Трапеция: свойства, площадь

Профільна робота

З теми: “Трапеція”

Учня 9-Б класу

Міхєєва Олексія 

Трапеція

Означення трапеції

 

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні.

Паралельні  сторони трапеції називаються основами трапеції, а непаралельні — бічними сторонами.

та

 

1.У будь-якої трапеції основи нерівні.

2.У будь-якій трапеції при більшій основі один або обидва кути гострі.

 

Властивість трапеції

 

У будь-якій трапеції сума кутів прилеглих до бічної сторони дорівнює 180^о

.

Середньою лінією трапеції називається відрізок, який сполучає середини бічних сторін і паралельний основам. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі

Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції (або: висотою трапеції називається відстань між її основами).

Рівнобічна трапеція

Трапеція, в якої бічні  сторони рівні, називається рівнобічною.

Властивості рівнобічної трапеції:

1.У рівнобічній трапеції кути при основах рівні.

2.У рівнобічної трапеції діагоналі рівні, але точка перетину не ділить їх навпіл, проте розділяє діагоналі на дві частини, які пропорційні основам.

3.У рівнобічній трапеції діагоналі утворюють з основою рівні кути.

4.Висота, проведена до більшої основи, поділяє її на два відрізки, менший з яких дорівнює піврізниці основ, більший – півсумі.

5.Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то її середня лінія дорівнює висоті, і при основах утворюються два подібних рівнобедрених прямокутних трикутники з гострими кутами по 45 градусів.

Ознаки рівнобічної трапеції:

• Якщо у трапеції кути при основі рівні, то трапеція рівнобічна.
• Якщо у трапеції діагоналі рівні, то трапеція рівнобічна.
• Якщо у трапеції діагоналі утворюють з основами рівні кути, то трапеція рівнобічна.

Прямокутна трапеція

Прямокутна трапеція — це трапеція, у якої одна бічна сторона перпендикулярна до основ.

Властивості:

Висота прямокутної  трапеції дорівнює бічній стороні, яка  перпендикулярна до основ.

 

Площа трапеції:

 

1. , де a, b – основи трапеції, h – висота.

2.  ,  де m– середня лінія трапеції, h – висота.

3.  ,  де – діагоналі трапеції, –кут між ними.

 

Вписані й описані чотирикутники

 

Чотирикутник називається вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Коло при цьому називається описаним навколо чотирикутника.

Чотирикутник  є вписаним тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180 градусів

.

Кути, що спираються на одну й ту ж сторону, рівні, зокрема,

.

Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола. Коло при цьому називається вписаним в чотирикутник.

В чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні

.

Коло можна описати навколо прямокутника, квадрата, рівнобічної трапеції. Коло можна вписати в ромб, квадрат, а також в трапецію, у якої сума основ дорівнює сумі бічних сторін.

Площа чотирикутника:

1.Площа будь-якого опуклого чотирикутника:

,

де – діагоналі чотирикутника, – кут між ними.

2.Площа вписаного чотирикутника:

,

де a, b, c, d– сторони чотирикутника, p – напівпериметр, .

3.Площа описаного чотирикутника:

,

де p– напівпериметр, r – радіус вписаного кола.

 

 

Задачі з теми

Задача №1.

Умова: У чотирикутнику діагоналі дорівнюють 8см і 5см. Знайти периметр чотирикутника, вершини якого є серединами сторін даного чотирикутника.

Дано:ABCD – чотирикутник;

KLMN – чотирикутник, утворений

на серединах сторін AB, CD,BC, AD; 
AC,BD діагоналі; 
AC=5см; BD=8см; 
P_KLMN- ?

 

Розв’язання:

Розглянемо ∆ABDі∆BCD:KNі MLсередні лінії і дорівнюють половині BD, тобтоKN=ML=4см.

Розглянемо ∆ABCі∆ACD:KLі MNсередні лінії і дорівнюють половині AC, тобто KL=MN=2,5см.

Тоді P_KLMN=AC+BD=12см.

Задача №2

Умова: У рівнобічну трапецію, менша основа якої дорівнює половині висоти, вписано коло радіусом 3 см. Знайти площу трапеції.

Дано:ABCD-трапеція;

AB=CD; BC=

BH; BH – висота;

вписане коло; r=3см;

S_ABCD-?

Розв’язання:

.

.

.

Розглянемо ∆AHB( ): за теоремою Піфагора

За умовою вписаності кола в трапецію:AB+CD=BC+AD, або 2AB=BC+AD.

.

Отже, AD=12см.

Тоді, .

Задача №3.

Умова: Навколо трапеції описане коло, діаметром якого є більша основа. Обчислити площу трапеції, якщо її діагональ і висота відповідно дорівнюють 5см і 3см.

Дано:ABCD-трапеція;

  СH– висота; АС - діагональ

АС=5; СH=3;AD --діаметр

                 описане коло; R=3см;

               S_ABCD-?

Розв’язання:

(з умови вписаності чотирикутника).

Тобто (т. як трапеція рівнобічна).

Розглянемо ∆АСН( ): за теоремою Піфагора

.

За властивістю  висоти рівнобічної трапеції .

ТобтоS_ABCD =AH^.CH=12 см².

Задача №4.

Умова: У коло вписано чотирикутник ABCD, кут ACB=30^о, кут CBD=20^о, центр кола належить стороні AD. Знайти кути чотирикутника.

Дано:ABCD – вписаний чотирикутник;

т.О – центр кола; т.О належить AD;

; ;

 

Розв’язання:

(як кути, що спираються на дугуАВ);

(як кути, що спираються на  дугуDC);

(як кути, що спираються на діаметрAD);

;   .

=> .

=> .

Задача №5.

Умова: В крузі радіуса Rпо одну сторону від центра проведено дві паралельні хорди, що стягують дуги 120^о і 60^о,а кінці їх сполучено. Визначити площу трапеції.

 

 

Дано:ABCD – вписана трапеція,

, ,

.

S_ABCD-?

 

Розв’язання:

OA=OC=OB=OD=R.

Розглянемо ∆COD(рівнобедрений, так як OC=OD= R)=>

=>

∆COD- рівносторонній => .

Висота ∆COD: .

Розглянемо ∆AOВ(рівнобедрений, так як АО=OВ= R)=>

.

З т.О на хорду АВ опустимо перпендикуляр ОК.

Розглянемо  ∆AOК (прямокутний, )=>

, а  .

Тоді  (за властивістю дуг і хорд: діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл).

Отже, висота трапеції дорівнює .

Тоді площа  трапеції дорівнює

Задача №6.

Умова: В чотирикутникABCDвписано коло, діагоналі якого перетинаються в т.М. Знайдіть залежність між радіусами кіл описаних навколо трикутниківAKC, AKB, BKD, DKC.

Дано:ABCD – описаний чотирикутник,

т.К – точка перетину діагоналей,

R_∆АВK, R_∆АKD, R_∆ВKC, R_∆CKD -?

 

Розв’язання:

Нехай

(як вертикальні кути),

(як суміжні кути до  кута  ),

.

Тоді за наслідком  з теореми синусів маємо

,   ,

,   .

За властивістю  описаного чотирикутника маємо  .

Отже, ,

.

Задача №7.

Умова: У паралелограм вписано інший паралелограм так, що його сторони паралельні діагоналям описаного паралелограма. Доведіть, що точки перетину діагоналей паралелограмів збігаються.

Задача №8.

Умова: У паралелограм вписано ромб так, що його сторони паралельні діагоналям. Визначте сторону ромба, якщо діагоналі дорівнюють l іm.

Нехай у паралелограм ABCDвписано ромб MNPL. Оскільки точки перетину діагоналей цих фігур збігаються, то діагональ АС ділить сторони ромба навпіл (точки К і Е).

Трикутники ABC іMBN подібні, звідси

.

Позначимо сторону  ромба – x. Тоді