Творчество Мориса Корнелиуса Эшера

 Министерство образования и науки РФ 
Казанский государственный архитектурно-строительный университет 
Инженерно-архитектурный факультет

 

 

 

 

 

Реферат 
по курсу « начертательной геометрии »  
на тему: « Творчество Мориса Корнелиуса Эшера ».

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ст.гр. 3ПЗ102 
Якупов М. Л. 
Принял: Ширеева Диляра Гареевна

 

 

 

Казань 2014

 Введение

1)  Биография  Мориса Корнелиуса Эшера

2)  Творчество

3)  Математическая составляющая в работах Эшера

4)   Визуальные парадоксы               

5)   Мозаика                                  

6)  Метаморфозы                                     

7)   Многогранники                    

8)   Форма пространства                                          

9) Логика и пространство  

10) Спирали                       

11) Самовоспроизведение

12) Заключение

13) Литература

 

  Введение

 

Еще в глубокой древности человеком  было обнаружено, что все явления  в природе связаны друг с другом, что всё пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.  
     Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено, что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали пропорции человеческого тела и утвердили математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую "Канон".  
     Вслед за пифагорейцами средневековый  ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура  писал: "Красоты и наслаждения  нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось  счислению". Об использовании пропорции  в искусстве Леонардо да Винчи  писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме  пропорции те же таящиеся в природе  закономерности, которые в форме числового закона познает ученый".  
     Таким образом, пропорциональность, соразмерность  частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций. 
     Голландский художник Морис Корнилис Эшер, создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.   
     Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морису закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах («Time» и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. 
     В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых  рассказывалось о мозаичном разбиении  плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.  
     Мы привыкли доверять собственному зрению, однако оно нередко обманывает нас, показывая то, чего в действительности не существует. В такие моменты мы сталкиваемся со зрительными иллюзиями - ошибками зрительного восприятия. Ученые создали немало обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности человеческого глаза.

 

1.Биография

 

 

 Морис Корнелиус Эшер родился в городе Лееварден, административном центре голландской провинции Фрисландии. в 1898 году. Он был младшим сыном в семье инженера, где, кроме него, было еще четверо детей. Старшие братья пошли по стопам отца, стали научными работниками и инженерами. А младший оказался не в ладах с математикой. В школе учился неважно (еще одна характерная деталь биографии знаменитого человека), лучше всего давалось ему рисование. . Учитель рисования художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное влияние (Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой вплоть до 1944 года, когда Мескита, еврей по происхождению, был вместе с семьёй уничтожен нацистами), заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву. Голландский мальчик - Мориц Корнелис Эшер с детства был немного странным. Бесцветный, замкнутый и заикающийся, он плохо учился и был подвержен двум маниям. Первую можно назвать "тягой к падению" - все вертикальные, устремляющиеся ввысь формы, имели для парня пугающую и одновременно восхитительную притягательность. Вторую манию можно назвать построением "безупречного бутерброда". В 1913 году Эшер в школе религии знакомится с парнем, по имени Бас Кист, который станет его лучшим другом. Оба интересовались технологией печати. В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме - портрет своего отца Г. А. Эшера. С 19 лет Эшер посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера.В конце концов Эшер выбрал профессию художника-графика. Его отец, инженер-гидравлик, хотел, чтобы сын получил солидную профессию, и в 1919 году Эшер поступает в Гаарлемское училище архитектуры и декоративного искусства. Кстати оказавшись одним из первых, кто стал делать гравюры на новом для того времени материале — линолеуме. Хоть Эшер и посещал школу архитектуры и декоративных искусств в Гарлеме, он тем не менее не стремился что-либо построить. 
                         
     В 1922 году, проучившись в училище  два года, Эшер переезжает в Италию, где проживет 13 лет. Каждое лето он путешествует по Южной Италии или Испании. Летние впечатления служат материалом для  гравюр, над которыми он работает зимой. 
     К середине тридцатых годов политический климат в Италии стал нестерпимым. В 1935 году девятилетнего сына Эшера  обязали носить форму юного фашиста. Это послужило толчком к решению семьи переехать в Швейцарию. 
     Холодная  снежная Швейцария действовала  на Эшера угнетающе. Он обратился  в морскую компанию, совершавшую  грузовые перевозки по Средиземному морю, с просьбой разрешить ему  путешествовать на ее судах с оплатой  гравюрами, выполненными в пути. Удивительно, но предложение было принято. 
     Это было последнее большое путешествие  Эшера. Эшер провел 2 года в Швейцарии, 5 лет — в Брюсселе.  После этого он больше не нуждался во внешних впечатлениях для творчества. 
     С 1941 года Эшер постоянно живет в  Голландии  в городе Барне. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в трех популярных журналах: «The Studio», «Time» и «Life». В 1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. Математики сразу признали художника «своим», с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико-математических изданий. Слава мало изменила образ жизни художника, который продолжал упорно работать. 
     Математики  любят Эшера. В его гравюрах и  литографиях видят ключи к  доказательству теорем или оригинальные контр-примеры, бросающие вызов здравому смыслу. Их воспринимают как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, когнитивной психологии или компьютерной графики. 
     Однажды известный геометр Г. Кокстер  пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному  разочарованию, Эшер не понял почти  ни слова из того, о чем рассказывал  Кокстер.  
     «Я  так ни разу и не смог получить хорошей  оценки по математике. Забавно, что  я неожиданно оказался связанным  с этой наукой. Поверьте, в школе  я был очень плохим учеником. И  вот теперь математики используют мои  рисунки для иллюстрации своих  книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного  брата! Они, кажется, не подозревают, что  математически я абсолютно безграмотен». 
     И это говорит человек, без гравюр которого не обходится с середины прошлого века ни одна «иллюстрированная» книга по математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях! (Кстати, советский научно-популярный журнал «Квант» публиковал Эшера  свыше 20 раз, «Знание-сила» - еще больше.)  
     В его словах, наверное, есть доля преувеличения. Так, например, в августе 1960 года Эшер прочитал лекцию по кристаллографии  в Кембридже. Почему кристаллография? Видимо, потому, что из всех работ  Эшера лучше всего известные  его орнаменты (или мозаика), то есть периодическое заполнение плоскости  одинаковыми фигурами. 
     В последние годы здоровье художника  заметно ухудшается, что не даёт Морису Эшеру работать в полную силу. Эшер скончался 27 марта 1972 года в госпитале нидерл. Diakonessehuis в Хилверсюме от рака кишечника. Похоронен в Барне на кладбище Ниве Алхемеен Бехраафсплаатц (нидерл. Nieuwe Algemeen Begraafsplaats). 

 
 2.Творчество Мориса Эшера 

 
     Для сюжетов «классических» произведений Эшера («Рисующие руки», «Метаморфозы», «День и ночь», «Рептилии», «Встреча», «Дом с лестницей» и т. д.) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. В сочетании с виртуозной техникой это производит сильнейшее впечатление. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками. 
     В то же самое время работы Эшера  подчёркнуто относятся к элитарному искусству. Это даже вызывало критику  его творчества как непонятного  рядовому зрителю. 
     В процессе работы художник брал идеи из математических статей, в которых  рассказывалось о мозаичном разбиении  плоскости, проецировании трёхмерных фигур на плоскость, неевклидовой геометрии, «невозможных фигурах», логике трёхмерного  пространства. Хотя Эшер не принадлежал  к основному потоку авангардного искусства XX века, считается, что его  творчество следует рассматривать  в контексте теории относительности  Эйнштейна, фрейдовского психоанализа, кубизма и прочих достижений в  области соотношений пространства, времени и их тождественности. 
     Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве  работ. Художник подробно исследует  постепенность перехода от одной  геометрической фигуры к другой, посредством  незначительных изменений в очертаниях. Кроме того, Эшер неоднократно рисовал  метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у  него в рыб и прочее) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живые  существа. 
     Морис Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Во время XII Всемирного Математического  Конгресса в Амстердаме в 1954 году была открыта выставка работ Эшера. Математическое описание фракталов было предложено только в 1970-е годы (термин «фрактал» был введён в 1975 году). 
     На  множестве картин Эшера происходит демонстрация упорядоченного сечения  плоскости или заполнение её тождественными формами, которые без зазоров, плотно, прилегают друг к другу (навеяно  «мавританским» средневековым стилем).  

3. Математическая составляющая в работах Эшера

 

Все же творчество Эшера интересно математикам не только потому, что в его работах можно обнаружить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они вызывают ассоциации с общими математическими идеями. Платон считал, что абстрактные идеи живут отдельно в "мире чистых сущностей" (таковы идеи пространства и времени). В таком, платоновском понимании мир Эшера и мир математики.

Отец Морица однажды обнаружил рисунок своего сына, на котором был изображен... квадратный круг.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии.

 

4. Визуальные парадоксы

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.

5. Мозаика     Регулярное  разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без  пересечений фигур и щелей  между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.       Интересоваться  мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и  впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в  своем эссе о мозаиках Эшер написал: В математических работах  регулярное разбиение  плоскости рассматривается  теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь  ведущую в другой мир, но сами войти  в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором  стоит дверь, чем  сад, лежащий за ней. Математики  доказали, что для регулярного  разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.       В гравюре "Рептилии" маленькие  крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих  работах. В "Эволюции 1" можно проследить развитие искажения квадратной мозаики  в центральную фигуру из четырех  ящериц.                                                                                    «Регулярное  разбиение плоскости птицами»                                                                                                                                         «Цикл»      6. Метаморфозы Во всех работах Эшера используется ассиметричная геометрия. Он один из немногих умел на холсте изобразить «метаморфозы». Эшер рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и прочее) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живые существа. Не составляет особого труда заметить два основных объекта первого из них: это существа, обитающие в небе и воде - птица и рыба. При движении по рисунку снизу вверх, накапливаются несущественные, едва различимые отличия у сходных объектов – наращивается количественная определенность. Это приводит к новому объекту, совершенно не похожему на исходный.   7. Многогранники    Многоугольники, как и сферы, используются в работах Эшера для создания перспективы. Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация». На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. На каждой из площадок живёт длинношеее четырёхногое бесхвостое фантастическое животное; его туловище находится в пирамиде, в отверстия которой оно высовывает конечности, верхушка пирамиды является одной из стен жилища соседнего чудовища. Пирамиды одновременно выступают и как стены, и как полы: литография служит переходом к группе относительности.            Правильные  геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.                                  Четыре правильных многогранника                 Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань  многогранника. Изящный пример звездчатого  додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен  внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота  этой конструкции контрастирует  с беспорядочно разбросанным по столу  мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе  источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой  верхней части сферы.                                                                  Парадокс и хаос                                                        Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах  Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.                                    Звёзды       8. Форма пространства

 

    Среди наиболее важных работ Эшера с  математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три  пересекающиеся плоскости" - хороший  пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес  художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Эшер позже использовал  данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.               
 
   Три пересекающихся плоскости                                 Предел круга III  
                     

 

 

     Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций  гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе "Предел круга III". Здесь представлен  один из двух видов неевклидового  пространства, описанных французским  математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения  от центра круга к его границе  ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам  надо будет пройти до границы круга  будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком  пространстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. 

 

 

     Еще более странное пространство показано в работе "Змеи". Здесь пространство уходит в бесконечность в обе  стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. 
                      

 

 

 

 

                        Змеи                                                       Лист Мебиуса II     

                                  

 
     Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает  свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например,  растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем.