Построение сечений многогранников

 

 

 

 

Построение сечений многогранников

 

 

 

 

Прямые и плоскости  
могут пересекаться с многогранниками  
и иметь общую часть в виде

 

                             * точки

                             * прямой

                             * плоскости

 

Внутреннее пересечение  в виде 

ограниченной плоскости  называется 

сечением многогранника 

 

    

 

 

 

 

Будем строить сечения  в многогранниках:

 

                      в кубе

 

 

                     

                      в пирамиде

           

 

                      в прямой призме

 

 

 

 

Для построения сечений, как и для определения плоскости, необходимо иметь либо:

 

• три точки, не лежащие на одной прямой,

 

• две параллельные прямые;

 

• прямую и точку;

 

• две пересекающиеся прямые,

 

 

 

 

А

 

В

 

а

 

А

 

В

 

С

 

α

 

Через три точки, не лежащие на

 одной прямой, можно провести

 единственную плоскость

 

 

 

 

Образцы сечений

 

 

 

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

Дан куб A B C D A1 B1 C1 D1

 

 

 

 

На гранях куба заданы  точки

R, P, Q. Требуется построить 

сечение куба плоскостью,

проходящей через заданные 

точки.

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

 

 

 

Точки Р и Q заданы, как 

принадлежащие плоскости 

сечения. В то же время  эти 

точки принадлежат плоскости 

грани  C D D1 C1, следовательно

 линия PQ  является линий

пересечения этих плоскостей

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

 

 

 

Линии  PQ и C1D1 лежат в 

плоскости  грани C C1 D1 D. 

Найдем точку Е 

пересечения линий PQ  и 

C1 D1.

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

 

 

 

Точки R и E принадлежат 

плоскости сечения 

и плоскости основания  куба,

следовательно линия RE,

соединяющая эти точки  будет 

линией пересечения 

плоскости сечения и 

плоскости  основания куба .

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

 

 

 

RE пересекает A1 D1  в точке F 

и линия RF  будет линией 

пересечения плоскости 

сечения и плоскости  грани 

A1 B1 C1 D1.

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

F

 

 

 

 

Точки и Q,  и F  принадлежат 

плоскости сечения 

и плоскости грани A A1 D1

D, следовательно линия  QF 

будет линией пересечения 

этих  плоскостей.

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

F

 

 

 

 

Линии RE и B1C1, лежащие в 

плоскости  основания куба 

пересекаются в точке G.

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

F

 

G

 

 

 

 

Точки P и G принадлежат 

плоскости  сечения  и

плоскости  грани B B1 C1 C,

следовательно линия PG

является линией пересечения 

этих  плоскостей

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

F

 

G

 

 

 

 

PG пересекает  B B1   в точке 

H и линия PH будет  линией 

пересечения плоскости 

сечения и плоскости  грани 

 B B1 C1 C.

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

F

 

G

 

H

 

 

 

 

Точки R и H принадлежат 

плоскости  сечения 

и плоскости  грани  A A1 B1 B

и следовательно линия RH

будет линией пересечения 

этих  плоскостей.

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

E

 

F

 

G

 

H

 

 

 

 

А

 

В

 

С

 

D

 

A1

 

B1

 

C1

 

D1

 

R

 

P

 

Q

 

F

 

G

 

H

 

А пятиугольник RHPQF будет  искомым сечением  куба

плоскостью, проходящей 

через точки R, P, Q.

 

 

 

 

Дана пирамида SABCD.

 

 

 

 

Требуется построить сечение 

заданной пирамиды плоскостью,

проходящей через точки:

М на ребре AS, P на ребре CS и 

Q на ребре DS.

 

M

 

P

 

Q

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Точки M и Q лежат в плоскости 

грани АSD. Линия МQ,

соединяющая эти точки является

линией пересечения плоскости 

сечения и плоскости грани ASD.

 

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Линия QP, соединяющая 

заданные точки Q и P, является 

линией пересечения плоскости 

сечения и плоскости грани DSC.

 

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Линии MQ и AD лежат в одной 

плоскости грани ASD. Найдём 

точку Е, как точку пересечения

линий MQ и AD.

