Стереометрия

Муниципальное образовательное  учреждение

«Средняя общеобразовательная  школа №83»

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по геометрии

«Стереометрия»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила Давлетшина Р.А.

ученица 10 класса

 

 

 

 

 

 

Северск

2009г

 

 

 

     Оглавление                                                       стр.

 

Введение                                                                                                3

Основные аксиомы стереометрии                                                       4

Из истории конуса                                                                                 6

Конус                                                                                                      7

Площадь поверхности  конуса                                                               8

Усеченный конус                                                                                    9

Сечение конуса                                                                                      10

Дополнительная информация о конусе                                               12

Цилиндр                                                                                                  13

Сечение цилиндра                                                                                  14

Вписанный и описанный цилиндр                                                       15

Цилиндры фараона                                                                                 16

Пирамида в геометрии                                                                           18

Усеченная пирамида                                                                              20

Теоремы                                                                                                   21

Эзотерика пирамид                                                                                 22

Сфера и шар                                                                                             23

Правильные многоугольники                                                                 24

Теорема                                                                                                     26

Заключение                                                                                               27

Список литературы                                                                                  28

 

 

 

 

 

Введение

 

 

           В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость»  в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.

 

Основные аксиомы стереометрии

 

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии  добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая - аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:

 

• Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

 

Таким образом, не все точки находятся  в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:

 

 

 

• Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при  этом линии сгиба - прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

 

 

• Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение это прямая.(рис. 2)

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.

 

 Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки  можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную  с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным  так же присоединяются планиметрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость β. Она отлична от плоскости α, так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит, β пересекается с α по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.

 

Путем несложных доказательств  мы находим, что:

• На каждой плоскости выполняются все утверждения планиметрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из истории конуса

 

Конус в переводе с  греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда(287-212 гг. до. н.э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380гг. до. н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

          Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о  конических сечениях был написан  Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конус

 
  Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис. 141), а сами отрезки — образующими конической поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (рис. 141). Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг — основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности — образующими конуса (на рисунке 142 изображены образующие РА, РВ и др.).

Все образующие конуса равны  друг другу. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса

    перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется                                                              высотой конуса                           

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину  конуса с центром основания.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный  из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

 

 

 

 

 

Площадь поверхности  конуса

Боковую поверхность  конуса, как и боковую поверхность  цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 146,а,б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (см. рис.146), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора — длине окружности основания конуса. 
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.

Площадь кругового сектора  — развертки боковой поверхности  конуса (рис.146,б) —равна (Пl²а)/360, где а — градусная мера дуги ABA', поэтому

Sбок = (Пl²а)/360. ^(*)

Выразим а через l и r. Так как длина дуги ABA' равна 2Пr (длине окружности основания конуса), то 2Пr = Пlа/180, откуда a=360r/l. Подставив это выражение в формулу (*), получим:

Sбок = Пrl. ^(**)

Таким образом, площадь  боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. 
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади Sкон полной поверхности конуса получается формула:

Sкон = Пr (l + r). ^(***)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Усеченный конус

             Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называется основанием усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Площадь боковой поверхности  усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований  на образующую:

Sбок = П (r + r1) l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сечение конуса

 

 

1. Секущая плоскость проходит через ось конуса (осевое сечение – равнобедренный треугольник

      рис. 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Секущая плоскость проходит                   перпендикулярно к оси конуса

круг с центром О1  (рис. 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Сечение проходящее через верщину конуса –

равнобедренный  треугольник  (рис. 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Параболическое и  гиперболическое сечения. (рис. 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В конус всегда можно вписать  шар. Его центр на оси конуса и  совпадает с центром окружности, вписанно в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.