Математическое моделирование

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

Волгоградский государственный технический университет

Факультет подготовки инженерных кадров

Кафедра «Вычислительная техника»

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Компьютерное моделирование»

Реферат на тему: «Математическое моделирование».

Вариант No 9

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы АТЗ-121

No зач. книжки 12755979

Богачев Д.А.

 

Проверил:

ст. преподаватель Приходькова И.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волгоград 2015

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

1.1. Что такое математическое  моделирование

1.2. какие бывают

1.3.

Заключение

Список используемой литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Известно, что моделирование (в широком смысле) является основным методом исследований во всех областях знаний и научно-обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемых в различных сферах деятельности.

В настоящее время при создании чего- то нового требуют сокращения сроков и повышения качества этих работ. Эти требования можно обеспечить только применяя новые технологии проектирования, основанные на использовании методов математического моделирования и вычислительной техники. Современные технологии основываются как на опыте инженерной практики, так и на научных теоретических и экспериментальных исследованиях. Поэтому инженер должен уметь практически решать задачи, требующие применения современных математических методов. 

Математическое моделирование является сложной наукой, имеющей прикладной характер. Каковы же ее особенности на данном этапе развития науки вообще? Базируясь на работах [22, 24], рассмотрим философские аспекты моделирования, а точнее – общую теорию моделирования.

Методологическая основа моделирования состоит в упорядочении получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой. Объект (лат. objectum – предмет) – все то, на что может быть направлена

человеческая деятельность. 

В математическом моделировании большую роль играют следующие категории [22]: 

• Гипотеза – определенное предсказание, основывающееся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадках. В ходе специально поставленного эксперимента может быть проведена быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез.
• Аналогия – суждение о каком-либо частном сходстве объектов, которое может быть существенным и несущественным. Причем понятия существенности и несущественности, сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства или различия зависит от уровня абстрагирования и определяется конечной целью проводимого исследования. Аналогия имеет большое значение в качестве метода суждения при формулировании и проверке правильности гипотез. Аналогия связывает гипотезу с экспериментом, поскольку современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями.
• Модель – (лат. modulus – мера) – это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Иными словами, модели – удобные для исследования логические схемы, построенные на основе гипотез и аналогий, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений.

Говоря о математических моделях, Розенблюм и Винер подчеркивали [20], что формальная модель может быть разнородной совокупностью элементов, часть из которых изучена детально, т.е. конкретно и структурно, а другая часть – только исходя из соображений ее общей работоспособности, т.е. обобщено и функционально.

Известно много определений модели. Остановимся на некоторых из них [18]:

Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

 Это определение можно  заменить более кратким эквивалентом: Модель есть системное отображение  оригинала, на основании которого  могут быть введены следующие  дополнения: 

• моделирование – замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели путем проведения экспериментов над последней;
•   теория моделирования – теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями).

Одной из важнейших характеристик в определении модели является ее адекватность, которая зависит от цели моделирования и принятых критериев. Модель адекватна объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования поведения объектов или процессов, протекающих в реальных исследуемых системах, с регламентируемой точностью, удовлетворяющей выбранному критерию адекватности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Основные понятия математического моделирования

Математическое моделирование занимает особое место в различных отраслях науки и техники и, в частности, в машиностроении. Согласно работе [22] и др. под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S . Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S  во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определѐнные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S .

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования [2, 27, 28].

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем S, включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть также положено в основу структурного, алгоритмического, параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

Метод статистического моделирования (метод статисти-ческих испытаний, или метод Монте-Карло) – многократное воспроизведение процесса путѐм "прогонов" имитационной модели на ЭВМ с последующей статистической обработкой информации для нахождения характеристик исследуемого процесса. Метод особенно эффективен, когда параметры модели и полученные результаты моделирования являются случайными величинами или реализациями случайных функций. В последнее время метод применяется для машинной имитации технологических систем, подверженных случайным воздействиям, с целью оптимизации обработки по производительности и другим параметрам при обязательном условии обеспечения регламентируемых параметров качества обработки с заданной надѐжностью.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это, возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

Кибернетическое моделирование характеризуется тем, что в нѐм отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как "чѐрный ящик", имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между ними. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды [8]. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения имитационной модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести на имитационной модели данную функцию, причѐм на базе совершенно иных математических соотношений и, естественно, иной физической реализации процесса [22 и др.].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Основные принципы  построения математических моделей

Если цель моделирования ясна, то сразу возникает проблема построения модели. Эта проблема оказывается разрешимой, если имеется информация или выдвинуты гипотезы относительно структуры, алгоритмов и параметров исследуемого объекта. К настоящему времени является общепризнанным, что технологический процесс современного машиностроительного производства представляет собой сложную систему, так как в общем случае он может включать совокупность различных механических, термомеханических, физико-химических, ионно-лучевых и др. превращений, а также организационно-технических мероприятий, приводящих к получению материалов, заготовок, деталей машин с заданными свойствами. В качестве элементов такие системы включают как детали, инструменты, средства оснащения, измерения и др. объекты, так и реакции, явления, эффекты и др. элементарные процессы. Все это соответствует такому общему понятию, как система – совокупность определенным образом упорядоченных элементов. Взаимосвязанные и взаимодействующие между собой  и внешней средой элементы объединяются в единое целое по некоторым общим признакам. Сущность системы и ее функций невозможно понять, рассматривая только свойства ее отдельных элементов и не учитывая их внутренних связей и взаимодействия с окружающей средой.

Системный подход к исследованию и описанию технологических процессов основан на декомпозиции системы на более простые подсистемы, взаимодействующие между собой, раздельном изучении их структуры и функций с последующим синтезом полученных сведений. При синтезе учитываются выявленная иерархия процессов по масштабам области действия, их пространственное расположение и временная последовательность, а также синергетические эффекты, общее действие которых превышает кажущуюся сумму отдельно взятых воздействий [15].

Составляющие сложный процесс элементарные явления протекают в областях, масштабы которых различаются от низшего (уровень атомов и молекул) до высшего (уровень технологической системы, участка или производства). Эта особенность находит отражение в иерархической структуре модели, которую целесообразно строить путем последовательного перехода в описании процесса с одного уровня на другой.

Атомный или молекулярный уровень описывает физико-химические процессы микрокинетики, протекающие в областях, имеющих масштаб расстояний между атомами. Уровень частиц малого объема описывает процессы в масштабе отдельных включений, фаз, структур и т.п. для неоднородной (негомогенной) технологической среды. Эти два уровня должны дополняться явлениями макрокинетики: тепло- и массопереноса, упругости и пластичности в однородной (гомогенной) среде с изотропными и анизотропными свойствами.