Контрольная работа по "Информатике"

 

Задание 2. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁ S₂ и S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице:

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных  веществ	Число единиц питательных  веществ в 1 кг корма
		I	II
S1 S2 S3	9 8 12	3 1 1	1 2 6

 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить  дневной рацион, имеющий минимальную  стоимость.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение:

На основе имеющихся данных составим целевую функцию и систему  ограничений. За х₁ примем количество I вида корма, за х₂ – количество II вида корма.

Так как необходимо минимизировать стоимость дневного рациона, то целевая  функция будет выглядеть следующим  образом:

F(x) = 4x₁ + 6x₂ → min

Дневной рацион должен содержать  питательные вещества каждого вида не менее установленного предела, система  ограничений будет следующей:

3х₁ + 1х₂ ≥ 9, (ограничение по питательному веществу S₁)

1х₁ + 2х₂ ≥8, (ограничение по питательному веществу S₂)

1х₁ + 6х₂ ≥12, (ограничение по питательному веществу S₃)

х₁ ≥0; х₂≥0 (условия неотрицательности переменных) 

  Строим  область допустимых решений.

Прямые ограничения означают, что  область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы  координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

I. 3x₁ + x₂=9;

II. x₁ +2x₂=8;

III. x₁ +6x₂=12.

Для этого найдем по две точки  каждой прямой, решив данные уравнения.

3х₁ + х₂ = 9; 3х₁ + х₂ – 9 = 0

При х₁ = 0 х₂ = 9; при х₂ = 0 х₁ = 3

Данную прямую построим по двум точкам (0; 9) и (3; 0); обозначим на графике цифрой I. (рис. 10)

Рис. 10.

х₁ + 2х₂ = 8; х₁ + 2х₂ – 8 = 0

При х₁ = 0 х₂ = 4; при х₂ = 0 х₁ = 8

Построив данную прямую по двум точкам (0; 4) и (8; 0), обозначим на графике цифрой II.

х₁ + 6х₂ = 12; х₁ + 6х₂ – 12 = 0

При х₁ = 0 х₂ = 2; при х₂ = 0 х₁ = 12

Построив данную прямую по двум точкам (0; 2) и (12; 0), обозначим на графике цифрой III.

Так как уравнения системы  ограничений имеют знак неравенства, то ответом для каждого из них  будет являться полуплоскость. Нужную найдем по правилу контрольной точки.

Подставим в неравенство 3х₁+х₂=9 координату контрольной точки (0;0)

0 ≠9

Неравенство неверно, поэтому  выбираем ту полуплоскость, где не находится  контрольная точка.

Подставим координаты (0; 0) в неравенство х₁ + 2х₂ = 8; 0 ≠8

Неравенство неверно, поэтому  выбираем ту полуплоскость, где не находится  контрольная точка.

Подставим координаты (0; 0) в неравенство х₁ + 6х₂ = 12; 0 ≠12

Неравенство неверно, поэтому  выбираем ту полуплоскость, где не находится  контрольная точка.

Построим все прямые из системы ограничений в системе  координат и заштрихуем области  решения каждого неравенства (полуплоскости). Все заштрихованные зоны уравнений  системы ограничений пересекаются в области допустимых решений (ОДР). Обозначим вершины ОДР латинскими буквами ABCD.

Далее строим линию уровня. Для этого приравняем целевую  функцию к постоянной величине a: 4х₁ + 6х₂ = а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня.

Пусть а = 36, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 4х₁ + 6х₂ = 36.

Если х₁ = 0, то 0 + 6х₂ = 36; 6х₂ = 36; х₂ = 6

Получены координаты первой точки линии уровня Е (0; 6).

Если х₂ = 0, то 4х₁ + 0 = 36; 4х₁ = 36; х₁ = 9

Получены координаты второй точки линии уровня F (9; 0).

Через эти точки проведем линию уровня F(x) = 4х₁ + 6х₂ – 36 = 0

Строим вектор-градиент, по которому определяем направление  поиска минимума функции. Координатами вектора является начало координат (0; 0) и коэффициенты при переменных в целевой функции (4; 6).

Так как в нашей задаче необходимо найти минимум функции, то будем двигать линию уровня параллельно самой себе против направления  вектора-градиента до пересечения  с самой низкой точкой ОДР. Этой точкой является В, где и находится минимум целевой функции.

Для определения точных координат  точки В совместно решим систему уравнений прямых (I и II), при пересечении которых получена данная точка.

3х₁ + х₂ = 9, х₂ = 9 – 3х₁, х₂ = 9 – 3х₁, х₂ = 9 – 3х₁,

х₁ + 2х₂ = 8; х₁ + 2 (9 – 3х₁) = 8; х₁ + 18 – 6х₁ = 8; - 5х₁ = - 10;

х₂ = 9 – 3х₁, х₁ = 2,

х₁ = 2; х₂ = 3.

Координаты точки В (2; 3). Подставив их в уравнение целевой функции, получим искомый минимум:

F(x) = 4х₁ + 6х₂ = 4 * 2 + 6 * 3 = 8 + 18 = 26

Ответ. Для того, чтобы стоимость дневного рациона была минимальной, необходимо, чтобы в нем содержалось 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. Тогда минимальная стоимость дневного рациона будет составлять 26 ден. ед.

Если решать задачу на максимум, то есть находить максимальную стоимость  дневного рациона, то целевая функция  будет следующей:

F(x) = 4x₁ + 6x₂ →max.

Система ограничений при  этом не изменится. Линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении вектора-градиента. На графике видно, что в направлении  максимизации целевой функции ОДР  является незамкнутым выпуклым многоугольником. Поэтому целевая функция неограниченна  и задача не имеет решений, то есть           max F(x) = +∞;. Максимальная стоимость дневного рациона неограниченна.

Проверка правильности решения с помощью средств  MS Excel.

1. Введение исходных данных (рис.11).

Рис.11. данные введены.

2. Введем зависимость для целевой функции (рис.12).

Рис.12. введена зависимость для целевой функции.

3. Введем зависимости для ограничений (рис.13).

 
Рис.13. Введены зависимости для ограничений.

4. Запустим команду поиск решения (рис.14).

Рис.14. Введены все условия задачи.

5. Найдем решение. После нажатия кнопки Найти решение запускается процесс решения задачи (рис.15).

Рис.15. Решение получено.

Ответ. 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. Минимальная стоимость  дневного рациона будет составлять 26 ден. ед.

 

Задание 3. Крупная юридическая фирма использует ежедневно в среднем 30 упаковок копировальной бумаги. Фирма работает 260 дней в году. Годовая стоимость хранения бумаги оценивается в 20 руб. за упаковку. Оформление и получение заказа стоит 120 руб. Срок доставки бумаги  составляет 1 день. В настоящее время менеджер офиса использует объем заказа в 200 упаковок.

Определите  объем заказа, который даст минимальные  расходы, период поставок, точку заказа, затраты на управление запасами за год.

Порекомендуете  ли Вы менеджеру использовать оптимальный  объем заказа вместо 200?

Решение.

Параметры работы юридической  фирмы: М = 7800 уп./год; К = 120 руб.; h = 20 руб. за уп./год; Q = 200 уп.

Оптимальный объем заказа находится по формуле:

; уп.

Оптимальная периодичность  пополнения запасов находится по формуле: (дней)

Поскольку среднесуточный расход равен 30 уп. бумаги , точка восстановления запаса (уровень запасов, при котором делается новый заказ) составит 30*1=30 шт.

Затраты на управление запасами за год находятся по формуле:

 руб./год

На данный момент менеджер использует объем заказа 200 уп. При таком объеме заказа расходы на хранение и доставку заказа составят:

.

При оптимальном объеме заказа 306 уп. Расходы на хранение и доставку составят:

.

Отсюда видно, что использование  оптимального объема заказа увеличивает  издержки предприятия на 560 руб. в год, поэтому я бы не порекомендовала менеджеру использовать оптимальный объем заказа.

Задание 4. В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Т_ср мин. (значения l и Т_ср по вариантам даны ниже в таблице).

Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%?

№ варианта, задачи	Параметр l	Параметр Тср=1/μ
4.8	8	10

Решение. Вероятность отказа в обслуживании рассчитывается по формуле:

Р_отк=Р_n=Р₀ , где

P₀=; - нагрузка на систему.

Расчет нагрузки на систему (рис.16);

Рис.16. Расчет нагрузки на систему.

Расчет вероятности  Р₀  ячейке С5 без степени -1, для 1 числа канала (рис.17);

Рис.17. Расчет вероятности.

Рассчитаем вероятность  Р₀ для остальных каналов меняя в формуле 1 на ячейку С5, и скопируем для ячеек С6-С14 (рис.18)

Рис.18. Расчет вероятности Р₀.

Рассчитаем вероятность  Р₀ в ячейке D5 ставя ячейку С5 в степень -1, и скопируем формулу в ячейки D6-D14 (рис.19);

Рис.19. Расчет вероятности Р_0.

Рассчитаем вероятность  Р_отк в ячейке Е5, и скопируем формулу в ячейки Е6-Е14 (рис.20).

Рис.20. Расчет вероятности отказа в обслуживании.

Относительная пропускная способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена (рис.21),

 

Рис.21. Расчет вероятности обслуживания заявки.

Абсолютная пропускная способность А получим, умножая интенсивность потока заявок * на В (рис.22):

.

Рис.22. Расчет абсолютной пропускной способности.

Среднее число занятых каналов (рис.23);

.

Рис.23. Расчет среднего числа занятых каналов.

 

Рис.24. График вероятности отказа в обслуживании.

 

Рис.25.Расчет характеристик системы массового обслуживания.

Из графика на рис. 24 видно, что минимальное число каналов обслуживания, при котором вероятность обслуживания работника будет выше 85%, равно n=4.

 

Задание 5. Статистический анализ показал, что случайная величина Х длительности обслуживания клиента в парикмахерской следует показательному закону распределения с параметром μ, а число поступающих в единицу времени клиентов (с.в. У) - закону Пуассона с параметром l . Значения параметров l и μ повариантно даны ниже в таблице.

Получите  средствами MS Excel 15 реализаций с.в. Х и 15 реализаций с.в. У.

№ варианта, задачи	Параметр l	Параметр μ
5.8	2,3	1,0