Линейные модели

 

 

Содержание

   

     Введение 

1. Постановка задачи и исходные данные
2. Расчет параметров линейной модели
3. График линейной модели
4. Расчет параметров нелинейной модели
5. График нелинейной модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Формализованные математические модели отражают закономерности протекания каких-либо процессов. Являясь формальным описанием, математическая модель позволяет изучить влияние управляемых параметров на ход процесса и обоснованно выбрать их с целью достижения наилучшего результата.

Основным источником для построения формализованных математических моделей являются опытные данные экспериментов, проводимых на лабораторных установках или действующем оборудовании. Опытные данные получаются с помощью специальных датчиков и затем обрабатываются. В результате обработки получают формальную математическую зависимость выходных характеристик процесса от управляемых параметров.

В данной работе проводится построение математических моделей процессов, изучаемых пассивным экспериментом. Пассивный эксперимент сводится к фиксации значений интересующих исследователей величин. В ходе пассивного эксперимента нет возможностей для изучения в широких пределах интересующего исследователя процесса, но он не требует особых затрат на создание специальных лабораторных установок.

Опытные данные, полученные в ходе пассивного эксперимента, обрабатываются для получения функциональной зависимости характеристик процесса от ряда параметров:

у =  f (х1, х2, …хn),

где у – выходная (зависимая) переменная, отражающая исследуемую характеристику процесса (эта переменная называется откликом);

х1, х2, …хn  - независимые (входные) переменные, представляющие собой управляемые параметры процесса (эти переменные называются факторами).

Выходная переменная (отклик) характеризует результаты процесса, а входные переменные (факторы) оказывают существенное влияние на ход процесса и их учет при построении математической модели является обязательным.

1. Постановка задачи и исходные  данные

 

По данным наблюдений, полученных при выполнении пассивного эксперимента (таблица 1), построить математические модели технологического процесса:

А) линейного вида ;

В) нелинейного вида ,

где  - независимые переменные (факторы),

        (q = 5) – наблюдения зависимой переменной (отклика).

Для оценки ошибки воспроизводимости в каждой из десяти точек эксперимента (i  = 10) выполняется пять (q = 5) повторных измерений откликов уiq при фиксированных значениях факторов xi1 и xi2.

 

Таблица 1

Значения переменных и значения наблюдений

i	X1	X2	У1	У2	У3	У4	У5
1	2,47	2,33	22,08	22,11	22,13	22,10	22,08
2	3,23	1,04	24,56	24,60	24,61	24,62	24,61
3	2,37	2,57	22,06	22,10	22,13	22,12	22,09
4	3,11	1,11	23,73	23,67	23,74	23,68	23,68
5	2,89	0,90	21,11	21,16	21,14	21,15	21,14
6	3,17	1,24	24,63	24,66	24,65	24,67	23,64
7	2,98	1,46	23,60	23,58	23,65	23,64	23,58
8	2,35	2,23	20,93	20,92	20,95	20,97	20,98
9	3,26	1,00	24,76	24,77	24,75	24,77	24,75
10	3,03	1,28	23,48	23,51	23,50	23,52	23,54

 

 

Порядок выполнения работы

1. Расчет средних значений отклика и дисперсии в каждой точке
2. Оценка статистической значимости различий
3. Расчет параметров линейной модели технологического процесса и построение графика
4. Расчет параметров нелинейной модели и построение графика
5. Оценка адекватности моделей реальному процессу

 

Для вычисления коэффициентов уравнений регрессии (параметров модели) используется метод наименьших квадратов. Принцип, положенный в его основу, заключается в нахождении таких коэффициентов уравнения, которые обеспечивают минимум суммы квадратов отклонений экспериментальных значений от значений, полученных по уравнению регрессии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет параметров линейной  модели

Формируем таблицу, содержащую исходные данные и блоки для расчета промежуточных результатов. Используя встроенные статистические функции СРЗНАЧ, ДИСП, МАКС и др. рассчитываем среднее значение откликов (столбец уср) в каждой из 10 точек (i  = 10) и дисперсии di.

Формулы математической статистики, по которым происходит вычисление среднего значения отклика и дисперсии повторных измерений в i – ой точке имеют вид:

      (1)

     (2)

 

i	X1	X2	У1	У2	У3	У4	У5	Уср.	di
1	2,47	2,33	22,08	22,11	22,13	22,10	22,08	22,10	0,000450
2	3,23	1,04	24,56	24,60	24,61	24,62	24,61	24,60	0,000550
3	2,37	2,57	22,06	22,10	22,13	22,12	22,09	22,10	0,000750
4	3,11	1,11	23,73	23,67	23,74	23,68	23,68	23,70	0,001050
5	2,89	0,90	21,11	21,16	21,14	21,15	21,14	21,14	0,000350
6	3,17	1,24	24,63	24,66	24,65	24,67	23,64	24,45	0,205250
7	2,98	1,46	23,60	23,58	23,65	23,64	23,58	23,61	0,001100
8	2,35	2,23	20,93	20,92	20,95	20,97	20,98	20,95	0,000650
9	3,26	1,00	24,76	24,77	24,75	24,77	24,75	24,76	0,000100
10	3,03	1,28	23,48	23,51	23,50	23,52	23,54	23,51	0,000500
							∑ di =		0,210750
							Max di =		0,205250
							G =		0,973903
							dcp =		0,021075

 

 

Определяем максимальное значение дисперсии и сумму дисперсий. Рассчитываем значение показателя .

G = 0,973903 = 0,97

Выполняем проверку однородности, определяя по таблице значение критерия Кохрена GP(n, f) при уровне значимости Р = 0.05 для n = 10, f = q – 1 = 5 – 1 = 4:

G(10, 4) = 0,331

G < G(10, 4),  т. е. 0,97 < 0,331 – исходные данные требуется откорректировать, так как данные эксперимента неоднородны.

 

Меняем данные в столбце У5, в строке 6, т.к. там выявлена самая высокая дисперсия 0,205250.

i	X1	X2	У1	У2	У3	У4	У5	Уср.	di
1	2,47	2,33	22,08	22,11	22,13	22,10	22,08	22,10	0,000450
2	3,23	1,04	24,56	24,60	24,61	24,62	24,61	24,60	0,000550
3	2,37	2,57	22,06	22,10	22,13	22,12	22,09	22,10	0,000750
4	3,11	1,11	23,73	23,67	23,74	23,68	23,68	23,70	0,001050
5	2,89	0,90	21,11	21,16	21,14	21,15	21,14	21,14	0,000350
6	3,17	1,24	24,63	24,66	24,65	24,67	24,64	24,65	0,000250
7	2,98	1,46	23,60	23,58	23,65	23,64	23,58	23,61	0,001100
8	2,35	2,23	20,93	20,92	20,95	20,97	20,98	20,95	0,000650
9	3,26	1,00	24,76	24,77	24,75	24,77	24,75	24,76	0,000100
10	3,03	1,28	23,48	23,51	23,50	23,52	23,54	23,51	0,000500
							∑ di =		0,005750
							Max di =		0,001100
							G =		0,191304
							dcp =		0,000575

 

G < G(10, 4),  т. е. 0,191 < 0,331 – исходные данные не требуется корректировать, так как данные эксперимента однородны.

 

Вычисляем среднее значение дисперсии dср:

dср=0,000575

 

 

Построение линейного уравнения

Для линейного уравнения регрессии вектор искомых коэффициентов А рассчитываем в Excel (используя средства матричной алгебры электронных таблиц) по формуле:

По расчетам получено значение коэффициентов модели:

а0 = -6,350

а1 = 8,526

а2 = 3,202

Рассчитанное по экспериментальным данным значение критерия Фишера = 15,23 много больше табличного значения F(6, 40) = 2,34.

Из этого следует, что полученная модель    

не соответствует данным эксперимента. Модель неадекватна.

 

 

Расчеты линейной модели в Excel:

	Х			yср
1	2,47	2,33		22,10		22,17		0,01
1	3,23	1,04		24,60		24,52		0,01
1	2,37	2,57		22,10		22,09		0,00
1	3,11	1,11		23,70		23,72		0,00
1	2,89	0,90		21,14		21,17		0,00
1	3,17	1,24		24,65		24,65		0,00
1	2,98	1,46		23,61		23,73		0,02
1	2,35	2,23		20,95		20,83		0,01
1	3,26	1,00		24,76		24,65		0,01
1	3,03	1,28		23,51		23,58		0,01
				ХТ
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2,47	3,23	2,37	3,11	2,89	3,17	2,98	2,35	3,26	3,03
2,33	1,04	2,57	1,11	0,90	1,24	1,46	2,23	1,00	1,28
	ХТХ				(ХТХ)-1			ХТ·уср
10	28,86	15,16		79,51	-21,34	-11,76		231,12
28,86	84,435	41,9188		-21,34	5,78	3,07		670,9073
15,16	41,9188	26,438		-11,76	3,07	1,92		345,8149
			А=(ХТХ)-1(ХТуср)
			-6,350
			8,526
			3,202