     Точка Е будет принадлежать

искомой плоскости сечения, так 

как она принадлежит линии MQ,

лежащей в этой плоскости.

 

Е

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Е

 

Линии PQ и CD лежат в одной 

плоскости грани CSD. Найдём 

точку F, как точку пересечения

линий PQ и CD.

     Точка F, как и точка Е,  будет

принадлежать искомой плоскости 

сечения, так как она принадлежит 

линии PQ,  лежащей в этой 

плоскости.

 

F

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Е

 

F

 

Точки Е и F принадлежат 

плоскости сечения и плоскости 

основания  пирамиды, поэтому 

линия EF будет линией 

пересечения плоскости сечения и

плоскости основания пирамиды.

 

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Е

 

F

 

Линии EF и BC лежат в одной 

плоскости основания пирамиды 

ABCD. Найдём  точку G, как точку 

пересечения линий EF и BC.

     Точка G будет принадлежать

искомой плоскости сечения, так 

как она принадлежит линии EF, 

лежащей в этой плоскости.

 

G

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Е

 

F

 

G

 

Точки P и G принадлежат 

плоскости сечения и плоскости 

грани BSC, поэтому линия PG

будет линией пересечения 

плоскости сечения и плоскости 

грани BSC.

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Е

 

F

 

G

 

Линией пересечения  плоскости 

сечения и плоскости грани BSC

будет   линия , являющаяся 

продолжением PG, которая пересечёт 

 ребро BS пирамиды в точке H.

 

H

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Е

 

F

 

G

 

H

 

PH будет линией пересечения 

плоскости сечения и плоскости 

грани BSC.

 

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

Е

 

F

 

G

 

H

 

Ну и наконец, так как точки M

и H одновременно принадлежат и

 плоскости сечения и плоскости

грани ASB, то линия MH будет 

линией пересечения этих 

плоскостей.

 

 

 

 

M

 

P

 

Q

 

H

 

И четырёхугольник MHPQ

 будет искомым сечением

пирамиды SABCD плоскостью,

проходящей через заданные точки

M, P, Q.

 

 

A

 

D

 

B

 

C

 

 

 

 

Дана трёхгранная призма 

A B C A1 B1 C1.  Требуется 

построить сечение  призмы 

плоскостью, проходящей 

через три заданные точки 

D, E, и F. 

 

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

 

 

 

Точки D и E принадлежат 

плоскости грани А А1 С1 С и плоскости сечения,

следовательно линия DE

будет линией пересечения

этих плоскостей.

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

 

 

 

Точки   E и F принадлежат 

плоскости грани B C C1 B1 и плоскости сечения,

следовательно линия EF

будет линией пересечения

этих плоскостей.

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

 

 

 

Линии  DE и A A1  лежат в 

плоскости грани A A1 C1 C.

Найдём точку G, пересечения 

этих линий.

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

G

 

 

 

 

Точка G принадлежит плоскости 

сечения, так как она принадлежит 

линии  DE. Точки G и F принадлежат 

плоскости грани A A1 B1 B и

плоскости сечения, следовательно 

линия GF будет линией пересечения

этих плоскостей.

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

G

 

 

 

 

В плоскости  грани A A1 B1 B

линии GF и A1 B1 пересекаются 

в точке L. Точки F и L принадлежат 

плоскости грани A A1 B1 B и

плоскости сечения, следовательно 

линия FL будет линией пересечения

этих плоскостей.

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

G

 

L

 

 

 

 

Точки D и L принадлежат 

плоскости основания призмы 

A1 B1 C1 и плоскости сечения, 

следовательно линия DL будет 

линией пересечения этих 

плоскостей.

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

G

 

L

 

 

 

 

А четырёхугольник DEFL

будет искомым сечением 

трёхгранной призмы плоскостью,

проходящеё через три заданные 

точки D,E,F.

 

A

 

B

 

C

 

A1

 

B1

 

C1

 

D

 

E

 

F

 

L

 

 

 

 

Являются ли закрашенные области сечениями многогранников?