Использование компьютерной техники и программного обеспечения для определения параметров эмпирических формул

Федеральное агентство по образованию

 

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

По дисциплине   ___________________Информатика____________________________

___________________________________________________________________________

(наименование учебной дисциплины  согласно учебному плану)

   

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема: ____Использование компьютерной техники и программного обеспечения для определения параметров эмпирических формул_________________________________ _____________________________________________________________________________

 

Автор: студент гр.   _АПМ-03_      _____________  /_Сафонов Д.Н._/

(шифр группы)         (подпись)      (Ф.И.О.)

 

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата: ___________________

 

ПРОВЕРИЛ

 

Руководитель проекта   __Доцент_       ____________  /__Головенчиц Н.Я.__/

             (должность)                        (подпись)                                 (Ф.И.О.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2004 год

 

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова (технический университет)
		УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой   ___________ /________/   "___"__________199_ г.

 

Кафедра __Информатики и компьютерных технологий__

          (наименование кафедры)

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

По дисциплине _________________Информатика_________________________

_______________________________________________________________________

наименование учебной дисциплины согласно учебному плану

 

ЗАДАНИЕ

 

Студенту группы  _АПМ-03_                ___Сафонову Д.Н.___

   (шифр группы)               (Ф.И.О.) 

 

1. Тема работы __Использование компьютерной техники и программного__

__обеспечения для определения параметров эмпирических формул_________

_______________________________________________________________________

2. Исходные данные к работе ___________________________________

_____________________________________________________________

3. Содержание пояснительной записки __Требования к содержанию _____

__пояснительной записки изложены в методических указаниях_____________

_______________________________________________________________________

4. Перечень графического материала _____________________________

____________________________________________________________

_____________________________________________________________

5. Срок сдачи законченной работы _______________________________

Руководитель проекта ___________    __________    _________________                 (должность)  (подпись)                     (Ф.И.О.)  

 

Дата выдачи задания     “___”     ____________   2004 г.

Аннотация.

В данной работе приводится решение задачи, которая заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, т.е. в подборе формулы, описывающей результаты эксперимента, с помощью табличного редактора MS Excel и языка программирования Turbo Pascal v.7.0.

Страниц – 30, рисунков – 16.

 

The Summary.

In the given work there is the decision of a task which consists in analytical representation of required functional dependence, i.e. in selection of the formula describing results of experiment, with the help of  MS Excel and programming language Turbo Pascal v.7.0.

Pages – 30, pictures – 16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление.

 

 

Введение.

Специалисты в области автоматизации технологических процессов и производств имеют дело с большим объёмом экспериментальных данных, для обработки которых используется компьютер.

При рассмотрении различных задач в этой области возникает, в частности, необходимость выявления некоторых эмпирических закономерностей, решения систем уравнений, первичной статической обработки экспериментальных данных.

Для решения многих задач, исходные данные и полученные результаты вычислений которых могут быть представлены в табличной форме, используют табличные процессоры (электронные таблицы) и, в частности, MS Excel. Имеется также множество инженерных задач, для решения которых требуется применить язык программирования.

Для решения поставленных задач был использован язык программирования Turbo Pascal v.7.0, для отладки программы и сравнения результатов – MS Excel, для создания отчёта – MS Word. Табличный и текстовый редактор взяты из пакета MS Office XP.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Получение физических зависимостей при обработке результатов эксперимента методом наименьших квадратов

1. Постановка и математическая модель задачи

1. Содержательная формулировка задачи

При экспериментальном изучении функциональной зависимости произведены измерения величины при различных значениях величины . Требуется методом наименьших квадратов найти теоретическую функциональную зависимость для данной функции, заданной таблично. В качестве теоретической функциональной зависимости необходимо использовать

1) многочлен первой степени  ;

2) показательную функцию  ;

3) степенную функцию ;

4) многочлен второй степени  .

Для теоретической зависимости найти теоретическое значение функции, сумму квадратов отклонений эмпирических значений функции от теоретических значений, указать наименьшее значение этой величины и аппроксимирующую функцию, которой оно соответствует. Построить линию тренда для каждой зависимости и показать уравнение этой линии на диаграмме. Показать на диаграмме величину коэффициента детерминированности .

 

2. Исходные данные (задача №1)

Результаты опытов по испытанию пены в присутствии 0,25 % лаурилсульфата приведены в таблице 2. Здесь - скорость потока жидкости, проходящей через слой пены, , а -объём жидкости, содержащейся в пене, .

Таблица 2

Результаты испытания пены.

2,1	3,7	4,7	5,6	7,2	7,3	9,6	8,7	12,0	9,7
2,7	4,2	5,2	6,1	7,6	7,4	10,1	8,9	12,7	10,1
3,1	4,4	5,6	6,4	8,1	7,9	10,6	9,1	13,1	10,2
3,6	4,9	6,2	6,7	8,7	8,1	11,1	9,4	13,7	10,6
4,2	5,3	6,6	7,0	9,0	8,3	11,6	9,7	14,7	11,0

 

3. Расчетные формулы

Эмпирическую формулу обычно выбирают из достаточно узкого класса функций, рассматривая, например, множество функций линейных, степенных, показательных и т.п. При этом руководствуются какими-либо теоретическими соображениями или соображениями простоты представления эмпирического материала. Найденная эмпирическая формула должна быть такой, чтобы вычисленные по ней значения функции при возможно мало отличались бы от опытных данных .

Обозначим выбранную функциональную зависимость

                      (1)

где - параметры функции.

Пусть все измерения значений функции выполнены с одинаковой точностью. Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых

                (2)

будет минимальной. Таким образом, параметры определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений от принимала наименьшее значение.

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим нормальную систему для определения коэффициентов 

                (3)

Решив систему (3), получим значения искомых параметров .

Вид этой системы зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1).

 

 

 

1) Линейная зависимость.

В случае линейной зависимости для переменных и соответствующие значения таковы, что точки располагаются на прямой линии. В этом случае эмпирическая функция имеет вид

,

где - неизвестные параметры, а системе (3) примет вид

                 (4)

               

2) Квадратичная  зависимость                            

В случае квадратичной зависимости  система (3) примет вид:

                       (5)      

 

3) Степенная зависимость      

В случае степенной зависимости

.             (6)

  В таких случаях для упрощения  расчётов пытаются перейти от  нелинейной зависимости к линейной. В частности, путём логарифмирования  можно это сделать. Логарифмируя равенство (6), получим

.

Полагая, получим следующую линейную зависимость

и применив формулы (4), найдём значение параметров и , а затем значение параметра .

 

 

 

4) Показательная зависимость

Показательную зависимость

,                                                          (7)

где - постоянные, при этом ,

также можно привести к линейной зависимости путём логарифмирования равенства (7). В этом случае

Полагая , получим линейную зависимость

,

и применив формулы (4), найдём значение , а затем вычислим значение .

 

Найденную эмпирическую зависимость от обычно называют теоретической зависимостью. Подставив в соответствующую формулу значения из исходной таблицы, получают - теоретические значения функции . Далее вычисляют сумму квадратов отклонений эмпирических значений из исходной таблицы и теоретических значений

.

Чем меньше значение , тем лучше соответствует эмпирическая формула экспериментальным данным.

Коэффициент детерминированности вычисляется по формуле

,                    (8)

где - заданные значения функции,

       - теоретические значения функции,

       - среднее арифметическое значение функции.

Если коэффициент детерминированности равен 1, то теоретические и эмпирические значения функции полностью совпадают. Если коэффициент детерминированности равен 0, то теоретическая зависимость выбрана неудачно.

 

2. Разработка алгоритма решения задачи

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

1) Т.к. нам неизвестна зависимость  , то придётся последовательно проверять линейную, квадратичную, степенную и экспоненциальную зависимости.

2) Для очередной проверяемой зависимости  необходимо вычислить сумму квадратов  отклонений эмпирических значений  из начальной таблицы и теоретические значений .

3) Сравним для каждой проверенной  зависимости значение  и выберем наименьшее. Для данного минимального значения зависимость и будет самой подходящей.

4) Вычислим также и коэффициент  детерминированности  . Это значение должно быть максимально близко к единице.

5) Решим ту же задачу в табличном  редакторе MS Excel с представлением необходимых графиков и диаграмм и сравним эти результаты с результатами работы программы, написанной на языке программирования Pascal. Если на каждом этапе решения задачи не было грубых ошибок, мы должны получить примерно одинаковые результаты.

 

1. Укрупненный алгоритм и его описание

Для наглядности представим разработанный алгоритм решения в виде общей блок-схемы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Детали алгоритма и их описание

В каждом шаге от 1 до 4 прежде чем проверить ту или иную зависимость необходимо вычислить свои коэффициенты, решив прежде систему линейных уравнений. Этих уравнений в каждой проверке не больше трёх, поэтому предстоит иметь дело с матрицами до третьего порядка.