Предмет начертательной геометрии

Предмет начертательной геометрии

 

"Начертательная  геометрия – раздел геометрии,  в котором пространственные фигуры, а также методы решения и  исследования пространственных  задач изучаются с помощью  их изображений на плоскости".

 

Основоположником  начертательной геометрии считается Г. Монж (1746 – 1818).  Важнейшее прикладное значение начертательной геометрии как учебной дисциплины состоит в том, что она учит владеть графическим языком, выполнять и читать чертежи и другие изображения геометрических объектов, без чего немыслимо формирование инженера. Она обеспечивает преемственность между школьными курсами геометрии и черчения и графическими дисциплинами вуза.

 

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного  воображения и навыков правильного  логического мышления, совершенствует нашу способность по плоскому изображению мысленно представлять форму предмета и, наоборот, изображать мысленно созданные образы (визуализация мысли).

 

Не всякое изображение может  быть использовано для всестороннего  исследования геометрических свойств  оригинала.

 

Принципиальное отличие методов  изображения, изучаемых в курсе начертательной геометрии, от некоторых технических средств отображения (фотография, голография и др.), заключается в возможности с высокой наглядностью и метрической достоверностью отобразить не только существующие предметы, но и возникающие в нашем представлении образы проектируемого объекта. 

 

Изображение, которое позволяет  определять взаимосвязь (взаимопринадлежность) элементов объекта, называют полным.

 

Изображения, по которым можно определить размеры объекта, называют метрически определенными.

 

Из плоскостных изображений  объекта наиболее широкое применение в практике получили рисунки и чертежи.

 

Рисунком называют изображение предмета от руки и на глаз с кажущимися относительными размерами и положениями отдельных его элементов.

 

Чертежом называют изображение предмета, построенное по особым правилам с помощью чертежных инструментов в точной зависимости от размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета.

 

В технике чертежом называется конструкторский  документ, содержащий изображение детали и всю необходимую информацию для ее изготовления и контроля. 

 

К проекционным изображениям в начертательной геометрии  предъявляются следующие основные требования:

 

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой.

2. Наглядность – чертеж должен  создавать пространственное представление о форме предмета.

 

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты.

 

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

 

Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии.

 

Виды проецирования

 

Одно из основных геометрических понятий – отображение множеств.

 

 В начертательной геометрии  каждой точке трехмерного пространства  ставится в соответствие определенная  точка двумерного пространства  – плоскости. 

 

Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый  как точечное множество, отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

Русский математик Н.И. Лобачевский (1792 – 1856) предложил считать пространство (плоскость) однородным, подвергнув сомнению аксиому параллельности.

 

Ученый дополнил плоскость бесконечно удаленными (несобственными) точками, в которых параллельные прямые пересекаются.

 

Собственными элементами пространства принято называть точки, прямые и  плоскости, расположенные в ограниченном (конечном) пространстве.

 

Евклидово пространство, дополненное  бесконечно удаленными (несобственными) точками, прямыми и плоскостями, называют проективным или расширенным.  

 

Для проективной плоскости  справедливы следующие утверждения:

 

• через любые две различные точки проходит прямая, и только одна;

 

• любые две прямые имеют общую точку, и только одну.

Для проективного пространства справедливы утверждения:

 

• любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются;

 

• любые две плоскости пересекаются по прямой;

 

• всякая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает эту плоскость.

 

В зависимости  от взаимного расположения центра проецирования  и плоскости проекций различают  следующие виды проецирования:

центральное проецирование

параллельное проецирование

 

Центральное проецирование

 

Проецирование называется центральным, если все проецирующие лучи проходят через одну точку – центр проецирования.

 

Проецирующие  лучи, проведенные через все точки  кривой n, образуют проецирующую коническую поверхность N.

 Проекция  криволинейной фигуры, таким образом,  представляет собой линию пересечения  проецирующей поверхности N и плоскости проекций П_i.

                  

Центральная проекция линии

Центральная проекция поверхности

Коническую  поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры. Линию K_i принято называть в этом случае очерковой или очерком данной фигуры.

Свойства центрального проецирования:

 

• проекция точки – точка;
• проекция прямой – прямая;
• если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

Параллельное проецирование

 

• Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность.

 

• При этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые.

 

•  Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S. В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

 

Свойства параллельного  проецирования

 

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

 

• отрезок прямой линии, параллельный плоскости, проецируется на нее без искажения;

 

• проекции параллельных прямых параллельны между собой;

 

• отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

 

• отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

 

В свою очередь, параллельные проекции подразделяются на косоугольные и прямоугольные (ортогональные).

 

• Если направление проецирования образует с плоскостью проекций угол, не равный 90⁰, то проецирование называется косоугольным.

 

Проецирование называется прямоугольным, если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.

 

Таким образом, прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного.

 

Полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

Ортогональному  проецированию присущи все свойства параллельного и  центрального проецирования  и, кроме того, справедлива теорема  о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

Обратимость проекционных чертежей

Построение  проекции геометрических объектов – прямая задача начертательной геометрии.

 

Обратная задача – нахождение положения геометрического  объекта в пространстве по его  проекции.

 

? Какому геометрическому объекту может соответствовать окружность на проекции?

Для решения  обратной задачи (нахождение положения геометрического объекта в пространстве) одной проекции недостаточно. Для получения обратимого чертежа, т.е. однозначного соответствия проекции и геометрического объекта, требуется дополнительная информация. В зависимости от ее содержания существуют следующие методы построения обратимого чертежа:

 

• метод с числовыми отметками;

 

• метод Монжа;

 

• аксонометрические проекции;

 

• перспектива.

 

Метод с числовыми отметками

 

В проекциях  с числовыми отметками плоскость  проекций П_i называют плоскостью нулевого уровня и обозначают П₀.

 Идея этого  метода состоит в том, что  на плоскость П₀ ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскости П₀. Это расстояние называют числовой отметкой точки, задают его обычно в метрах.

 Числовую  отметку точки пишут внизу  справа от обозначения ее изображения.

 

Если плоскость  нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом.

 На плане  всегда указывают линейный масштаб.  При необходимости дают ориентацию относительно сторон света.

Очень удобно в  проекциях с числовыми отметками  изображать линии уровня, все точки  которых имеют одинаковые отметки. Линии уровня проецируются на П₀ без искажения своей формы.

Проекции с  числовыми отметками позволяют  просто решать многие задачи. Обратимость чертежей в проекциях с числовыми отметками очевидна.

 

Зарождение  идеи этого метода относят к средним  векам. Уже тогда многие народы, пользующиеся картами с показаниями морских  глубин, умели изображать точку при  помощи ее проекции и отметки. Однако теоретическое обоснование метод получил лишь в XIX веке благодаря французскому военному инженеру – капитану Нуазе.

 

Чертежи в проекциях  с числовыми отметками построены  на одной плоскости проекций –  на одной картине и часто называются однокартинными.

Метод Монжа

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью  числовой отметки, а с помощью  второй проекции точки, построенной  на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным.

 

 Основные  принципы построения двухкартинных  чертежей изложены Гаспаром Монжем – крупным французским геометром конца XVIII – начала  XIX веков, одним из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже, участником работ по введению метрической системы мер и весов.

 

Постепенно  накопившиеся отдельные правила  и приемы двухкартинных изображений  были приведены в систему и  развиты в труде Г. Монжа "Gėometrie descriptive".