной матрицы строками, а строки - столбцами.

Рисунок 1 - Транспонирования матриц.

 

Ввод символа транспонирования (TRANSPOSE) осуществляется с помощью панели инструментовMATRIX или нажатием клавиш <CTRL>+<!>.He забывайте,что для вставки символа транспонирования матрица должна находиться между линиями ввода.

 

2.1.2 Сложение

 

В MATHCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг издруга. Для этих операторов применяются символы <+> или <-> соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен суммесоответствующих элементов матриц-слагаемых.

 Рисунок 2 - Сложение и  вычитание матриц.

 

Кроме сложения матриц, MATHCAD поддерживает операцию сложения матрицы со скаляром. Каждый элемент результирующей матрицыравен сумме соответствующего элемента исходной матрицы и скалярнойвеличины.

Рисунок 3 -  Сложение матрицы со скаляром.

Результат смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед нейзнак минуса, как перед обычным числом.

Рисунок 4 - Смена знака матрицы.

 

2.1.3 Умножение

 

При умножении следует помнить, что перемножать матрицы можно только если их размерности (mxn) и (nxp) (р - может быть любым). В результате получается матрица размерности (mxp).

Символ умножения, ставится нажатием клавиши со звездочкой <*>или на панели инструментов MATRIX, нажавкнопку DOT PRODUCT (умножение). Умножение матриц обозначается точкой. Символ умноженияматриц можно выбирать точно так же, как и в скалярных выражениях.

Рисунок 5 - Умножения матриц.

 

Нужно знать, что попытка перемножить матрицы A и B несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а выражение в редакторе MATHCAD выделяется красным цветом. При установкекурсора мыши на это выражение, выходит сообщение о несовпадении числастрок первой матрицы числу столбцов второй матрицы.

Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на скалярную величину.

Рисунок 6 - Умножение матрицы на скаляр.

Символ умножения вводится так же, как и в случае умножения двух матриц. На скаляр можно умножать любую матрицу (mxn).

 

2.1.4 Определитель квадратной матрицы

 

Определитель (DETERMINANT) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы,нужно нажать кнопку DETERMINANT(определитель) на панели инструментовMATRIX. В результате  этого действия появляется место заполнитель, в который следует поместить матрицу.

Чтобы ввести символ определителя матрицы, нужно:

1) Переместить курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода (линии ввода - это вертикальный и горизонтальный отрезки синего цвета, образующие уголок,указывающий на текущую область редактирования).

2) Ввести оператор нахождения определителя матрицы.

3) Ввести знак равенства, чтобы вычислить определитель.

Рисунок 7 - Поиск определителя квадратной матрицы.

 

2.1.5Модуль вектора

 

Модуль вектора (VECTORMAGNITUDE) обозначается тем же символом, что и определитель матрицы. По определению, модуль вектора равен квадратномукорню из суммы квадратов его элементов.

Рисунок 8 - Поиск модуля вектора.

 

2.1.6 Скалярное произведение векторов

 

Скалярное произведение векторов (VECTORINNERPRODUCT) определяется как скаляр, равный сумме пoпарных прoизвeдeний соответствующих элементов.Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведениеимеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равноu-v= | u | * | v | -COSE. Если векторы ортогональны,их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом умножения. Для обозначения скалярного произведения пользователь также может выбирать представление оператора умножения.

Рисунок 9 - Скалярное произведение векторов.

 

Не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х,который является общеупотребительным символом векторного произведения.

С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разномурасставленные скобки полностью изменяют результат умножения.

 Рисунок 10 - Скалярные  умножения на третий вектор.

 

2.1.7 Векторное произведение

 

Векторное произведение (CROSSPRODUCT) двух векторов u и v с углом 0 междуними равно вектору с модулем |ui|-|v|-sin90, направленным перпендикулярноплоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х,который можно ввести нажатием кнопкиCROSS PRODUCT (векторное произведение) в панели MATRIX или сочетанием клавиш <CTRL>+<8>.

Рисунок 11- Векторное произведение.

 

 

2.1.8 Сумма элементов вектораи след матрицы

 

Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора. Для этогосуществует вспомогательный оператор, задаваемый кнопкой VECTOR SUM (сумма вектора) на панелиMATRIX или сочетанием клавиш <CTRL>+<4>. Этот оператор чаще оказывается полезным не в векторной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными выполняются операции суммирования диагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называютследом (TRACE) матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции TR-: