Компьютерное моделирование инженерных задач

 

(Ф.И.О.)

1.Соответствие теме и  заданию

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Оценка качества выполнения  курсовой работы (полнота раскрытия  творческих вопросов, правильность  выполнения практических заданий, соответствие требованиям выполнения  и стандартам)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Замечания

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Допуск к защите

_____________________________________________________________________________________

(Решение о допуске, подпись преподавателя)

 

5. Защита курсовой работы

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Оценка___________________________

 

Руководитель курсовой работы______________________________(Фамилия, И.О.)

Дата защиты курсовой работы «_________»_________________20___ г.

Студент_________________________________

(подпись)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание

на выполнение курсовой работы

по дисциплине «ИНФОРМАТИКА»

 

Студенту           гр.

 

1.  Решить систему линейных уравнений порядка N=5 методом Гаусса, методом Крамера, методом обратной матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Обзор, обоснование и выбор численного метода решения.

2. Разработка формульно-словесного  алгоритма (ФСА), графического представления  алгоритма (БСА), контрольного расчёта  и программы.

3. Отладка и получение результатов.

4. Написание и оформление пояснительной  записки.

5. Технические средства отладки.

 

 

Срок представления пояснительной записки

к курсовой работе: «       »                 20       г.

 

 

 

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ

 

1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

 

Система уравнений вида

 

 

относится к разряду систем линейных алгебраических уравнений, где xi - неизвестные переменные            аij - постоянные коэффициенты при неизвестных

 bi - свободные члены уравнения.

Найти значения неизвестных переменных xi, при подстановке которых в уравнения системы (1) последние превращаются в верные тождества.

Система (1) имеет единственное решение, когда система определенная, совместная и однородная. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет множество решений. Система называется однородной, если все свободные члены равны 0.

Для решения СЛАУ существует две группы методов: точные и приближенные.

Точные методы дают точное решение за конечное количество шагов при условии, если вычисления выполняются без округления. Для приближенных методов количество шагов (итераций) зависит от заданной погрешности вычисления (0<ε<1).

Наиболее распространенные методы решения СЛАУ:

• метод Гаусса;
• метод Жордана-Гаусса;
• метод обратной матрицы;
• метод Крамера;
• Метод Зейделя;
• метод итерации и т.д.

С точки зрения составления алгоритма и программной реализации оптимальным является метод Гаусса (Жордана-Гаусса). Метод обратной матрицы и метод Крамера требуют большего количества операций (трудоемкость метода при увеличении числа неизвестных уравнений растет по экспоненте, поэтому их удобно реализовывать с помощью проблемно- ориентированных сред, в которых имеется инструментарий для работы с матрицей, например MS Excel или Pascal).

1. Метод Гаусса

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) основан на приведении исходной системы уравнений к ступенчатому треугольному виду:

Коэффициенты aij системы (2) определяются путём преобразования коэффициентов aij системы (1) по формулам:

а) для каждой из строк системы уравнений (2) вычисляется коэффициент

,                                           (3)

здесь k – номер ведущей строки;

б) для любой строки верно равенство

                                     ,                                  (4)

При приведении матрицы к ступенчатому виду допускаются следующие элементарные преобразования:

1. Перестановка уравнений местами.
2. Умножение коэффициентов и свободного члена уравнения на отличное от нуля число.
3. Сложение (вычитание) одного уравнения с другим предварительно умноженным на одно и то же, отличное от нуля число.

Данный процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Процесс нахождения неизвестных в методе Гаусса называется обратным ходом.

Для обратного хода:

Для любого xi выполняется следующее равенство

Алгоритм нахождения значений переменных xi, по методу Гаусса представляет собой последовательность шагов:

1. Ввод исходных данных.
2. Проверка условия: x11=0.
3. Если x11=0, перестановка уравнений местами.
4. Приведение матрицы коэффициентов при неизвестных к треугольному виду (2) и соответствующее преобразование матрицы свободных членов (прямой ход).
5. Нахождение корня хn.
6. Нахождение остальных корней (обратный ход).
7. Проверка на достоверность полученных результатов.

 

1.2 Решение СЛАУ по формулам Крамера

Система (1) линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричной форме в виде А*Х=В, где А - матрица коэффициентов при неизвестных уравнений системы, В - матрица (вектор-столбец правых частей уравнений системы), X- вектор-столбец неизвестных.

Если определитель Δ=detA матрицы системы А*Х=В отличен от нуля, то система имеет единственное решение (х1, х2, ..., х11), определяемое формулами Крамера                                                  где Δxi – определитель матрицы n-го порядка, полученной из матрицы системы заменой i-гo столбца столбцом правых частей системы (1).

Если же определитель матрицы равен нулю, то система не определена, и решение нужно искать другим методом.

3. Решение СЛАУ матричным способом (метод обратной матрицы).

Решение системы заключается в отыскании обратной матрицы. Решение существует только тогда, когда обратная матрица существует, то есть определитель исходной матрицы отличен от нуля. Решение СЛАУ находится по следующей формуле:

Х=А-1*В

Здесь X - вектор-столбец переменных хi, А-1 - матрица, обратная матрице А, В - вектор-столбец правой части системы уравнений (1).

1.4 Решение СЛАУ в MathCAD (Гаусс)

Рисунок 1 – Решение СЛАУ (Гаусс)

* Номер первой строки (столбца) матрицы или первого  компонента вектора хранится  в MathCAD в переменной ORIGIN.

Augment(A, В) формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних - матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк).

Rref(A) предназначена для приведения матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы

 

Шаг 1. Присваиваем переменной ORIGIN значение, равное единице.

Шаг 2. Вводим матрицу системы А и матрицу-столбец правых частей В.

Шаг 3. Формируем расширенную матрицу системы.

Шаг 4. Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

Шаг 5. Формируем столбец решения системы.

Шаг 6. Проверяем правильность решения.

Результаты решения приведены на рисунке 1.

 

1.5 Решение СЛАУ по формулам Крамера в MathCAD

Рисунок 2 - Решение СЛАУ (Крамер)

Шаг 1. Вводим матрицу системы А и столбец правых частей В.

Шаг 2. Вычисляем определитель матрицы системы Д. Система имеет единственное решение, если определитель, отличен от нуля.

Шаг 3. Вычисляем определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.

Шаг 4. Находим решение по формулам Крамера.

Результаты решения СЛАУ по формулам Крамера приведены на рисунке 2.

 

1.6 Решение СЛАУ методом «Обратной Матрицы» ( MathCAD)

Рисунок 3 – Решение СЛАУ (Обратная матрица)

 

Шаг 1. Вводим матрицу системы А и матрицу-столбец правых частей В.        

Шаг 2. Вычисляем решение системы по формуле Х:=А-1*В.

Шаг 3. Проверяем правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.

Результаты решения СЛАУ методом «Обратной матрицы» - рисунок 3.

 

 

 

 

 

1.7   Выводы (методические указания)

 

Чтобы провести анализ результатов решения СЛАУ различными методами рекомендуется составить таблицу (таблица 1),

Метод Значения	MathCAD (Гаусс)	MathCAD (Крамер)	MathCAD (Обратная матрица)
X1	-1.463	-1.463	-1.463
X2	1.895	1.895	1.895
X3	2.337	2.337	2.337
X4	-0.232	-0.232	-0.232
X5	-1.568	-1.568	-1.568

 

из которой следует, что применение компьютерной программы «MathCAD» позволяет довольно точно получить решение системы линейных алгебраических уравнений при использовании различных методов (Гаусса, Крамера, обратной матрицы).

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Алексеев Е.Р. Турбо Паскаль 7.0/Е.Р. Алексеев, О.В. Чесноков, В.Н. Павлыш, Л.В. Славинская. - М.Ж НТ Пресс, 2007. - 270 с.

2. Занин А.Е., Засорин С.В. Информатика: Руководство по проведению лабораторных работ. Часть 1. - РИ(ф) МГОУ, 2008. - 54 с.

3. Занин А.Е., Засорин С.В. Информатика: Руководство по проведению лабораторных работ. Часть 2 (процедуры и функции. Обработка данных произвольного типа). - РИ(ф) МГОУ, 2008. - 27 с.

4. Математические методы и модели исследования операций: учебник для студентов вузов/под ред. В.А. Клемаева. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. - 592 с.

5. Новичков B.C., Панфилова Н.И., Пылькин А.Н. Паскаль: Учеб. Пособие для сред. спец. учеб. заведений и инж.-техн. работников. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: высш. Шк.,

1994. – 255 с.

6. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. Пособие. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.

7. Ракитин В.И. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD. - М.Ж ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 264 с.

8. Решение математических задач средствами Excel: Практикум/В .Я. Гельман. - Спб.: Питер, 2003. - 240 с.

9. Электронная книга «MathCAD. Практические занятия», В.А.Шибанов - РИ МГОУ: Рязань, 2005.