Площадь многоугольника

Геометрия

Площадь многоугольника

 

Цель доклада: Научиться измерять площади некоторых многоугольников и доказательства теорем.

 

Прежде  всего мы докажем теоремы о  площадях.

 

Рассмотрим  доказательства некоторых теорем.

 

Прямоугольник. Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a,b и площадью S (рис. 2, а). Докажем, что S=ab.

Достроим  прямоугольник до квадрата со стороной a+b , как показано на рисунке 2, б. По свойству 3 площадь этого квадрата (a+b)².

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1 площадей) и двух квадратов с площадями a² и b² (свойство 3 площадей). По свойству 2 имеем:

(a+b)²=S+S+a²+b² или a²+2ab+b²=2s+a²+b². Отсюда получаем S=ab. Теорема доказана.

 

Параллелограмм. Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоты BH и CK (рис. 4). Требуется доказать, что S=AD*BH.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK или с др. стороны из прямоугольника HBCK и треугольника ABH.но треугольники равны по гипотенузе и острому углу, по этому их площади равны. Следовательно, площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH. Теорема доказана.

 

Треугольник. Доказательство. Пусть S – площадь треугольника ABC (рис. 4). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что

S=1/2AB *CH.

Достроим треугольник до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке 4. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам, поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е. S=1/2AB*CH. Теорема доказана.

 

Трапеция. Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S (рис.5). Докажем, что

S=1/2*(AD+BC)*BH.

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD. Тогда SABD=1/2AD*BH, SBCD=1/2*BC*DH1. Так как DH1=BH, то SBCD=1/2*BC*BH. Таким образом.

S=1/2*AD*BH+1/2*BC*BH=1/2*(AD+BC)*BH.

Теорема доказана.

 

Прежде всего, отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее участки укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т.е. имеет место следующее свойство:

1 свойство Равные многоугольники имеют равные площади.

 

 

Далее, пусть  многоугольник составлен из нескольких многоугольников (при этом мы предполагаем, что внутренние области любых  двух из этих многоугольников не имеют общих точек, рис 3). Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:

2 свойство. Если многоугольник составлен  из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

 

Доказательство  этого утверждения приведено  в пункте «Площадь квадрата», а оно  звучит так:

3 свойство. Площадь квадрата равна квадрату  его стороны

 

 

Теперь  мы научились измерять площади некоторых фигур и доказывать теоремы.

 

Источники информации: ГЕОМЕТРИЯ учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений Москва «Просвещение» 2000 год.