Правильные многогранники

 

 

                               

 

 

 

 

 

    Научная работа по геометрии

На тему: Правильные многогранники

               ученицы 10 класса А

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            История правильных многогранников.

 

   Правильные многогранники известны с древнейших времён. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

 

         Пифагор                               

     В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.  Начиная с V века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Самыми известными были школы Фалеса, Пифагора, Платона, Александрийская. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел: вселенная – додекаэдр, Земля – куб, огонь – тетраэдр, вода – икосаэдр, воздух – октаэдр.

            Фалес                                   Платон                             Евклид

      Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Некоторые источники приписывают честь открытия правильных многогранников Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом

случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Евклид дал математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге «Начал». Предложения этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. Так же утверждается, что не существует других правильных многогранников.

   Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Получились так называемые равноугольные полуправильные многогранники.      

     Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы  и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

  

 

 

 

 

 

 

 

                   Правильные многогранники.

Правильный  тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра

• У него 4 вершины,4 грани,6 ребер.

 

 

 

 

 

   Куб – правильный многогранник, все грани которого –   квадраты, и из каждой вершины выходит три ребра.                          

• У него 6 граней,8 вершин,12 ребер

 

                                                                                                  Куб

 

    Существует правильный многогранник, у которого все грани – правильные треугольники, и из каждой вершины выходит 5 ребер. Этот многогранник имеет 20 граней, 30 ребер, 12 вершин и называется икосаэдром.

 

 

 

Октаэдр - это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани

• У него 8 граней,12 ребер,6 вершин

 

 

     Существует правильный многогранник, у которого все грани правильные пятиугольники и из каждой вершины выходит 3 ребра. Этот многогранник имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин и называется додекаэдром.

 

 

         Развертки правильных многогранников.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                               Задачи.

        

 

 

 

 

 

                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

                                   Биография Платона

   Платон (Афины — 348 или 347 до н. э.) — древнегреческий философ, ученик Сократа, учитель Аристотеля.

Точная дата рождения Платона неизвестна. Следуя античным источникам, большинство исследователей полагает, что Платон родился в 428—427 годах до н. э. в Афинах, в разгар Пелопоннесской войны между Афинами и Спартой. Платон родился в семье, имевшей аристократическое происхождение, род его отца, Аристона, восходил, согласно легендам, к последнему царю Аттики Кодеру, а предком Периктионы, матери Платона, был афинский реформатор Солон. Также, согласно Диогену Лаэртскому, Платон был зачат непорочно.

    Первым учителем Платона был Кратил. Около 407 года, Платон познакомился с Сократом и стал одним из его учеников. Характерно, что Сократ является неизменным участником практически всех сочинений Платона, написанных в форме диалогов между историческими и иногда вымышленными персонажами.

После смерти Сократа в 399 г. до н. э. уехал в Мегару. По преданию, посетил Кирену и Египет в течение 399—389 годов. В 389 году отправился в Южную Италию и Сицилию, где общался с пифагорейцами. «Платон отправлялся впоследствии в Сицилию, чтобы с помощью Дионисия Сиракузского основать там идеальное государство, в котором философы вместо чаши с ядом получали бы бразды правления». В 387 году Платон возвращается в Афины, где основывает собственную школу — Платоновскую Академию. По древним преданиям, Платон умер в день своего рождения в 347 году.