А – матрица называется прямоугольной таблицей чисел, состоящей из m строк и п столбцов.

Элемент матрицы, стоящий на пересечении i строки и j столбца, принято , в результате всю матрицу можно записать в такой форме: 

Частные виды матриц: Матрица – строка. Матрица – столбец.

Матрица – число. Нулевая матрица –

Квадратная матрица .Единичная – все элементы нули, кроме элементов главной диагонали. Треугольная

Верхняя

 
 
  Нижняя Диагональная Равными называют матрицы одного порядка, соответствующие элементы которых равны между собой. Операции над матрицами: Сложение – суммой двух матриц А и В одного порядка называют матрицу С того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов двух первых матриц. 
Матрицы разных порядков сложению не подлежат. Умножение матрицы на число: Произведение матрицы и числа – есть матрица того же порядка, каждый элемент которой умножен на число.Транспонирование – это операция, при которой элементы строк матрицы А становятся элементами столбцов матрицы В. Свойства линейных операций над матрицами: А+В=В+, А+(В+С)=(А+В)+С

 
 
а(А+В)=аА+аВ, (а+в)А=аА+вА

а(вА)=(ав), (А+В)^Т=А^Т+ В^Т

А-В=А+(-1), А-А=0

Следствие: (аА+вВ)^Т=аА^Т+вВ^Т

Свойства  умножения матриц: АВС=А(ВС)≠(АС)В, А(В+С)=АВ+АС

С(А+В)=СА+СВ, (С+В)А=ВА+СА

(АВ)^Т=В^ТА^Т , (А^Т)^Т=А

Определитель  квадратной матрицы – число, которое вычисляется по следующему правилу:\

При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

При перестановке двух строк определителя, он меняет свой знак, но по абсолютной величине не меняется.

При умножении  определителя на число, достаточно умножить любую строку на это число.

Если определитель содержит нулевую строку, то он равен  нулю.

Свойство  упрощения определителя: 
Определитель не изменяется, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой его строки, предварительно умножив их на одно и тоже любое число.Сумма определителей, отличающихся одной строкой, равна определителю с теми же элементами, у которого вместо различных строк стоит строка из суммы элементов различных строк.

Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю. Сумма попарных произведений элементов кокой либо строки и алгебраических дополнений соответствующих элементов другой строки равна нулю. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Определитель  треугольной матрицы равен произведению своих диагональных элементов.

Минором квадратной матрицы п-ного порядка называется определитель п-1-ого порядка, полученный из определителя матрицы А вычёркиванием i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическое  дополнение:

Алгебраическим  дополнением  называется минор этого элемента, взятый с определённым знаком, который определяется по формуле:

Предположим, что  существует: 
, тогда   , что и требовалось доказать.

Минором матрицы порядка к называют определитель , составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольным образом выбранных к-ых строк и к-ых столбцов этой матрицы. 

Базисный минор:

Базисным минором  матрицы А называется такой минор порядка r, который не равен нулю, а все миноры рангом выше равны, или не существуют. Свойство:

Если в матрице  все миноры М_к равны нулю, то все миноры высших порядков так же будут равны нулю, так как они вычисляются по элементам строк и столбцов, а значит выражаются через М_к.

Базисный  минор – это минор номинального порядка, не равный нулю. Произвольная матрица, каждый столбец, или строка которой является линейной комбинацией строк, или столбцов, входящих в базисный минор. Рангом матрицы называется порядок её базисного минора.

Теорема о ранге. Ранг матрицы соответствует количеству её линейно независимых строк, или столбцов. 

Вопр№7 (. Системы линейных уравнений. Теорема  Кронекера-Капелли.) Рассмотрим произвольную систему из т уравнений с п неизвестными: 
, тогда ,

Теорема Кронекера-Капели:

Система совместна, если ранг расширенной матрицы равен  рангу матрицы коэффициентов. Док-во: Необходимое условие: Если система совместна, то ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов равны.

Следовательно, столбец свободных членов линейно  зависит от столбцов матрицы коэффициентов, поэтом столбцы расширенной матрицы  содержат тоже количество независимых столбцов, что и матрица коэффициентов, тогда добавление линейно зависимого столбца не изменит ранг матрицы. Следовательно, по теореме о ранге матрицы, ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. Достаточное условие: Применим правило Крамара к произвольной системе. Пусть система совместна, тогда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэф-тов, тогда переставим уравнения системы, и перенумеруем переменные так, что бы базисный минор стоял в левом верхнем углу. Назовём базисными те переменные, которые входят в базисный минор, а все остальные – свободными. Тогда по теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены, как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с r уравнениями и тем же количеством неизвестных, где r – ранг системы, или ранг базисного минора. Перенесём свободные переменные направо, тогда получится система следующего вида:  
, тогда у этой укороченной системы определитель . Число уравнений равно числу неизвестных, следовательно, к этой системе можно применить правило Крамара. 
, , таким образом правило Крамара позволяет выразить базисные элементы через свободные. В результате придавая свободным переменным значения: , где С – произвольное действительное число. . Отсюда следует: 
– множество решений с-мы ур-ий содержит n-r произвольных постоянных, то есть является многопараметрическим. Частный случай, когда ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда все переменные являются базисными, значит свободных нет, а система имеет единственное решение. Система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если она совместна, и её ранг равен количеству переменных.

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Однородная  система всегда совместна. Существует только одно решение.

Теорема о существовании  не нулевых решений однородной системы:

Однородная  система имеет не нулевые решения  тогда, когда ранг матрицы коэффициентов  меньше числа неизвестных. Доказательство:

Не единственность решения   
Однородная система с одинаковым количеством уравнений и неизвестных имеет не нулевые решения тогда, когда определитель матрицы коэффициентов не равен нулю. Теорема: Любая линейная комбинация решений однородной системы сама является её решением:

Доказательство: Пусть существуют два решения,  

Теорема о существовании  линейно независимых решений: Путь ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов и меньше числа неизвестных, тогда существует число линейно независимых решений, равное разности количества переменных и ранга системы. Доказательство: Пусть базисный минор содержится в левом верхнем углу матрицы.

Строки, не входящие в базисный минор можно отбросить, а свободные неизвестные перенести  через знак равенства. 
Фундаментальная система решений однородной системы уравнений.

Структура общего решения однородной и не однородной системы уравнений. 

Структура общего решения однородной системы уравнений: ФСР называется система из n-r линейно независимых частных решений  

Теорема: Общее  решение однородной системы уравнений: Общим решением однородной системы линейных уравнений является линейная комбинация столбцов фундаментального решения.

Структура общего решения не однородной системы уравнений:

Рассмотрим  систему линейных уравнений: Неоднородная система  , однородная система: Теорема: Разность двух решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы. Доказательство:

Пусть столбец  α является решением неоднородной системы , β – решение системы , тогда после вычитания одного из другого получим: удовлетворяет однородной системе. Из теоремы следует, что общее решение однородной системы является суммой какого-либо её частного решения и общего решения соответствующей однородной системы

Свойства линейных операций над векторами:

Линейная зависимость  и независимость геометрических векторов:

Линейной комбинацией  геометрических векторов называется вектор

Системой из N векторов называется линейно независимой, если ни один из них не является и не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Если линейная комбинация всех этих векторов является нулевым вектором, то в случае равенства  нулю всех «С»: , иначе если “C_i” не равно нулю, то система векторов называется линейно зависимой.

Теорема №1:

Два колиниарных  вектора всегда линейно зависимы.

Теорема №2:

Три комплонарных вектора всегда линейно зависимы.

Теорема №3:

Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.

Базис:

Базисом на плоскости, или в пространстве называется максимальная система из линейно независимых  векторов.

Базис на прямой является единственным вектором, параллельным данной прямой.

Базис на плоскости – это любая пара из не коллинеарных векторов, параллельных этой плоскости.

Базис в пространстве – это любые три не комплонарных вектора.

Разложение  вектора по базису называется представление его в виде линейной комбинации векторов базиса.

Теорема:

Для заданного  вектора а и выбранного базиса разложение, по базису является единственным.

Координаты  вектора в базисе:

Координатами  любого вектора в пространстве (в  базисе) называются коэффициенты его  разложения базису.

Арифметическим  собственным вектором квадратной матрицы  А порядка п называется такой не нулевой столбец: 
, где λ – собственной значение матрицы.

У каждой матрицы  может быть пара из собственных векторов и собственных значений.

Множество всех собственных значений матрицы называется спектром. 
– ненулевые решения однородной системы уравнений.

Однородная  система имеет ненулевые решения, если ранг матрицы В равен количеству коэффициентов.

– характеристическое уравнение  матрицы А.

Проверить!!!¿¿¿

Рациональное  алгебраическое уравнение степени  N. Всегда имеет N корней, среди которых могут быть и кратные. Проверить!!!¿¿¿

Если определитель матрицы А равен нулю, то характеристический многочлен не содержит свободных членов.

У вырожденной  матрицы хотя бы одно значение равно  нулю. ¿¿¿…???

При этом сами фундаментальные  решения образуют систему линейно  независимых уравнений.

Свойства собственных  векторов и собственных значений матрицы:

Максимальное  количество линейно независимых  собственных векторов, соответствующих  данному собственному значению .

Линейная комбинация из собственных векторов соответствует  одному и тому же, в свою очередь  являющемуся собственным вектором для этого собственного значения.

Собственные векторы  с попарно различными «чего-то такое???» значениями являются ??? Проверить¿¿¿

Если матрица  А^Т=А, то все её собственные значения являются действительными числами.

Спектр вырожденной  матрицы А содержит хотя бы один нулевой элемент.

Если матрица  имеет пары комплексные сопряженные , То соответствующие им собственные векторы тоже комплексные 

Для вычисления собственных значений матрицы необходимо составить характеристическое уравнение:  
составив уравнение можно найти его корни, они-то и будут собственными значениями матрицы.

 
 
Собственные векторы матрицы соответствуют  собственным значениям матрицы.

Вопр№12 (. Базис на прямой, на плоскости и  в пространстве. Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции над векторами  в координатной форме)

 Базис:

Базисом на плоскости, или в пространстве называется максимальная система из линейно независимых  векторов. Базис на прямой является единственным вектором, параллельным данной прямой. Базис на плоскости – это любая пара из не коллинеарных векторов, параллельных этой плоскости.

Базис в пространстве – это любые три не комплонарных вектора. Разложение вектора по базису называется представление его в виде линейной комбинации векторов базиса.

Теорема: Для заданного вектора а и выбранного базиса разложение, по базису является единственным.

Координаты  вектора в базисе:

Координатами  любого вектора в пространстве (в  базисе) называются коэффициенты его  разложения базису.

 
Свойства  линейных операций над векторами:

Вопр№13 .(Скалярное произведение векторов. Свойства. Выражение через  координаты сомножителей) Проекция вектора на вектор:

Скалярным произведением  двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус  угла между ними.

Свойства:

– Коммутативность.

Скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми  координатами равно сумме по парных произведений соответствующих координат  сомножителей.

Применение  скалярного произведения:

Определение перпендикулярности векторов, как скалярное произведение, равное нулю.

Вопр№14 (Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов. Свойства. Выражение через  координаты сомножителей) Векторное произведение векторов.

Свойства.Геометрический смысл. Выражение через координаты сомножителей.

Векторным произведением  векторов называется вектор, обозначаемый , который обладает двумя свойствами:

Перпендикулярен двум исходным векторам.

Составляет  с исходными векторами правую тройку¹

Направление результирующего  вектора определяется по правилу  буравчика.

Свойства векторного произведения:

– проверка на колиниарности.

Смешанным произведением  трёх векторов называется число, обозначаемое , равное скалярному произведению трёх его сомножителей, на векторное произведение двух первых. 

>0, когда , а значит угол v – острый, следовательно, вектора составляют правую тройку.

<0, когда , а значит угол v – тупой, следовательно, вектора составляют левую тройку. 

Свойства смешанного произведения:

=0 тогда, когда  комплонарны.

Вопр№17 (Прямая линия на плоскости (общее, векторное, векторно-параметрическое, каноническое, с угловым коэффициентом уравнение  прямой). Расстояние от точки до прямой) На плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Уравнение называется уравнением линии L на плоскости, если координаты всех точек линии подчиняются закону F, а координаты всех точек, не лежащих на линии .Линия – это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют закону – основное уравнение прямой на плоскости. Векторное уравнение прямой на плоскости:

Параметрическое уравнение прямой на плоскости:

Каноническое  уравнение прямой на плоскости:

Расстояние  от точки до прямой:

Угол между  прямыми: