Лекции по "Развитию операционных систем"

Лекция 4.

 

п.4.  Отображения (функции).

 

Функции играют центральную роль в математике, где они используются для описания любых процессов, при которых элементы одного множества каким-то образом переходят в элементы другого. Такие преобразования элементов – фундаментальная идея, имеющая первостепенное значение для всех вычислительных процессов.

 

Определение 4.1.  Отношение f на A´B называется отображением (функцией) из A в B, если для каждого xÎA существует один и только один yÎB.

f: A®B   или   y=f(x)

 

Множество A называется областью определения. Множество B – областью значений.

Если y=f(x), то x называют аргументом, а y – значением функции.

Пусть f: A®B, тогда

множество определения функции:     ;

множество значений функции:          .

Множество определения функции является подмножеством области определения, т.е. Dom f ÍA, а множество значений функции является подмножеством области значений функции, т.е. Im f ÍB. Если , то функция называется тотальной, а если - частичной функцией. Так диаграмма Венна служит удобной иллюстрацией функции, определенной на множестве A со значениями в множестве B.

 

 

Способы задания функции:

   1) Словесный.

   2)  Аналитический.

   3)  С помощью графика, рисунка.

   4)  С помощью таблиц.

 

Определение 4.2.  Если MÍA, то множество f(M)={y| f(x)=y для некоторого x из M} называется образом множества M.

Если KÍB, то множество f -1(K)={x| f(x)ÎK} называется прообразом множества K.

 

Пример 4.1.  Дано отображение f: Q®Z, где f(x)=x3-5 для всех xÎQ. Найти:

   1)  образ элемента 1;

   2)  f -1(3); f -1(5).

Решение. 1)  Сначала надо убедиться, что 1ÎQ. Используем определение образа. Чтобы найти образ элемента, достаточно в отображение подставить вместо x число 1. Получаем, f(1)=13-5= - 4. - 4ÎZ. Значит, элемент 1 имеет образ, и он равен - 4.

2)  Сначала  убедимся, что 3ÎZ. Используем определение прообраза. Чтобы найти прообраз, вместо f(x) подставляем 3, и решаем уравнение: x3-5=3. Получаем, x=2. Причем 2ÎQ. Значит, f -1(3)=2.

По аналогии находим прообраз 5. Решаем уравнение x3-5=5, и получаем . Но ÏQ. Значит,  f -1(5)=Æ.                                                               Ответ:  1)  -4;  2)  2; Æ.

,

Определение 4.3.  Функция называется функцией n аргументов, или n-местной функцией. Такая функция отображает кортеж в элемент bÎB, .

 

 

Свойства отображений (функций).

1)  Отображение f: A®B называется инъективным, если оно различные элементы из A отображает в различные элементы из B: .

Это свойство можно показать с помощью диаграмм Венна.

 

 

2)  Отображение f: A®B называется сюръективным или отображением на все мно-жество B, если в каждый элемент множества B отображается хотя бы один элемент из A: .

Это свойство тоже можно показать с помощью диаграмм Венна.

3)  Отображение f: A®B, которое одновременно инъективно и сюръективно, называется биективным или взаимно однозначным отображением множества A на множество B.

 

Пример 4.2.  Пусть дано отображение f: R®R, которое определено таким образом, что . Выяснить, какими свойствами обладает это отображение.

Решение.  Даная функция инъективна, т.к. если f (x1) = f (x2), тогда и, следовательно, x1=x2.

Функция f является также сюръекцией. Для любого действительного числа y требуется найти такое x, что f (x)=y=3x+5. Решая это уравнение относительно x, находим, что если , тогда f (x)=y.

Поэтому f представляет собой взаимно однозначное соответствие. А, значит, является биекцией.

,

Пример 4.3.  Пусть дано отображение f: R®R, которое определено таким образом, что . Выяснить, какими свойствами обладает это отображение.

Решение.  Функция f не является инъективной, т.к. f (2)=f (-2), но 2¹ -2.

Функция f не является также и сюръективной, поскольку не существует такого действительного числа x, для которого f (x)= -1.

,

 

Определение 4.4.  Пусть f - биективное отображение множества A в множество B. Если поставить в соответствие каждому элементу из B связанный с ним элемент из A, то такое соответствие является отображением B в A. Это отображение обозначается и называется отображением, обратным отображению f.

 

Обратное отображение обладает некоторыми свойствами, которые сформулируем в следующей теореме.

 

Теорема 4.1.  Если f: A®B – биекция, то

   1)  для любого y из B;

   2)  для любого x из A.

Доказательство.  1)  Пусть yÎB и . Тогда f(x)=y. Но поскольку , то .

2)  Аналогично доказывается, что  для любого x из A.

■

Определение 4.5.  Композицией (суперпозицией, произведением) отображений f: A®B и g: B®C называется отображение h: , которое записывается h=g o f.

Такой способ записи суперпозиции функций объясняется тем, что обозначение функции принято писать слева от списка аргументов: .

 

Пример 4.4.  Рассмотрим две функции и . Найти: .

Решение.  Все четыре новые функции определены на R со значениями в R.

;

;

;

.

,

Отображение глубоко изучается в математике, а если точнее, то в таком разделе, как математический анализ. Функции стали широко использоваться и в современных языках программирования, что дало возможность выделить вычисления в подпрограммы.

Кроме того, функции стали использоваться для описания многих процессов в машиностроении. Например, величину размерного износа инструмента можно задать как функцию следующих параметров:

,

где L – длина пути резания, м;

      V – скорость резания, м/мин;

     - соответственно твердость и ударная вязкость материала заготовки и инструмента;

     t – температура в зоне резания;

     k – коэффициент трения.

 

С помощью функций можно описать различные виды технологических взаимосвязей в производственной системе промышленного предприятия. Производственную систему можно разделить на отдельные элементы (части), которые подчинены одной основной задаче – обеспечению эффективного функционирования предприятия в целом. Важной особенностью элемента является его тесное взаимодействие с другими частями системы. В производственной системе это взаимодействие осуществляется:

1)  либо на основе последовательного осуществления части функций над предметами труда, выполняемой системой в целом, вплоть до получения готового продукта;

2)  либо на основе  комплексной переработки одинакового  сырья и получения из него  разнообразных продуктов;

3)  либо путем параллельного выполнения однородных (но не одинаковых) функций по обработке многих исходных материалов и получения из них частей готового продукта.

Поэтому производственные системы можно разбить на три вида.

 

Схема технологических взаимосвязей в производственной системе первого вида

 

 

В системе первого вида вход каждого последующего (по ходу процесса) элемента совпадает с выходом предыдущего, вход первого элемента совпадает с входом системы, а выход последнего – с выходом системы. Примером системы первого вида является металлургический завод с полным производственным циклом. Так, теплота раскаленного жидкого чугуна, полученного в доменном цехе, используется в качестве одного из источников теплоты в сталеплавильном производстве, а тепло раскаленных слитков затем используется при нагреве их под прокатку в прокатном цехе.

Многократное использование части ресурсов диктует необходимость максимального сокращения перерывов в процессе обработки предметов труда при переходе от одной стадии к другой. Это достигается сосредоточением всех элементов в одной системе при максимальной пространственной близости их друг от друга, что обеспечивает высокую эффективность деятельности системы в целом.

 

Схема технологических взаимосвязей в производственной системе второго вида

 

 

Для производственных систем второго вида характерно наличие многих выходов при одном входе. Примером такой системы является химический комбинат, использующий в производственном процессе сырье одного вида (уголь, нефть, природный газ, древесину) для одновременного выпуска многих видов продукции (кокс, газ, смола, сера, горючие, смазочные материалы и др.). В этом случае в наибольшей степени используется эффект глубины переработки сырья.

 

Схема технологических взаимосвязей в производственной системе третьего вида

 

 

Для производственных систем третьего вида характерно применение одновременно нескольких различных видов сырья, материалов, способов и методов их обработки, т.е. многих входов при одном выходе. Пример такой системы – машиностроительное предприятие. Если рассматривать машиностроительный процесс в целом, то в нем можно выделить три последовательные стадии получения из исходных материалов готового продукта: заготовительную (первичное формоизменение материала), обрабатывающую (получение готовых деталей из заготовок) и сборочную (соединение отдельных деталей в узлы и готовое изделие – машину). Отличие от систем первого вида состоит в том, что применяются самые различные виды исходных материалов и способов их первичной обработки. Заготовки из металла могут быть получены путем либо литья (отливки), либо давлением (поковки, штамповки), либо механической или огневой резки. Дальнейшая обработка заготовок (механическая, термическая и др.) осуществляется также в различной последовательности и различными рабочими инструментами и машинами. Кроме того, отдельные части изделия (узлы, агрегаты) могут собираться в отдельных цехах таким образом, чтобы быть готовыми к началу сборки изделия в целом. Характерной особенностью такой системы является наличие нескольких параллельных входов и выходов у каждого из элементов. Так, литейных цех может подавать заготовки одновременно нескольким механическим цехам, а каждый механический цех может получать их как из нескольких однородных и разнородных цехов своего предприятия, так и «со стороны», т.е. непосредственно с входа системы.

В элементах производственной системы третьего вида не создаются дополнительные полезные свойства веществ (помимо свойств промежуточного продукта), которые можно было бы использовать в последующих стадиях процесса на том же предприятии. Более того, нередко свои основные свойства промежуточный продукт (как выход предыдущего элемента) не может приобрести до тех пор, пока не выделит часть затраченных ранее ресурсов (главным образом энергии) в окружающее пространство. Например, отливки и поковки приобретают свои свойства как заготовки лишь после полного остывания. Это обстоятельство обусловливает прерывный (дискретный) характер процесса, в котором выход предыдущего элемента не может быть совмещен во времени с выходом последующего.

Дискретный характер процесса создает объективные предпосылки для выделения из системы этого вида однородных элементов в обособленные специализированные предприятия, изготовляющие промежуточные продукты для многих систем, где они потребляются в виде исходных материалов (заготовок, деталей, комплектующих изделий) при изготовлении конечных продуктов. А это, в свою очередь, служит основным условием непрерывного технического процесса.