Уравнения линий

Содержание

 

Содержание ……………………………………………………………………………………...2

Введение………………………………………………………………………………………….3

1.Кривые второго порядка………………………………………………………………………4

1.1 Эллипс………………………………………………………………………………………...5

1.2 Гипербола…………………………………………………………………………………….7

1.3 Парабола……………………………………………………………………………………...9

2.Теоремы, связанные с  кривыми второго порядка………………………………………….12

Литература………………………………………………………………………………………13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение 

 

Впервые кривые второго порядка  изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы  угла, ими образованного, то получится  конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в  сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько  вырожденных фигур.

Однако эти научные  знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты  движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что  если придать телу первую космическую  скорость, то оно будет двигаться  по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Кривые второго  порядка 

 

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

где A, B, C, D, E, F — вещественные коэффициенты, причем A2 + B2 + C2 ≠ 0 .

Вид кривой зависит от четырёх  инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены  при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению  кривой:

 

Так, например, невырожденная  кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

Или   λ2 − Iλ + D = 0.

Корни этого уравнения  являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие  этого, всегда вещественны:

Кривые второго порядка  классифицируются на невырожденные  кривые и вырожденные.

Доказано, что кривая 2–го  порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих  типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого  уравнения) существует такая система  координат, в которой уравнение  кривой имеет вид:

 

1.1 Эллипс 

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.

Если эллипс описывается  каноническим уравнением

где a > 0 , b > 0, a > b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где

Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса, точка О – центром эллипса, расстояния и  от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.( рис.1)

 

 

 

 

 

 

                      Рис.1

Эксцентриситетом ɛ эллипса называется отношение фокусного расстояния 2c (расстояние между фокусами) с большой оси 2a:

  ɛ=      (ɛ1, т.к. са)

 По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.

Директрисами  эллипса называются прямые и параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии, равном ; уравнение директрис:

x=     и    x= -   

Замечания:

1)Если a=b, уравнение определяет окружность

2)Если фокусы эллипса лежат на оси Oy, то эллипс имеет вид, изображенный на

 рисунке 2: В этом случае:

             , ,

                 

уравнение директрис  

 

 

3)Уравнение эллипса с  осями, параллельными координатным, имеет вид 

 

где () – координаты центра эллипса (рис.3)

4)Уравнения       t    являются параметрическими уравнениями эллипса ( t – величина угла между осью Ox и прямой ОМ соединяющей центр эллипса О с его точкой М)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2                                                                      Рис.3

 

 

1.2 Гипербола

Гиперболой называется множество  всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

 

Каноническое уравнение  гиперболы:

где a > 0, b > 0 — параметры  гиперболы.

В канонической системе оси  координат являются осями симметрии  гиперболы, а начало координат —  ее центром симметрии.

Точки пересечения гиперболы  с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами  гиперболы.

С осью OY гипербола не пересекается.

Отрезки a и b называются полуосями  гиперболы.

a-действительная, b-мнимая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4

Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 —  асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы  приближается к одной из асимптот.

Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).

Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты  — те прямые

 Число ɛ=      (ɛ1, т.к. са) называется эксцентриситетом гиперболы.

Замечания:

1)Если a=b, то гипербола называется равносторонней (равнобочной). Её уравнение принимается вид

 

2)Если фокусы гиперболы лежат на оси Oy , то уравнение гиперболы имеет вид

 

Эксцентриситетом этой гиперболы равен ɛ= , асимптоты определяются уравнениями

y= x, а уравнения директрис y= . Гипербола называется сопряженной гиперболе; она имеет вид(рис.5).

 

 

 

 

 

 

                    

               Рис.5

3)Уравнения гиперболы  с осями, параллельными координатным, имеет вид 

 

где () – координаты центра эллипса (рис.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

             Рис.6

1.3 Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

= 2 px  ,           где p > 0 — параметр параболы.

Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а  система координат, в которой  парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе ось  абсцисс является осью симметрии  параболы, а начало координат —  её вершиной.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.7

Замечания:

1)Парабола, симметричная  относительно оси Oy и проходящая через начало координат (рис.8) , имеет уравнение = 2 px 

Фокусом параболы является точка F(0;)

Уравнение директрисы этой параболы y= -

Фокальный радиус точки М параболы  r = y +

 

 

 

 

 

 

Рис.8

2)На рисунках 9 и 10 изображены графика парабол =- 2 px  и   = - 2 px 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.9                                                                       Рис.10

3)На рисунках 11-14 приведены уравнения и графика парабол с осями симметрии, параллельными координатными осями.

 

 

 

 

 

 

 

Рис.11                             Рис.12 

 

 

 

 

 

Рис.13  =                              Рис.14 

2. Теоремы, связанные  с кривыми второго порядка 

Теоремма Паскамля — теорема  проективной геометрии, которая  гласит, что:

Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения  трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема  Паскаля двойственна к теореме  Брианшона.

Теорема Брианшона является классической теоремой проективной  геометрии. Она сформулируется следующим  образом:

Если шестиугольник описан около конического сечения, то три  диагонали, соединяющие противоположные  вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.

В частности, в вырожденном  случае:

Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие  его противоположные вершины, проходят через одну точку.

Теорема Брианшона двойственна  к теореме Паскаля, а её вырожденный  случай двойственен к теореме  Паппа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература 

 

1.  Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.

2.  Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.

3.  В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.